2020年4月福建省、广东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
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1、 数学试题数学试题 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A(x,y)|y2x1,B(x,y)|yx2,则 AB( ) A B1 C(1,1) D(1,1) 2已知复数 z= 2+3 32,则 =( ) Ai Bi C1+i D1i 3已知 alog89,b0.57,clog0.810,则( ) Acab Bbac Cbca Dcba 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出(单位:元)情况,抽取了一个容量为 n 的
2、样 本,并将得到的数据分成10,20) ,20,30) ,30,40) ,40,50四组,绘制成如图所 示的频率分布直方图,其中支出在40,50的同学有 24 人,则 n( ) A80 B60 C100 D50 5执行如图所示的程序框图,若输出的 y 的值为 4,则输入的 x 的可能值有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6十二生肖是十二地支的形象化代表,即子(鼠) 、丑(牛) 、寅(虎) 、卯(兔) 、辰(龙) 、 巳(蛇) 、午(马) 、未(羊) 、申(猴) 、酉(鸡) 、戌(狗) 、亥(猪) ,每一个人的出生 年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相现有印着十二生肖图案的毛
3、绒蛙娃各 一个,小张同学的属相为马,小李同学的属相为羊,现在这两位同学从这十二个毛绒娃 娃中各随机取一个 (不放回) , 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是 ( ) A 1 144 B 1 132 C 1 66 D 1 33 7圆 C:x2+y22x4y+30 被直线 l:ax+y1a0 截得的弦长的最小值为( ) A1 B2 C2 D3 8将函数 f(x)sin(3x+) (0)的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g(x) 的图象,若直线 x= 6是 g(x)的图象的一条对称轴,则( ) Af(x)为奇函数 Bg(x)为偶函数 来源:学科网 ZXXK Cf(x)在 12, 3上
4、单调递减 Dg(x)在 15, 9上单调递增 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为( ) A8:53 B4:53 C23:5 D4:113 10已知数列an的首项 a12,an+1an+6+ 2 +9,则 a27( ) A7268 B5068 C6398 D4028 11已知双曲线 E: 2 2 2 2 =1(a0,b0)与抛物线 C:y216x 有相同的焦点 F, 抛物线 C:x212y 的焦点为 F,点 P 是双曲线 E 右支上的动点,且PFF的周长 的最小值为 14,则双曲线 E 的离心率为( )
5、 A3 B2 C3 D2 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为线段 A1B1,AB 的中点,O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心,点 M,N 分别是直线 DD1,EF 上的动点,记直线 OC 与 MN 所成角为 ,则当 最小时,tan( ) A221 11 B42 3 C11205 205 D1121 42 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 =(1,2) , =(2m,m3) ,若 ,则 m 14已知函数 f(x)是奇函数,当 x
6、0 时,f(x)xex+1,则 f(x)的图象在点(1,f (1) )处的切线斜率为 15已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 a33,S339,则 a7 16已知( 2 2 x ;1 2)n的展开式中第 9 项是常数项,则展开式中 x5的系数为 ;展 开式中系数的绝对值最大的项的系数为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答.第第 22,23 题为选考题,考生根据要求作题为选考题
7、,考生根据要求作 答答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2bcosCsin(A+ 4)cos (BC) (1)求 A; (2)若 a22,求ABC 的面积 18每个国家对退休年龄都有不一样的规定,从 2018 年开始,我国关于延迟退休的话题一 直在网上热议,为了了解市民对“延迟退休”的态度,现从某地市民中随机选取 100 人 进行调查,调查情况如表: 年龄段(单位:岁) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6
8、12 n 20 12 2 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人,此人年龄在35,45)的概率为1 5,求出表格 中 m,n 的值; (2)若从年龄在45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽 样,从中抽取 10 人参与某项调查,然后再从这 10 人中随机抽取 4 人参加座谈会,记这 4 人中赞成“延迟退休”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 19如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADC90,平 面 PAD底面 ABCD, Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 的中点, PAPD4, BC= 1 2 =2, CD= 3 (1
9、)证明:平面 BQM平面 PAD (2)求二面角 MBQA 的大小 20已知函数 f(x)(mxm1)lnx+x 3 (1)当 m0 时,求 f(x)的最值; (2)当 m0 时,若 f(x)的两个零点分别为 x1,x2(x1x2) ,证明 x2x1e 1 21 已知 F1(1, 0) , F2(1, 0) 点 D是圆O: x2+y24上一动点, 动点 E 满足2 =22 , 点 P在 直线 EF1上,且 DPEF2 (1)求点 P 的轨迹 C 的标准方程; (2)已知点 Q 在直线 l:x40 上,过点 Q 作曲线 C 的两条切线,切点分别为 M,N, 记点 M,N 到直线 OQ 的距离分别
10、为 d1,d2,求 | 1:2的最大值,并求出此时 Q 点的坐 标 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 = 4 = 42, (t 为参数) , 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为(3 2) = 2 (1)写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2) 若射线: = (0 2 ,
11、 0)与曲线 C2相交于点 A, 将 OA 逆时针旋转 90 后,与曲线 C1相交于点 B,且|OB|23|OA|,求 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+2|+|2x3| (1)求不等式 f(x)6 的解集; (2)若函数 f(x)的最小值为 m,正实数 a,b 满足 a2+ 2 9 =m,证明:1 + 3 47 7 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A(x,y)|y2
12、x1,B(x,y)|yx2,则 AB( ) A B1 C(1,1) D(1,1) 解方程组 = 2 1 = 2 ,即可求出 AB 中点的坐标,从而求出 AB 由 = 2 1 = 2 ,可得 = 1 = 1, AB(1,1), 故选:C 本题主要考查了集合的基本运算,考查了运算求解能力与推理论证能力,是基础题 2已知复数 z= 2+3 32,则 =( ) Ai Bi C1+i D1i 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案 z= 2+3 32 = (2+3)(3+2) (32)(3+2) = 13 13 = , = 故选:A 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,
13、是基础题 3已知 alog89,b0.57,clog0.810,则( ) Acab Bbac Cbca Dcba 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 因为 log89log881,00.570.501,log0.810log0.810, 所以 cba 故选:D 本题考查三个数的大小的判断,考查指数与对数函数的性质等基础知识,考查运算求解 能力,考查逻辑推理的核心素养,是基础题 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出(单位:元)情况,抽取了一个容量为 n 的样 本,并将得到的数据分成10,20) ,20,30) ,30,40) ,40,50四组,绘制成如图所 示的频率分布直方图,其中支出在4
14、0,50的同学有 24 人,则 n( ) A80 B60 C100 D50 根据频率直方图求出40,50的频率,然后求出总人数 本题考查频率分布直方图,考查数据处理能力 由频率分布直方图可得,支出在40,50的频率为 1(0.01+0.024+0.036)100.3 根据题意得24 = 0.3,解得 n80 故选:A 本题考查通过频率直方图估算总人数,属于基础题 5执行如图所示的程序框图,若输出的 y 的值为 4,则输入的 x 的可能值有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 由题意可得:y= 4;2, 4, 02 0 2, 2 ,若输出的 y 的值为 4,则分类讨论可求 x 的值,即
15、 可得解 由题意可得:y= 4;2, 4, 02 0 2, 2 , 若输出的 y 的值为 4,则 0 4= 4,或 02 4;2= 4 ,或 2 2 = 4, 解得 x= 2,或 x2ln2,或 xe2, 所以输入的 x 的可能值有 3 个 故选:C 本题主要考查了程序框图的应用,考查了运算求解能力,属于基础题 6十二生肖是十二地支的形象化代表,即子(鼠) 、丑(牛) 、寅(虎) 、卯(兔) 、辰(龙) 、 巳(蛇) 、午(马) 、未(羊) 、申(猴) 、酉(鸡) 、戌(狗) 、亥(猪) ,每一个人的出生 年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各 一个,小张同
16、学的属相为马,小李同学的属相为羊,现在这两位同学从这十二个毛绒娃 娃中各随机取一个 (不放回) , 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是 ( ) A 1 144 B 1 132 C 1 66 D 1 33 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回) ,基本事件总数 n12 11132,这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数 m111,由 此能求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 十二生肖是十二地支的形象化代表, 即子(鼠) 、丑(牛) 、寅(虎) 、卯(兔) 、辰(龙) 、巳(蛇) 、午(马) 、未(羊) 、申 (猴) 、酉(鸡) 、戌(狗) 、亥(
17、猪) , 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相 现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个, 小张同学的属相为马, 小李同学的属相为羊, 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回) , 基本事件总数 n1211132, 这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数 m111, 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 p= = 1 132 故选:B 本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 7圆 C:x2+y22x4y+30 被直线 l:ax+y1a0 截得的弦长的最小值为( ) A1 B2 C2 D3 由圆的方程求出圆心坐标
18、与半径,再求出直线 l 所过定点,求出圆心到定点的距离,利 用垂径定理求最小弦长 由 x2+y22x4y+30,得(x1)2+(y2)22, 则圆心坐标为 C(1,2) ,半径为2 直线 ax+y1a0 即 a(x1)+y10,过定点 P(1,1) , 当过圆心与定点的直线与直线 l 垂直时,弦长最短, 此时|CP|= (1 1)2+ (2 1)2= 1,则弦长为22 1 = 2 故选:B 本题考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用垂径定理求弦长,是基础题 8将函数 f(x)sin(3x+) (0)的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g(x) 的图象,若直线 x= 6是 g(x)的图象的一
19、条对称轴,则( ) Af(x)为奇函数 Bg(x)为偶函数 Cf(x)在 12, 3上单调递减 Dg(x)在 15, 9上单调递增 直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数 的性质的应用求出结果 函数 f(x)sin(3x+) (0)的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g(x) sin(3x+ 3 4 +)的图象, 由于直线 x= 6是 g(x)的图象的一条对称轴, 故3 6 + 3 4 += + 2(kZ) ,整理得 = 3 4 (kZ) , 当 k1 时,= 4, 所以 f(x)sin(3x+ 4) g(x)sin(3x+)sin3x 故选项 A、B
20、 错误 对于选项 C: 2 + 2 3 + 4 2 + 3 2(kZ) , 解得: 12 + 2 3 2 3 + 5 12 (kZ) , 当 k0 时,函数的单调递减区间为 12 , 5 12, 由于 12, 3 12 , 5 12,故选项 C 正确 对于选项 D:令 2 + 2 3 2 + 3 2 (kZ) , 当 k0 时,函数的单调增区间为: 6 , 2,故选项 D 错误 故选:C 本题考查的知识要点: 三角函数关系式的恒等变换, 三角函数关系式的平移变换的应用, 正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础 题型 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径
21、相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为( ) A8:53 B4:53 C23:5 D4:113 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,求出 l2r,圆锥的高 h= 3,从而圆锥的体积 V= 1 3 2 3 = 3 3 3由题意知圆柱的底面半径为 2,设圆柱的高为 h,由圆锥和 圆柱的表面积相等,解得 h= 5 2 ,求出圆柱体积 V= ( 2) 2 5 2 = 5 8 3,由此能求 出此圆锥与圆柱的体积之比 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则 r2= 1 2 1 2 ,解得 l2r, 圆锥的高 h= 3, 圆锥的体积 V= 1 3 2
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