2019-2020学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校高三(上)12月联考数学试卷(文科)含详细解答
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1、集合的元素个数是( ) A2 B4 C6 D8 2 (5 分)复数 zi2019(12i)的共轭复数为( ) A2i B2+i C2i D2+i 3 (5 分) 在ABC 中, AB2, AC1, D 为 BC 边上一点, 且, 则 ( ) A3 B C3 D 4 (5 分)已知,则( ) A B C D 5 (5 分)若,blog3e,则有( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 6 (5 分)某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如表: 零件数 x/个 12 23 31 加工时间 y/分 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程中的 值为 1.6,则据此回归模型可以
2、预测,加工 100 个零件所需要的加工时间约为( ) A155 分钟 B156 分钟 C157 分钟 D158 分钟 7 (5 分) 易系辞上有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方” ,是中华文化,阴阳术数 之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、 十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对 值为 3 的概率为( ) 第 2 页(共 22 页) A B C D 8 (5 分)已知函数的最小值为 a,将函数的 图象向左平移个单位长度得到函数 h(x)
3、的图象,则下面结论正确的是( ) A函数 h(x)是奇函数 B函数 h(x)在区间,上是增函数 C函数 h(x)图象关于(2,0)对称 D函数 h(x)图象关于直线 x3 对称 9 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的值为 5,则框图中处可填入( ) AS6? BS10? CS15? DS21? 10 (5 分)已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上,离心率为,点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点, P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0, c) 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为, 则该双曲线的方程为( ) A B C D 11 (5 分)中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪
4、,我国著名数学家张遂在编制大 衍历中发明了一种二次不等距插值算法:若函数 yf(x)在 xx1,xx2,xx3(x1 第 3 页(共 22 页) x2x3)处的函数值分别为 y1f(x1) ,y2f(x2) ,y3f(x3) ,则在区间x1,x3上 f (x)可以用二次函数来近似代替:f(x)y1+k1(xx1)+k2(xx1) (xx2) ,其中 ,若令 x10,x3,请依据上述算 法,估算的值是( ) A B C D 12 (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x) ,对任意的 xR 都有 f(x)2x,且当 0,2时,不等式的解集为( ) A B C D 二、填空题(木题共二、填空题(
5、木题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13 (5 分)已知函数 f(x),则 f(f(1) ) 14 (5 分)若特称命题: “x0R,使得 4mx02+4mx030 成立”是假命题,则实数 m 的 取值范围是 15 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bacosC+csinA,且 a,b,c 成等比数列,则 16 (5 分)一个三对棱长相等的四面体 ABCD,其三对棱长分别, ,则此四面体的体积为 三、解答题(共三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、,第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答,第题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题) (一)必考题 (共(共 60 分分.) 17 (12 分)已知等比数列an的公比 q0,其前 n 项和为 Sn,且 S4120,a3与 a4的等差 中项为 6a2 (1)求数列an的通项公式; (2)设,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn 第 4 页(共 22 页) 18 (12 分)世界军人运动会,简称“军运会” ,每四年举办一届,会期 7 到 10 天,比赛设 有 27 个大项,参赛规模约 100 多
7、个国家近 10000 余人,规模仅次于奥运会,根据各方达 成共识,军运会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行,赛期 10 天,为了军运会 顺利召开,特招聘了 3 万名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况,调查了其中 100 名志愿者的年龄,得到了他们年龄的中位数为 34 岁,年龄在40,45)岁内的人数为 15 人,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1) 求 m, n 的值并估算出志愿者的平均年龄 (同一组的数据用该组区间的中点值代表) ; (2) 这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七 届世界军运会官网报名,即现场和网
8、络两种方式报名调查这 100 位志愿者的报名方式 部分数据如表所示,完善下面的表格,通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“选择哪种报名方式与性别有关系”? 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据:,其中 na+b+c+d P(K2k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,AB2,BAD60, 平面 PAD平面 ABCD,PAD 为等边三角形,O 为 AD 的中点 (1)求证:平面 PAD平面
9、 POB; (2)若 E 是 PC 的中点,求证:PA平面 BDE,并求四面体 PBDE 的体积 第 5 页(共 22 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:的短轴长为 2,以椭圆 C 的长轴为直径的 圆与直线相切 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)斜率为 l 的直线 l 交椭圆 C 于 M(x1,y1) ,N(x2,y2)两点,且 x1x2,若直线 x 3 上存在点 P,使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形,求直线 l 的方程 21 (12 分)已知函数 f(x)ex+sinx,x,+) (1)若 f(x)ex+sinx,当 x0,+)时,解关于 x 的不等式 f(2x21)f
10、(x) ; (2)证明:f(x)有且仅有 2 个零点 (二)选考题(共(二)选考题(共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第题中任选一题作答,若多做,则按所做的第 一题计分一题计分.)选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为,其中 为参数, 直线 l 的方程为, 以坐标原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程; (2)已知射线与曲线 C 和直线 l 分别交于 M,N 两点,求线段 MN 的长 选修选修
11、 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|xm|+2x0 的解集为(,1,其中 m0 (1)求 m 的值; (2)若正数 a,b,c 满足 a+b+cm,求证: 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、 信阳高中等湘豫名校信阳高中等湘豫名校高三(上)高三(上)12 月联考数学试卷(文科)月联考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有
12、一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.) 1 (5 分)集合的元素个数是( ) A2 B4 C6 D8 【分析】推导出,由此能求出结果 【解答】解:因为, 所以当 x0 时,y2N; 当 x1 时,; 当 x2 时,; 当 x3 时,y1N; 当 x4 时,0y1,yN 综上,元素个数是 2 个 故选:A 【点评】本题考查集合中元素个数的求法,考查集合性质等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 2 (5 分)复数 zi2019(12i)的共轭复数为( ) A2i B2+i C2i D2+i 【分析】根据复数的运算法则进行化简,结合共轭复数的定义进行计算即可
13、 【解答】解:zi2019(12i)i504 4+3(12i)i3(12i)i(12i) 2+i, 则 2i, 故选:C 【点评】 本题主要考查复数的求解, 结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键 比 第 7 页(共 22 页) 较基础 3 (5 分) 在ABC 中, AB2, AC1, D 为 BC 边上一点, 且, 则 ( ) A3 B C3 D 【分析】根据条件可得出 D 为 BC 的中点,从而得出, 然后进行数量积的运算即可 【解答】解:如图, ,D 为 BC 边上的中点, , 故选:B 【点评】本题考查了相等向量的定义,向量加法的平行四边形法则,向量减法和数乘的 几何意义,考查了
14、计算能力,属于基础题 4 (5 分)已知,则( ) A B C D 【分析】由,由此利用诱导公式能求出 【解答】解:, , 由诱导公式知 故选:C 第 8 页(共 22 页) 【点评】本题考查三角函数值的求法,考查诱导公式等基础知识,考查运算求解能力, 是中档题 5 (5 分)若,blog3e,则有( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 【分析】可以得出,log3e1,从而可得出 a,b,c 的大小关 系 【解答】解:,且,log3elog33 1, cab 故选:D 【点评】本题考查了分数指数幂的运算,指数函数、对数函数的单调性,考查了计算能 力,属于基础题 6 (5 分)某车间加工
15、零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如表: 零件数 x/个 12 23 31 加工时间 y/分 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程中的 值为 1.6,则据此回归模型可以预测,加工 100 个零件所需要的加工时间约为( ) A155 分钟 B156 分钟 C157 分钟 D158 分钟 【分析】求出线性回归方程的中心点,代入方程,求出线性回归方程,令 x100,代入 求出即可 【解答】解:由题意得:, 回归直线过样本中心点(22,30) , 故有, 故, 当 x100 时, 第 9 页(共 22 页) 故选:A 【点评】考查线性回归方程及其性质,样本估计总体,中档题 7 (5 分
16、) 易系辞上有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方” ,是中华文化,阴阳术数 之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、 十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对 值为 3 的概率为( ) A B C D 【分析】根据题意,计算出所有基本事件的个数,列出差的绝对值为 3 包含的基本事件 个数即可得到所求 【解答】解:因为阳数为 1,3,5,7,9,阴数为 2,4,6,8,10, 所以从阴数和阳数中各取 1 个的所有组合共有 5525 个, 满足差的
17、绝对值为 3 的有: (1,4) , (3,6) , (5,2) , (5,8) , (7,10) , (7,4) , (9, 6)共 7 个, 则 P 故选:C 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 8 (5 分)已知函数的最小值为 a,将函数的 图象向左平移个单位长度得到函数 h(x)的图象,则下面结论正确的是( ) A函数 h(x)是奇函数 B函数 h(x)在区间,上是增函数 C函数 h(x)图象关于(2,0)对称 D函数 h(x)图象关于直线 x3 对称 第 10 页(共 22 页) 【分析】由基本不等式可求得 a3,进而根据三角函数
18、的图象变换得到, 再逐项判断即可 【解答】解:,当且仅当,即 x1 时,等号成立, a3则,将函数 g(x)的图象向左平移个单位长度,得到 函数 h(x)的图象, 则, 对于 A 选项,函数 h(x)是偶函数,A 选项错 误; 对于 B 选项,x,函数 h(x)在,上不单调, B 选项错误; 对于 C 选项,函数 h(x)图象不关于(2,0)对称, C 选项错误; 对于 D 选项,h(3)cos1,函数 h(x)图象关于直线 x3 对称,D 选项 正确 故选:D 【点评】本题主要考查三角函数的图象及性质,考查三角函数的图象变换及基本不等式 的运用,属于基础题 9 (5 分)执行如图所示的程序框
19、图,若输出的值为 5,则框图中处可填入( ) AS6? BS10? CS15? DS21? 【分析】据程序框图写出几次循环的结果,直到 i5,即可得出满足的条件,由此得 第 11 页(共 22 页) 解 【解答】解:第一次循环:S1,不满足条件,i2; 第二次循环:S3,不满足条件,i3; 第三次循环:S6,不满足条件,i4; 第四次循环:S10,不满足条件,i5; 第五次循环:S15,满足条件,输出 i 的值为 5 所以判断框中的条件可填写“S15?” 故选:C 【点评】本题考查了程序框图中的循环结果,常通过写出前几次循环的结果找出规律, 是基础题 10 (5 分)已知双曲线 C 的焦点在
20、y 轴上,离心率为,点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点, P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0, c) 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为, 则该双曲线的方程为( ) A B C D 【分析】求出抛物线的焦点坐标,准线方程,根据三角形两边之和不小于第三边,转化 求解双曲线的 a,b,得到双曲线方程 【解答】解:设 F 为抛物线 y24x 的焦点,则 F(1,0) ,拋物线 y24x 准线方程为 x 1, 因此 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0, c) 的距离与到直线 x1 的距离之和等于 PF1+PF, 因为 PF1+PFF1F,所以,即, ,又,a24,b23, 即双曲线的
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