2019-2020学年山东省济南市市中区高三(上)第二次诊断数学试卷(11月份)含详细解答
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1、若 a、b 是任意实数,且 ab,则( ) Aa2b2 B Clg(ab)0 D 5 (4 分)设 Ax|x28x+150,Bx|ax10,若 ABB,求实数 a 组成的集合 的子集个数有( ) A2 B3 C4 D8 6 (4 分)已知 cos()2cos(+) ,且 tan(+),则 tan 的值为( ) A7 B7 C1 D1 7 (4 分)古代数学著作九章算术有如下的问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五 尺,问日织几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺 数不少于
2、 30 尺,则至少需要( ) 第 2 页(共 22 页) A7 B8 C9 D10 8 (4 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2+x)f(2x) ,且当 x2 时,有 xf(x) +f(x)2f(x) ,若 f(1)1,则不等式的解集是( ) A (2,3) B (,1) C (1,2)(2,3) D (,1)(3,+) 9 (4 分)已知函数的图象关于直线对称,若 f(x1) f(x2) 4,则 a|x1x2|的最小值为( ) A B C D2 10 (4 分)已知函数,若方程 f(x)a 有四个不同的解 x1,x2, x3,x4,且 x1x2x3x4,则的取值范围为( )
3、A (1,+) B (1,1 C (,1) D1,1) 11 (4 分)关于平面向量,下列说法中不正确的是 ( ) A若且,则 B C若,且,则 D 12 (4 分)已知函数为 f(x)的一个 零点,x为 f(x)图象的一条对称轴,且 f(x)在(0,)上有且仅有 7 个零点, 下述结论正确的是( ) A B5 Cf(x)在(0,)上有且仅有 4 个极大值点 Df(x)在(0,)上单调递增 13 (4 分)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x)x2,且当 x0 时,f(x) 第 3 页(共 22 页) x已知存在 x0,且 x0为函数 g(x)exx a(aR,e 为自然对数
4、的底数)的一个零点,则实数 a 的取值可能是( ) A B C D 二、填空题(本题包括二、填空题(本题包括 4 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 16 分,第分,第 17 题做对一空得题做对一空得 2 分)分) 14 (4 分)已知 , 满足:| |3,| |2,| + |4,则| | 15 (4 分)设命题 p:,命题 q:x2(2a+1)x+a(a+1)0,若 p 是 q 的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是 16 (4 分)在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 2sinBsinA+sinC,cosB ,且 SABC6,则 b 17 (4 分)现
5、有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 9 的圆锥和底面半径为,高为 8 的圆 柱各一个若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变,但底面半径相同的新的 圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 ;若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最 大值,则此正三棱柱的底面边长为 三、解答题(本题包括三、解答题(本题包括 6 小题,共小题,共 82 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18 (10 分)已知函数 f(x)2sin(x+)cos(x+)+sin2x+a 的最大值为 1 ()求常数 a 的值; ()求函数 f(x)的单调递增区间; ()若将 f(x)的图象
6、向左平移个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x) 在区间0,上的最大值和最小值 19 (14 分)等差数列an中,a24,a4+a715 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn2an+25,求数列|bn|的前 n 项和 20 (14 分) “我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群汉子在一大块麦田里玩,几千 万的小孩子,附近没有一个大人,我是说除了我” 麦田里的守望者中的主人公霍尔 顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块呈凸四边形 ABCD 的 麦田里成为守望者,如图所示为了分割麦田,他将 BD 连接,设ABD 中边 BD 所对 的角为 A,BCD 中边 BD
7、 所对的角为 C,经测量已知 ABBCCD2,AD2 第 4 页(共 22 页) (1)霍尔顿发现无论边 BD 多长,cosAcosC 为一个定值,请你验证霍尔顿的结论, 并求出这个定值; (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关,记ABD 与BCD 的面积分 别为 S1和 S2,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出 S12+S22的最大值 21 (14 分)已知函数 f(x)(2ax2+4x)lnxax24x(aR,且 a0) ()求曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; ()若函数 f(x)的极小值为,试求 a 的值 22 (15 分)设正项数列an的前 n 项和
8、为 Sn,已知 4Snan2+2an(nN*) (1)求证:数列an是等差数列,并求其通项公式; (2)设数列bn的前 n 项和为 Tn,且 bn,若 Tnn+(1) n2 对任意 nN* 都成立,求实数 的取值范围 23 (15 分)已知函数 f(x)axsinx(aR) ,且在上的最大值为, (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,)内的零点个数,并加以证明 第 5 页(共 22 页) 2019-2020 学年山东省实验中学高三(上)第二次诊断数学试卷学年山东省实验中学高三(上)第二次诊断数学试卷 (11 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
9、择题(本题包括一、选择题(本题包括 13 小题,每小题小题,每小题 4 分,其分,其 52 分,分,1-10 小题为单选题,每小题只有小题为单选题,每小题只有 一个选项符合题意;一个选项符合题意;11-13 小题为多选题,每小题至少有两个选项符合题意全对得小题为多选题,每小题至少有两个选项符合题意全对得 4 分,分, 漏选得漏选得 2 分,选错不得分)分,选错不得分) 1 (4 分)命题: “x(,0) ,3x4x”的否定为( ) A B C D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题 即, 故选:C 【点评】本题主要考查含有量词的
10、命题的否定,结合全称命题的否定是特称命题是解决 本题的关键,比较基础 2 (4 分)i 是虚数单位,若复数,则 z 的虚部为( ) A1 B0 Ci D1 【分析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解 【解答】解:i 是虚数单位, 复数1i, z 的虚部为1 故选:A 【点评】本题考查复数的虚部的求法,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 第 6 页(共 22 页) 3 (4 分)在ABC 中,若 AB,BC3,C120,则 AC( ) A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用余弦定理求解即可 【解答】解:在ABC 中,若 AB,BC3,C120, AB2BC2+AC22
11、ACBCcosC, 可得:139+AC2+3AC, 解得 AC1 或 AC4(舍去) 故选:A 【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力 4 (4 分)若 a、b 是任意实数,且 ab,则( ) Aa2b2 B Clg(ab)0 D 【分析】由题意可知 ab,对于选项 A、B、C 举出反例判定即可 【解答】解:a、b 是任意实数,且 ab,如果 a0,b2,显然 A 不正确; 如果 a0,b2,显然 B 无意义,不正确; 如果 a0,b,显然 C,lg0,不正确; 满足指数函数的性质,正确 故选:D 【点评】本题考查比较大小的方法,考查各种代数式的意义和性质,是基础题 5 (
12、4 分)设 Ax|x28x+150,Bx|ax10,若 ABB,求实数 a 组成的集合 的子集个数有( ) A2 B3 C4 D8 【分析】可以求出 A3,5,根据 ABB 即可得出 BA,从而可讨论 B 是否为空集: B时,a0;B时,解出 a,从而得出实数 a 组成集合的元素个数,进 而可求出实数 a 组成集合的子集个数 【解答】解:A3,5,Bx|ax1 ABB BA, 第 7 页(共 22 页) B时,a0; B时,或, ,或, 实数 a 组成的集合的元素有 3 个, 实数 a 组成的集合的子集个数有 238 个 故选:D 【点评】考查描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,以及子集、
13、空集的定义,子 集个数的计算公式 6 (4 分)已知 cos()2cos(+) ,且 tan(+),则 tan 的值为( ) A7 B7 C1 D1 【分析】 由题意利用诱导公式求得 tan 的值, 再利用两角和的正切公式, 求得 tan 的值 【解答】解:已知 cos()2cos(+) ,即 sin2cos,即 tan2 又tan(+),则 tan7, 故选:B 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用,属于基础题 7 (4 分)古代数学著作九章算术有如下的问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五 尺,问日织几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知
14、她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺 数不少于 30 尺,则至少需要( ) A7 B8 C9 D10 【分析】由等比数列前 n 项和公式求出这女子每天分别织布尺,由此利用等比数列前 n 项和公式能求出要使织布的总尺数不少于 30 尺,该女子所需的天数至少为多少天 【解答】解:设该女五第一天织布 x 尺, 则5, 解得 x, 前 n 天织布的尺数为:, 第 8 页(共 22 页) 由30,得 2n187, 解得 n 的最小值为 8 故选:B 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题, 注意等比数列的性质的合理运
15、用 8 (4 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2+x)f(2x) ,且当 x2 时,有 xf(x) +f(x)2f(x) ,若 f(1)1,则不等式的解集是( ) A (2,3) B (,1) C (1,2)(2,3) D (,1)(3,+) 【分析】根据题意,设 g(x)(x2)f(x) ,则有 g(2+x)g(2x) ,即函数 g (x)的图象关于(2,0)对称,结合 x2 时,g(x)(x2)f(x) ,及已知导数可 判断函数单调性,从而可求不等式 【解答】解:根据题意,设 g(x)(x2)f(x) ,则 g(1)f(1)1, 则有 g(2+x)xf(2+x) ,g(2x
16、)f(2x) ,即有 g(2+x)g(2x) , 故函数 g(x)的图象关于(2,0)对称, 则有 g(3)g(1)1, 当 x2 时,g(x)(x2)f(x) ,g(x)(x2)f(x)+f(x) , 又由当 x2 时,xf(x)+f(x)2f(x) ,即当 x2 时,g(x)0, 即函数 g(x)在区间(2,+)为增函数, 由可得(x2)f(x)1,即 g(x)1g(3) , 2x3, 函数 g(x)的图象关于(2,0)对称, 函数 g(x)在区间(,2)为增函数, 由可得(x2)f(x)1,即 g(x)1,此时 x 不存在, 故选:A 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性,涉及函数的
17、对称性以及不等式的解法, 属于中档题 9 (4 分)已知函数的图象关于直线对称,若 f(x1) f(x2) 第 9 页(共 22 页) 4,则 a|x1x2|的最小值为( ) A B C D2 【分析】根据函数的对称性,利用 f(0)f() ,建立方程求出 a 的值,然后利用 辅助角公式求出 f(x)的解析式,利用最值性质转化为周期关系进行求解即可 【解答】解:解:f(x)的图象关于直线对称, f(0)f() , 即a,a1, 则 f(x)sin2xcos2x2sin(2x) , f(x1)f(x2)4, f(x1)2,f(x2)2 或 f(x1)2,f(x2)4, 即 f(x1) ,f(x2
18、)一个为最大值,一个为最小值, 则|x1x2|的最小值为, T, |x1x2|的最小值为, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用对称性建立方程求出 a 的值以及利 用辅助角公式进行化简,转化为周期关系是解决本题的关键 10 (4 分)已知函数,若方程 f(x)a 有四个不同的解 x1,x2, x3,x4,且 x1x2x3x4,则的取值范围为( ) A (1,+) B (1,1 C (,1) D1,1) 【分析】作出函数 f(x) ,得到 x1,x2关于 x1 对称,x3x41;化简条件,利用数形 结合进行求解即可 【解答】解:作函数 f(x)的图象如右, 方程 f(x)a
19、有四个不同的解 x1,x2,x3,x4,且 x1x2x3x4, x1,x2关于 x1 对称,即 x1+x22, 第 10 页(共 22 页) 0x31x4, 则|log2x3|log2x4|, 即log2x3log2x4, 则 log2x3+log2x40 即 log2x3x40 则 x3x41; 当|log2x|1 得 x2 或, 则 1x42;x31; 故2x3+,x31; 则函数 y2x3+,在x31 上为减函数, 则故 x3取得最大值,为 y1, 当 x31 时,函数值为1 即函数取值范围是(1,1 故选:B 【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用数形结合的思
20、 想方法是解题的关键 11 (4 分)关于平面向量,下列说法中不正确的是 ( ) A若且,则 B 第 11 页(共 22 页) C若,且,则 D 【分析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可 【解答】解:对于 A,若,因为 与任意向量平行,所以 不一定与 平行,故 A 错; 对于 B,向量数量积满足分配律,故 B 对; 对于 C,向量数量积不满足消去率,故 C 错; 对于 D, ()是以 为方向的向量,是以 为方向的相量,故 D 错 故选:ACD 【点评】本题考查命题真假性的判断,掌握向量的相关性质即可,属于基础题 12 (4 分)已知函数为 f(x)的一个 零点,x为 f(x)图象
21、的一条对称轴,且 f(x)在(0,)上有且仅有 7 个零点, 下述结论正确的是( ) A B5 Cf(x)在(0,)上有且仅有 4 个极大值点 Df(x)在(0,)上单调递增 【分析】根据 f(x)的零点和对称轴,可以推出 为奇数,再结合 f(x)在(0,)上 有且仅有 7 个零点,推出 的值,进而推出 的值以及函数 f(x)单调性 【解答】解:x为 f(x)图象的一条对称轴,为 f(x)的一个零点, +,且 ()+k,kZ, 2k+1,kZ, f(x)在(0,)上有且仅有 7 个零点, 7+8,即, 7, 7+,又 0,所以 , 第 12 页(共 22 页) 由+2k7x+2k 得,+x+,
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