2019-2020学年山西省太原五中高三(上)10月月考数学试卷(理科)含详细解答
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1、函数 yx2lnx 的单调递减区间为( ) A (1,1 B (0,1 C1,+) D (0,+) 5 (5 分)若 、,且 sinsin0,则下面结论正确的是( ) A B+0 C D22 6 (5 分)已知向量,的夹角为 60,|2,若2+,则ABC 为 ( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 7 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,|)的最小正周期是 ,若将其图 象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( ) A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点(,0)对称 D关于点(,0)对称 8 (5 分)在直角ABC 中
2、,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( ) 第 2 页(共 22 页) A B C D 9 (5 分)若 sin2,sin(),且 ,则 + 的 值是( ) A B C或 D或 10 (5 分)若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是( ) A (,+) B (2,+) C (0,+) D (1,+) 11 (5 分)已知函数 f(x)x2mcosx+m2+3m8 有唯一的零点,则实数 m 的值为( ) A2 B4 C4 或 2 D2 或 4 12 (5 分)已知 f(x)2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x) 在1,1上的值域
3、为( ) A4,0 B4,1 C1,3 D,12 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 为锐角,且 7sin2cos2,则 cos 14 (5 分)设当 x 时,函数 f(x)sinx2cosx 取得最大值,则 cos 15(5分) 如图, ABCD 是边长为4的正方形, 动点P在以AB为直径的圆弧APB上, 则 的取值范围是 16 (5 分)已知函数 f(x)exe x2x+1,若对于任意实数 x,不等式 f(x2+a)+f(2ax) 2 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ; 三、解答题:共三、解答题:共 70
4、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题题为必考为必考 第 3 页(共 22 页) 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题 (60 分)分) 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acosAccosB+bcosC (1)求 cosA 的值; (2)若 a1,求ABC 面积的最大值 18 (12 分)已知向量 (sin,1) , (cos,cos2) ()若 1,求 cos(x)
5、的值; ()记 f(x) ,在ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2ac) cosBbcosC,求函数 f(A)的取值范围 19 (12 分)已知函数 f(x)ex+ae x 为偶函数 (1)求 a 的值; (2)解关于 x 的不等式 20 (12 分)已知函数 (1)若当 x0 时,f(x)0 恒成立求 a 的取值范围; (2)比较 20192017与 20182018的大小 21 (12 分)已知函数, (1)求函数 f(x)的极小值 (2)求证:当1a1 时,f(x)g(x) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在 22、23 两题中任选一题作
6、答,如果多做,则按所做的两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4:坐标系与参数:坐标系与参数方程方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:,曲线 C2:( 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系 ()求曲线 C1,C2的极坐标方程; ()曲线 C3:(t 为参数,t0,)分别交 C1,C2于 A,B 两点,当 取何值时,取得最大值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设函数 f(x)|x+1|+|x2|,g(x)x2+5x4 第 4 页(共 22 页) (1)求不等式 f(x)
7、5 的解集 M; (2)设不等式 g(x)0 的解集为 N,当 xMN 时,比较 f(x)与 g(x)+3 的大小 第 5 页(共 22 页) 2019-2020 学年山西省太原五中高三 (上)学年山西省太原五中高三 (上) 10 月月考数学试卷 (理月月考数学试卷 (理 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 (5 分)sin( ) A B C D 【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的
8、三角函数,化简求解即可 【解答】解:sinsin(3)sin 故选:B 【点评】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值,是基本知识的考查 2 (5 分)设 xR,则“x1”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可 【解答】解: “”解得 x0 或 x1, 故“x1”是“”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题考查充要条件的判断,基本知识的考查 3 (5 分)已知函数且 f(a)3,则 f(6a)( ) A B0 C D 【分析】根据题意,由函数的解析式按 a 的范围分情况讨论,求出 a7,则有
9、f(6a) f(1) ,结合函数的解析式计算可得答案 第 6 页(共 22 页) 【解答】解:根据题意,函数且 f(a)3, 若 a1,则有 f(a)2a22,f(a)3 无解, 若 a1,则有 f(a)log2(a+1)3,解可得 a7, 则 f(6a)f(1)2 12 2; 故选:D 【点评】本题考查函数的求值,涉及分段函数的解析式,关键是求出 a 的值,属于基础 题 4 (5 分)函数 yx2lnx 的单调递减区间为( ) A (1,1 B (0,1 C1,+) D (0,+) 【分析】由 yx2lnx 得 y,由 y0 即可求得函数 yx2lnx 的单调 递减区间 【解答】解:yx2l
10、nx 的定义域为(0,+) , y, 由 y0 得:0x1, 函数 yx2lnx 的单调递减区间为(0,1 故选:B 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,注重标根法的考查与应用,属于基础题 5 (5 分)若 、,且 sinsin0,则下面结论正确的是( ) A B+0 C D22 【分析】观察本题的形式,当角的取值范围是时,角与其正弦值符号是相 同的,故 sin 与 sin 皆为正,sinsin0 可以得出|,故可以确定结论 【解答】解:yxsinx 是偶函数且在(0,)上递增, , sin,sin 皆为非负数, sinsin0, 第 7 页(共 22 页) sinsin |, 22 故
11、选:D 【点评】本题考查函数值的符号,要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相 关的不等式得出角的大小来,判断上有一定的思维难度 6 (5 分)已知向量,的夹角为 60,|2,若2+,则ABC 为 ( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】根据题意,由向量加减法的意义,用向量、表示出向量、, 结合题意,求出、的模,由三角形的性质,分析可得答案 【解答】解:根据题意,由2+,可得2,则|2|4, 由,可得|2|2 22 + 24,故| |2, 由(2+)+,则|2|+|2 2+2 + 2 12, 可得|2; 在ABC 中,由|4,|2,|2,可得|2|2+
12、|2, 则ABC 为直角三角形; 故选:C 【点评】本题考查数量积的性质与运用,注意先用向量的加法、减法的性质,表示出 ABC 的三边的向量 7 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,|)的最小正周期是 ,若将其图 象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( ) A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 第 8 页(共 22 页) C关于点(,0)对称 D关于点(,0)对称 【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可 【解答】解:函数 f(x)sin(x+) (0,|)的最小正周期是 , T,解得 2, 即 f(x)sin(2x+) , 将其图象向
13、右平移个单位后得到 ysin2(x)+sin(2x+) , 若此时函数关于原点对称, 则 k,即 +k,kZ, |, 当 k1 时, 即 f(x)sin(2x) 由 2x, 解得 x+,kZ, 故当 k0 时,函数的对称轴为 x, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用,根据条件求 出函数的解析式是解决本题的关键 8 (5 分)在直角ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( ) A B C D 【分析】根据,A 是正确的,同理 B 第 9 页(共 22 页) 也正确,再由 D 答案可变形为,通过等积变换判断为 正确,从而得到答案 【解答
14、】解:,A 是正确的,同 理 B 也正确, 对于 D 答案可变形为,通过等积变换判断为正确 故选:C 【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义要会巧妙变形和等积变换 9 (5 分)若 sin2,sin(),且 ,则 + 的 值是( ) A B C或 D或 【分析】依题意,可求得 ,2,进一步可知 ,于 是可求得 cos()与 cos2 的值,再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得 答案 【解答】解:, 2,2, 又 0sin2, 2(,) ,即 (,) , (,) , cos2; 又 sin(), (,) , cos(), cos(+)cos2+()cos2cos()sin2sin()
15、( ) 第 10 页(共 22 页) 又 (,) , (+)(,2) , +, 故选:A 【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用,着重考查两角和的余弦与二倍角的 正弦,考查转化思想与综合运算能力,属于难题 10 (5 分)若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是( ) A (,+) B (2,+) C (0,+) D (1,+) 【分析】转化不等式为,利用 x 是正数,通过函数的单调性,求出 a 的范围即 可 【解答】解:因为 2x(xa)1,所以, 函数 y是增函数,x0,所以 y1,即 a1, 所以 a 的取值范围是(1,+) 故选:D 【点评】本题考查不等式的
16、解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力 11 (5 分)已知函数 f(x)x2mcosx+m2+3m8 有唯一的零点,则实数 m 的值为( ) A2 B4 C4 或 2 D2 或 4 【分析】判断函数是偶函数,唯一零点为 0,则 02mcos0+m2+3m80,即可得出结 论 【解答】解:由题意,函数为偶函数,在 x0 处有定义且存在唯一零点,所以唯一零点 为 0,则 02mcos0+m2+3m80, m4 或 2, m4 代回原式,f(x)x2+4cosx4 分离得两个函数 yx24,y4cosx 画图存在有 2 个零点, 不符题意,仅 m2 存在唯一零点 故选:A 第 11 页
17、(共 22 页) 【点评】本题考查函数的零点,考查学生的计算能力,确定唯一零点为 0 是关键 12 (5 分)已知 f(x)2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x) 在1,1上的值域为( ) A4,0 B4,1 C1,3 D,12 【分析】推导出 f(x)2x(3xa) ,x(0,+) ,当 a0 时,f(x)2x(3x a)0,f(0)1,f(x)在(0,+)上没有零点;当 a0 时,f(x)2x(3x a)0 的解为 x,f(x)在(0,)上递减,在(,+)递增,由 f(x)只有 一个零点,解得 a3,从而 f(x)2x33x2+1,f(x)6x(x1) ,x1
18、,1, 利用导数性质能求出 f(x)在1,1上的值域即可 【解答】解:函数 f(x)2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点, f(x)2x(3xa) ,x(0,+) , 当 a0 时,f(x)2x(3xa)0, 函数 f(x)在(0,+)上单调递增,f(0)1, f(x)在(0,+)上没有零点,舍去; 当 a0 时,f(x)2x(3xa)0 的解为 x, f(x)在(0,)上递减,在(,+)递增, 又 f(x)只有一个零点, f()+10,解得 a3, f(x)2x33x2+1,f(x)6x(x1) ,x1,1, f(x)0 的解集为(1,0) , f(x)在(1,0)上递增,
19、在(0,1)上递减, 第 12 页(共 22 页) f(1)4,f(0)1,f(1)0, f(x)minf(1)4,f(x)maxf(0)1, 故函数的值域是4,1, 故选:B 【点评】本题考查函数的单调性、最值,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力 和综合应用能力,是中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 为锐角,且 7sin2cos2,则 cos 【分析】利用二倍角公式,结合同角三角函数关系进行转化求解即可 【解答】解:7sin2cos2, 7sin2cos22(12sin2)24sin2, 即 4
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