2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数学试卷(含详细解答)
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1、如图所示,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PAa, PBPDa,则它的 5 个面中,互相垂直的面有 对 7 (3 分)如图由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成,将 4 个正三角形沿着其与正 方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为 8 (3 分)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图) ,ABC45,ABAD1,DCBC,则这块菜地的面积为 第 2 页(共 20 页) 9 (3 分)四面体的 6 条棱所对应的 6 个二面角中,钝二面角最多有 个 10 (3 分)在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC
2、面积所成的比, 将这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中,平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交于 E,则类比的结论为 二、选择题:二、选择题: 11 (3 分)当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了 ( ) A三点确定一平面 B不共线三点确定一平面 C两条相交直线确定一平面 D两条平行直线确定一平面 12 (3 分)正方体被平面所截得的图形不可能是( ) A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 13 (3 分)如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,线段 B1D1上有两个动点 E、F,且 EF,则下列结论中错误的是( ) AACB
3、E 第 3 页(共 20 页) BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 14 (3 分)由一些单位立方体构成的几何图形,主视图和左视图如图所示,则这样的几何 体体积的最小值是( ) (每个方格边长为 1) A5 B6 C7 D8 三、解答题:三、解答题: 15 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, E, F 分别是 BC, A1D1的中点 求证: 空间四边形 B1EDF 是菱形 16 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,(如图) E 是棱 C1D1的中点, F 是侧面 AA1D1D 的中心 (1)求三棱锥 A1D1EF 的
4、体积; (2)求异面直线 A1E 与 AB 的夹角; (3)求 EF 与底面 A1B1C1D1所成的角的大小 (结果用反三角函数表示) 第 4 页(共 20 页) 17如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,AA12AB,N 是 CC1的中点,M 是线段 AB1上的 动点,且 AMAB1 (1)若,求证:MNAA1; (2)求二面角 B1ABN 的余弦值; (3)若直线 N 与平面 ABN 所成角的大小为 ,求 sin 的最大值 18平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到 球,平行四边形可以推广到平行六面体,直角三角形也可以推广到直角四面体,如果四 面体
5、ABCD 中棱 AB,AC,AD 两两垂直,那么称四面体 ABCD 为直角四面体请类比直 角三角形中的性质给出 2 个直角四面体中的性质, 并给出证明 (请在结论 13 中选择 1 个,结论 4,5 中选择 1 个,写出它们在直角四面体中的类似结论,并给出证明,多选不 得分,其中 h 表示斜边上的高,r,R 分别表示内切圆与外接圆的半径) 直角三角形 ABC 直角四面体 ABCD 条件 ABAC ABAC,ABAD,ACAD 结论 1 AB2+AC2BC2 第 5 页(共 20 页) 结论 2 sin2B+sin2C1 结论 3 结论 4 结论 5 (2R) 2 (AB2+BC2+CA2) 第
6、 6 页(共 20 页) 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:一、填空题: 1 (3 分) 设 a, b 是平面 M 外两条直线,且 aM, 那么 ab 是 bM 的 充分不必要 条 件 【分析】判断由 ab 能否得到 bM,再判断由 bM 能否得到 ab 即可 【解答】解:证明充分性:若 ab,结合 aM,且 b 在平面 M 外,可得 bM,是充分 条件; 证明必要性:若 bM,结合 aM,且 a,b 是平面 M 外,则 a,b 可以平行,也可以相 交
7、或者异面,所以不是必要条件 故 ab 是 bM 的“充分不必要” 故答案为:充分不必要 【点评】本题考查空间线面平行,线线平行之间的关系,充分条件和必要条件,属于简 单题 2(3 分) 已知直线 a, b 及平面 , 下列命题中: ; ; ;正确命题的序号为 (注:把你认为 正确的序号都填上) 【分析】对于四个选项一一进行判断,不成立可列举反例验证说明 【解答】解:对于若 b,ab,则 a 或 a; 对于,ab,b 则 a 也可与 平行; 对于a 时,不成立; 对于,根据两条平行线中有一条垂直于平面,则另一条也垂直于平面,故正确 故答案为 【点评】本题的考点是平面的基本性质及推论,主要考查线、
8、面的位置关系,注意掌握 反例排除 3 (3 分)地球北纬 45圈上有 A,B 两地分别在东经 80和 170处,若地球半径为 R, 第 7 页(共 20 页) 则 A,B 两地的球面距离为 R 【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上, 计算经度差,求出甲、乙两地对应的 AB 弦长, 以及球心角,然后求出球面距离 【解答】 解: 地球表面上从 A 地 (北纬 45, 东经 80) 到 B 地 (北纬 45, 西经 170) , A,B 两地都在北纬 45上,对应的纬圆半径是,经度差是 90 ABR,得球心角是 A,B 两地的球面距离是 故答案为: 【点评】本题考查球面距离及其他计算,考查空间想象能
9、力,是基础题 4 (3 分)如果一个球和立方体的每条棱都相切,那么称这个球为立方体的棱切球,那么单 位立方体的棱切球的体积是 【分析】由题意画出图形,求得球的半径,再计算体积得答案 【解答】解:球和立方体的每条棱都相切,则球的直径为立方体的面对角线长度, 单位立方体的棱切球的半径为, 则球的体积为 故答案为: 【点评】本题考查空间想象能力,球的体积计算,是基础题 5 (3 分) 若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上 SA平面 ABC SAAB2, 第 8 页(共 20 页) AC4,BAC,则球 O 的表面积为 20 【分析】由余弦定理求出 BC2,利用正弦定理得ABC90从而
10、ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 rAC2, 进而能求出球 O 的半径 R, 由此能求出球 O 的表面积 【解答】解:如图,三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA平面 ABCSAAB2,AC4,BAC, BC2, AC2BC2+AB2,ABC90 ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 rAC2, 球 O 的半径 R, 球 O 的表面积 S4R220 故答案为:20 【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识,考查抽象概括能力、数据处理能 力、运算求解能力,考查应用意识、创新意识,考查化归与转化思想、分类与整合思想、 数形结合思想,是中档题 6 (3 分)如图所示,四棱
11、锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PAa, PBPDa,则它的 5 个面中,互相垂直的面有 5 对 【分析】先找出直线平面的垂线,然后一一列举出互相垂直的平面即可 【解答】解:底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PAa,PBPDa,可得 PA 底面 ABCD PA平面 PAB,PA平面 PAD,可得:面 PAB面 ABCD,面 PAD面 ABCD,AB面 第 9 页(共 20 页) PAD, 可得:面 PAB面 PAD, BC面 PAB,可得:面 PAB面 PBC, CD面 PAD,可得:面 PAD面 PCD; 故答案为:5 【点评】本题考查平面与平面垂
12、直的判定,考查棱锥的结构,是基础题 7 (3 分)如图由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成,将 4 个正三角形沿着其与正 方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为 【分析】由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为 2 的正方形及四个正三角形,我们可 以分别计算出棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式,即可求出折起后形成的四棱锥 的体积 【解答】解:由已知中由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成 故该棱锥的底面面积 S224 侧高为正三角形的高 则棱锥的高 h 故折起后形成的四棱锥的体积 V 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是棱棱的体积,其中根据已知条件,计算出棱锥的底面面积, 及结合
13、正四棱锥中(其中 h 为棱锥的高,H 为棱锥的侧高,a 为底面的棱 长)求出棱锥的高,是解答本题的关键 8 (3 分)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图) ,ABC45,ABAD1,DCBC,则这块菜地的面积为 2+ 第 10 页(共 20 页) 【分析】求出直观图中,DC,BC,S梯形ABCD,然后利与用平面图形与直观图形面积的比 是,求出平面图形的面积 【解答】解:DCABsin 45,BCABsin 45+AD+1, S梯形ABCD(AD+BC)DC(2+)+, SS梯形ABCD2+ 故答案为:2+ 【点评】本题考查斜二测画法,直观图与平面图形的面
14、积的比例关系的应用,考查计算 能力 9 (3 分)四面体的 6 条棱所对应的 6 个二面角中,钝二面角最多有 3 个 【分析】通过定性分析,对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数 【解答】解:将三棱锥的顶点,向下压到与底重合,侧面的 3 个二面角都是 180, 将这个顶点稍稍提高一点点,离开底面, 此时 3 个侧面的二面角都是钝角 故答案为:3 【点评】本题考查利用极限思想,通过定性分析来解决问题,属于简单题 10 (3 分)在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC 面积所成的比, 将这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中,平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交
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