2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点52:函数性质研究
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1、知识点知识点52 函数性质研究函数性质研究 三、解答题三、解答题 24(2020 北京)小云在学习过程中遇到一个函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 下面是小云对其 探究的过程,请补充完整: (1)当20 x 时,对于函数 1 |yx,即 1 yx ,当20 x 时, 1 y随x的增大而 ,且 1 0y ;对于函数 2 2 1yxx,当20 x 时, 2 y随x的增大而 ,且 2 0y ;结合上述分 析,进一步探究发现,对于函数y,当20 x 时,y随x的增大而 (2)当0 x时,对于函数y,当0 x时,y与x的几组对应值如下表: x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 y 0 1
2、 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 综合上表,进一步探究发现,当x0时,y随x的增大而增大在平面直角坐标系xOy中,画出当x0时 的函数y的图象 (3)过点(0,m)(0m)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与 函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 的图象有两个交点,则m的最大值是 解析(1)根据一次函数的性质,二次函数的性质分别进行判断,即可得到答案; (2)根据表格的数据,进行描点,连线,即可画出函数的图像; (3)根据函数图像和性质,当x2时,函数有最大值,代入计算即可得到答案 答案解: 解:(1)根据题意,在函数 1 yx 中, 10
3、k , 函数 1 yx 在20 x 中, 1 y随x的增大而减小; 22 2 13 1() 24 yxxx , 对称轴为:1x , 2 2 1yxx在20 x 中, 2 y随x的增大而减小; 综合上述, 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中,y随x的增大而减小; 故答案为:减小,减小,减小; y x 1 1 2 3 4 5 121234 O (2)根据表格描点,连成平滑的曲线,如图: (3)由(2)可知,当0 x时,y随x的增大而增大,无最大值; 由(1)可知 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中,y随x的增大而减小; 在20 x 中,有 当2x时, 7 3 y , m的最大值
4、为 7 3 ; 故答案为: 7 3 23(2020重庆B卷)探究函数性质时,我们经历了列表描点连线画出函数图象,观察分析图象 特征,概括函数性质的过程结合已有的学习经验,请画出函数 2 12 2 y x 的图象并探究该函 数的性质 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 2 3 a 2 4 b 4 2 12 11 2 3 (1)列表,写出表中a,b的值:a _,b _ 描点、连线,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象 y x 1 1 2 3 4 5 121234 O (2) 观察函数图象, 判断下列关于函数性质的结论是否正确 (在答题卡相应位置正确的用 “” 作答,错误的用“”作答):
5、 函数 2 12 2 y x 的图象关于y轴对称; 当x=0时,函数 2 12 2 y x 有最小值,最小值为-6; 在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小 (3)已知函数 210 33 yx 的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式 2 12210 233 x x 的解集 解析本题考查了函数的图像和性质,观察函数图像是正确解题的前提(1)分别将x=-3和x=0代入函 数表达式 2 12 2 y x 即可;(2)该函数图像是关于y轴对称的图形,故正确;由函数图像的最低点 可知当0 x 时,函数 2 12 2 y x 有最小值-6,进而可知正确;观察函数图像可知当x0时
6、y随x的增 大而减小,当x0时y随x的增大而增大,故错误;(3) 2 12210 233 x x 的解集即 2 12 2 y x 的图 像在 210 33 yx 的图像下方时x的取值范围. 答案解: (1)a=- 2 11 ,b=-6;函数图像如图所示. (2)();(2)();(3)(). (3)x-4,-2x1. 注:当不等式解集的端点值误差在0.2范围内,均给相应分值. 27.(2020盐城) 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录,请阅读后完 成虚线框下方的问题1 4. 1在Rt ABCV 中,90 ,2 2CAB,在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到, 组
7、数据如下表:(单位:厘米) AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 ACBC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 2根据学习函数的经验,选取上表中BC和ACBC 的数据进行分析; 设BCx ACBCy,,以(), x y为坐标,在图所示的坐标系中描出对应的点; 连线; 观察思考 3结合表中的数据以及所面的图像,猜想.当x 时,y最大; 4进一步C猜想:若Rt MBCV 中,90C,斜边(2ABa a为常数,0a),则BC 时,ACBC最大. 推理证明 5对 4中的猜想进行证明. 问题1.在图中完善 2的
8、描点过程,并依次连线; 问题2.补全观察思考中的两个猜想: 3 _ 4 _ 问题3.证明上述 5中的猜想: 问题4.图中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图, 其中点,A B间的距离是4厘 米,1AGBE厘米,90 ,EFG o 平行光线从AB区域射入,60 ,BNE o 线段 FMFN、为感光区城,当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值. 27解析:本题是一道由度量得出规律,然后验证规律,最后变式应用的题目,其中前面探索得出的结 论和方法,要注意应用到最后的问题解决中去 解:问题1:图 问题2: 3 2 42a 问题3: 法一:(判别式法) 证明:设,BCx ACBC
9、y 在Rt ABCV中, 2222 90 ,4,CACABBCaxQ 22 4yxax 22 4yxax 2222 24,yxyxax 222 2240,xxyya Q关于x的元二次方程有实根, 2222 444 240,bacyxa 2 28,ya 00,yaQ, 2 2 ,ya 当y取最大值2 2a时, 22 24 240 xaxa 2 220 xa 12 2xxa 当2BCa时,y有最大值. 法二:(基本不等式) 设,BCm ACn ACBCy 在Rt ABCV中,90 ,CQ 222 4mna 2 0,mnQ 22 2mnmn. 当mn时,等式成立 2 42,amn 2 2mna. 2
10、2 2ymnmnmnQ 2 42amn, 2 2,mnaQ 2 2 ,ya 当2BCACa时,y有最大值. 问题4: 法一:延长AM交EF于点,C 过点A作AHEF于点,H垂足为,H 过点B作BKGF交于点,K垂足为,K BK交AH于点,Q 由题可知:在BNEV中,60 ,90 ,1BNEEBE o BE tan BNE NE 即 1 3 NE 3 3 NE / /,AMBNQ 60 ,C 又90 ,GFE o Q 30 ,CMF 30 ,AMG 90 ,1,30GAGAMGQ, 在Rt AGMV中, AG tan AMG GM , 即 31 3GM 3,GM 90 ,90 ,GGFHAHF
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- 2020 全国各地 中考 数学 分类 汇编 知识点 52 函数 性质 研究
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