高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的倍数关系
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1、第六讲 直线型计算中的倍数关系 迄今为止,同学们已经学会了很多图形计算面积的方法在计算这些面积的时候,只要 知道相应线段的长度,然后利用公式即可以计算例如计算长方形的面积,只需知道长方形 的长和宽即可利用长方形的面积长 宽进行计算但很多时候,题目中并不给出长和宽, 那怎么来求面积呢?我们来看下面这个例题 例题例题1. 如图,有 9 个小长方形,其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、 12、16、20 平方米其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米? 分析分析如果两个长方形的一条边相等,我们可以比较它们的另一条边来求 它们的面积关系,看看下图,能利用左上角的三块面积求出的面积吗? 对于长方
2、形,我们总结出:如果两个长方形的长(宽)相等,那么它们的面积的比等于 它们宽(长)之比例如:如图所示的长方形 ABCD 与长方形 BEFC 宽 BC 相同,那么 ABCDBEFCAB BE长方形的面积:长方形的面积: 如图,有 7 个小长方形,其中的 5 个小长方形的面积分别为 20,4,6,8,10 平方 厘米求阴影长方形的面积是多少平方厘米? 从上面的例题可以看出, 求一个图形的面积不一定要通过公式, 有些时候我们也可以利 用图形各部分之间的面积关系进行计算 实际问题中,各图形的形状各异我们很难直接看出面积间的关系,更容易发现的是长 度之间的倍数关系本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系
3、的转化 过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形, 则这两个小三角形面积之比等于 8 4 6 20 10 练 习 1 1 A B C D E F 4 8 12 16 20 该直线分对边所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的 例题例题2. 下图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米,D 是 BC 的中 点,AD 的长是 AE 长的 3 倍那么三角形 ABE 的面积是多少平 方厘米? 分析分析你能从图中发现前面讲过的基本图形吗?如何利用其中的 比例关系解题呢? 如图,三角形 ABC 中,D 为 AB 的中点,E 为 BC 的中点,F 为 BE 中点,如果三角形 AB
4、C 的面积是 120 平方厘米,那么三角形 DEF 的面积是多少? 在实际问题中, 给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分 比如知道两条线段的 长度关系,却找不到合适的图形引出面积关系此时,我们可以添加适当的辅助线,使得两 个图形之间可以找到一个过渡的量,这个量和两个图形都有比较紧密的联系 例题例题3. 如图,把三角形 DEF 的各边分别向外延长 1 倍后得到三 角形 ABC,已知三角形 DEF 的面积为 1,那么三角形 ABC 的 面积是多少? 分析分析容易看出,本题也需要通过边长的倍数关系去求三角形 面积之间的关系但是我们所求的是三角形 DEF 的面积,而已知 的是三角形 ABC 的面
5、积,这两个三角形之间一条直接相连的边也 没有那么我们该怎么办呢? A C B F E D 练 习 2 2 :ABDADCBD DC三角形的面积 三角形的面积 A B C D E A B C D E A B C E D F 如图,把三角形 DEF 的各边分别向外延长 1 倍、2 倍、3 倍后得到三角形 ABC,已知 三角形 DEF 的面积为 1,那么三角形 ABC 的面积是多少? 除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外, 我们有时候也利用面积的倍数关系反推出 长度的倍数关系 例题例题4. 如图,E 是 AB 上靠近 A 点的三等分点,梯形 ABCD 的 面积是三角形 AEC 面积的 4 倍,那么
6、梯形的下底长是上底 长的几倍? 分析分析本题中我们并不知道图形的具体面积,而只知道面 积的倍数关系需要求的则是长度的倍数关系,所以我们考虑如 何利用面积的关系求出长度关系 我们不妨假设三角形 AEC 的面积是“1”份,那么梯形 ABCD 的面积就是“5”份接 着可以看看“E 是 AB 上的三等分点”这个条件能得出什么结论,看看怎么利用求出的面积 来比较梯形的上下底? 练 习 4 4 D E F A B C 练 习 3 3 B C D E A 如图,将一个长为 18 的长方形,分成一个三角形和一个梯形,且梯形的面积是三角形 的 5 倍,那么三角形底边 BE 的长是多少? 除了利用长度间的倍数关系
7、外,我们有时候也能从公式入手,寻找图形面 积的倍数关系 例题例题5. 把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米, 结果面积增 加了 50 平方厘米,那么原正方形的面积为多少平方厘米? 分析分析由于阴影部分是一个不规则图形,我们需要把它转化为规则形 状,可以将它分割成几块如图所示,我们将阴影部分分割为、 三个长方形其中,的长和宽分别为 4、2,可以求出它的面积那 么和的面积能求出来吗?关键是找出它们面积的关系 例题例题6. 如图,直角三角形 ABC 套住了一个正方形 CDEF,E 点恰好 在 AB 边上又已知直角边 AC 长 20 厘米,BC 长 12 厘米,那么 正方形的边长为多少
8、厘米? 分析分析注意到 EF 垂直于 AC,ED 垂直于 BC我们可以连接 CE, 将三角形 ABC 分成两个三角形,这两个三角形的底都给出了长度,而 它们的高相等我们的目标就是求这个高 A B C D E 2 4 2 4 A C B E F D 欧拉的故事 欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何学、天文数学、微积分等好 几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。欧拉小时候帮助爸爸放羊,他一面 放羊,一面读书。他读的书中,有不少数学书。 爸爸的羊群渐渐增多了,达到了 100 只。原来的羊圈有点小了,爸爸决定建造一 个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地,长 40 米,宽 15 米,他一算,
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