2019-2020学年浙江省绍兴一中高三(上)期末数学试卷(含详细解答)
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1、已知 A、B 是抛物线 y24x 上异于原点 O 的两点,则“0”是“直线 AB 恒过定点(4,0) ”的( ) A充分非必要条件 B充要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 6 (4 分)数列 a1,a2,a9中,恰好有 6 个 7,3 个 4,则不相同的数列共有( ) 个 第 2 页(共 23 页) A B C D 7 (4 分)已知双曲线1(a0,b0)的离心率 e,2,则一条渐近线与 实轴所成角的取值范围是( ) A B C D 8 (4 分)已知函数若方程 f(x)t(tR)有四个不同 的实数根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4的取值范围为( ) A (30,34)
2、 B (30,36) C (32,34) D (32,36) 9 (4 分)已知 x,y 都是正实数,则+的最大值为( ) A B C D 10 (4 分)已知在矩形 ABCD 中,AB2,AD4,E,F 分别在边 AD,BC 上,且 AE1, BF3,如图所示,沿 EF 将四边形 AEFB 翻折成 AEFB,则在翻折过程中,二面角 B CDE 的大小为 ,则 tan 的最大值为( ) A B C D 二、填空题(本大题二、填空题(本大题 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分.) 11 (6 分)已知函数 f(x)lnx+2020
3、x,则 f(1) ,的 值等于 12 (4 分) 当 x, y 满足约束条件为常数) 时, 能使 zx+3y 的最大值为 12, 则 k 13 (6 分) 如果 x+x2+x3+x9+x10a0+a1(1+x) +a2(1+x) 2+a9 (1+x) 9+a10 (1+x) 第 3 页(共 23 页) 10,则 a9 ,a10 14 (6 分)已知 A 袋内有大小相同的 1 个红球和 3 个白球,B 袋内有大小相同的 2 个红球 和 4 个白球现从 A、B 两个袋内各任取 2 个球,设取出的 4 个球中红球的个数为 ,则 P(1) , 的数学期望为 15 (4 分)抛物线 y22x 顶点为 O
4、,焦点为 F,M 是抛物线上的动点,则取最大值 时 M 点的横坐标为 16 (6 分)已知ABC 中,BC 中点为 M, (+),2, ,3,则B , 17 (4 分)已知函数(a,R,a0) ,则函数 f(a,)的 值域是 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18 (14 分)在ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a,b,c已知 b3, , ()求 f(x)单调递减区间和最大值 M; ()若 f(B)M,求ABC 面积的最大值 19 (15 分)如图,ABEF 是等腰梯
5、形,ABEF,AFBF,矩形 ABCD 和 ABEF 所在的平 面互相垂直已知 AB2,EF1 ()求证:平面 DAF平面 CBF; ()求直线 AB 与平面 CBF 所成角的正弦值 第 4 页(共 23 页) 20 (15 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足: ()求an的通项公式; ()设,数列cn的前 n 项和为 Tn求证: 21 (15 分)已知圆 S:x2+4x+y2200,T 是抛物线 y28x 的焦点,点 P 是圆 S 上的动点, Q 为 PT 的中点,过 Q 作 QGPT 交 PS 于 G (1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)过抛物线 y28x 的焦点 E 的直线
6、 l 交 G 的轨迹 C 于点 M、N,且满足 , (O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程 22 (15 分)对于定义在 D 上的函数 yf(x) ,若存在 x0D,对任意的 xD,都有 f(x) f(x0)或者 f(x)f(x0) ,则称 f(x0)为函数 f(x)在区间 D 上的“下确界”或“上 确界” ()求函数 f(x)ln(2x)+x2在0,1上的“下确界” ; ()若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数 f(x)在 D 上的“极差 M” ,试求 函数 F(x)x|x2a|+3(a0)在1,2上的“极差 M” ; () 类比函数 F (x) 的 “极差 M” 的概念, 请求出 G
7、 (x, y) (1x)(1y) + 在 D(x,y)|x,y0,1上的“极差 M” 第 5 页(共 23 页) 2019-2020 学年浙江省绍兴一中高三(上)期末数学试卷学年浙江省绍兴一中高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.) 1 (4 分)已知集合, 则 AB 为( ) A0,1 B1,1 C1 D0 【分析】先分别求出集合 A,B,由此能求出集合 AB 【
8、解答】解:集合1,1, 1,0, AB1 故选:C 【点评】本题考查交集的求法,考查交运算等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 2 (4 分)若复数(1+i) (t4i)的模为,则实数 t 的值为( ) A1 B C D3 【分析】根据复数的运算法则以及复数模长公式建立方程进行求解即可 【解答】解: (1+i) (t4i)(t+4)+(t4)i, 则复数的模长为5, 即 2t2+3250 得 2t218,t29, 即 t3, 故选:D 【点评】本题主要考查复数的模长的计算,结合复数运算法则进行化简是解决本题的关 键比较基础 3 (4 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( ) 第 6 页
9、(共 23 页) A192 B240 C384 D576 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为尚变为一个半径长度为 6 半球,下面为一个底面半径为 6 高为 8 的圆锥体组成的组合体 故:V 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用, 属于基础题型 4 (4 分)设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S52S10,则( ) A B C D 【分析】由已知,结合等比数列的求和公式即可求出 【解答】解:由
10、S52S10,可知 q1 则2,整理可得,q5, 则 故选:D 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用,属于基础试题 5 (4 分)已知 A、B 是抛物线 y24x 上异于原点 O 的两点,则“0”是“直线 AB 第 7 页(共 23 页) 恒过定点(4,0) ”的( ) A充分非必要条件 B充要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 【分析】根据题意,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,结合直线与抛物线的位置关系分别证 明: “0”是“直线 AB 恒过定点(4,0) ”的充分条件和“0”是“直 线 AB 恒过定点(4,0) ”的必要条件;即可得答案 【解答】解:根据题
11、意,A、B 是抛物线 y24x 上异于原点 O 的两点,设 A(x1,y1) ,B (x2,y2) , 若“0” ,则设直线 AB 方程为 xmy+b, 将直线 AB 方程代入抛物线方程 y24x,可得 y24my4b0, 则 y1+y24m,y1y24b, 若0, 则x1x2+y1y2 () +y1y2+y1y2b24b0, 解可得:b4 或 b0,又由 b0,则 b4, 则直线 AB 的方程为 xmy+4,即 myx4,则直线 AB 恒过定点(4,0) , “0”是“直线 AB 恒过定点(4,0) ”的充分条件; 反之:若直线 AB 恒过定点(4,0) ,设直线 AB 的方程为 xmy+4
12、, 将直线 AB 方程代入抛物线方程 y24x,可得 y24my160, 则有 y1y216, 此时x1x2+y1y2()+y1y2+y1y20, 故“0”是“直线 AB 恒过定点(4,0) ”的必要条件; 综合可得: “0”是“直线 AB 恒过定点(4,0) ”的充要条件; 故选:B 【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系,涉及充分必要条件的判断,属于综合题 6 (4 分)数列 a1,a2,a9中,恰好有 6 个 7,3 个 4,则不相同的数列共有( ) 个 A B C D 第 8 页(共 23 页) 【分析】根据题意,分析可得原问题可以转化为“先在 a1,a2,a9中,任选 3 个安 排“
13、4” ,剩下的 6 个安排 6 个“7” ”的问题,由组合式公式分析可得答案 【解答】解:根据题意,数列 a1,a2,a9中,恰好有 6 个 7,3 个 4, 可以先在 a1,a2,a9中,任选 3 个安排“4” ,剩下的 6 个安排 6 个“7” , 则有 C93种不同的情况,即可以有 C93个不相同的数列; 故选:C 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及组合数公式的应用,属于基础题 7 (4 分)已知双曲线1(a0,b0)的离心率 e,2,则一条渐近线与 实轴所成角的取值范围是( ) A B C D 【分析】由及 c2a2+b2,得的取值范围,设一条渐近线与实轴所成的角 为 ,可由 ta
14、n及 0探求 的取值范围 【解答】解:e,24, 又c2a2+b2,24,即 13,得 1 由题意知,为双曲线的一条渐近线的方程, 设此渐近线与实轴所成的角为 ,则,即 1tan 0,即 的取值范围是 故选:C 【点评】本题考查了双曲线的离心率及正切函数的图象与性质等,关键是通过 c2a2+b2 将离心率的范围转化为渐近线的斜率的范围 8 (4 分)已知函数若方程 f(x)t(tR)有四个不同 的实数根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4的取值范围为( ) A (30,34) B (30,36) C (32,34) D (32,36) 第 9 页(共 23 页) 【分析】先作出函数的
15、图象,然后结合图象及对数函数的性质及二次函数的性质可求 【解答】解:, 作出函数的图象,如图所示,则可得 0t2 不妨设 x1x2x3x4, 则根据题意可得,log2x1log2x2,从而有 x1x21, 根据二次函数的性质可得,x3+x412, 结合图象可知, 解可得, 故则 x1x2x3x4x3x4x3(12x3) , 结合二次函数的性质可知,x3(12x3)(32,34) 故选:C 【点评】本题以零点为载体,主要考查了函数图象的应用,对数函数与二次函数性质的 灵活应用是求解问题的关键 9 (4 分)已知 x,y 都是正实数,则+的最大值为( ) A B C D 【分析】则+1+1+,由此
16、能求 出+的最大值 【解答】解:因为 x,y 都是正实数, 第 10 页(共 23 页) 则+1+1+ 当 y2x 时取等号, +的最大值为 故选:B 【点评】本题考查代数式的最大值的求法,考查基本不等式的性质等基础知识,考查运 算求解能力,是中档题 10 (4 分)已知在矩形 ABCD 中,AB2,AD4,E,F 分别在边 AD,BC 上,且 AE1, BF3,如图所示,沿 EF 将四边形 AEFB 翻折成 AEFB,则在翻折过程中,二面角 B CDE 的大小为 ,则 tan 的最大值为( ) A B C D 【分析】先在平面图形中作 BOEF,并求出 BO 的长度,折起后相对位置不变,找出
17、二 面角的平面角,然后由线段的长度求出二面角的平面角的正切值的最大值 【解答】解:过 B 作 EF 的垂线交 EF 与 O,交 AD 于 M,CD 于 G, 设 B在平面 AC 内的投影为 H,则 H 在直线 BM 上,过 H 作 CD 的垂线,垂足为 K,则 BKH 为二面角 BCDE 的平面角,设BOH 由题意 BOBO 第 11 页(共 23 页) BHBOsinsin,BHBO+BOcos(1+cos) , 由GBC45,BG4,HGBGBH4(1+cos) , HKHG4(1+cos)cos, tanBKH3, 令 t,可得 sin+3tcos5t 解得 t, 所以 tan; 故选:
18、C 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 二、填空题(本大题二、填空题(本大题 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分.) 11 (6 分)已知函数 f(x)lnx+2020x,则 f(1) 2021 , 的值等于 4042 【分析】根据题意,求出函数的导数,计算可得 f(1)的值,又由极限的性质可得 22f(1) ,即可得第二 空,即可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)lnx+2020x,其导数 f(x)+2020,则有
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