上海暑假数学六升七第19讲-可化为一元一次方程的分式方程-教案
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1、1对3辅导讲义学员姓名: 学科教师:年 级: 辅导科目:授课日期时 间主 题第19讲 可化为一元一次方程的分式方程学习目标1了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径;2探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性;3能熟练解化为一元一次方程的分式方程,提高学生综合分析和解决实际问题能力教学内容【案例】小明和小丽比赛打字的速度,小丽每分钟比小明少打30个字,在相同的时间里,小丽打了2400个字,小明打了3000个字请问:小丽和小明每分钟分别可打多少个字?解:设小明每分钟可打x个字,则小丽每分钟可打(x-30)个字根据题意可列出以下
2、等量关系: 这个方程的分母中含有未知数,与以前学过的方程不同,这就是我们要学习的分式方程分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程整式方程:分母中不含有未知数的方程叫整式方程(一元一次方程、二元一次方程等)练习:1判断下列哪些方程是分式方程? 教法说明:学生讨论回答,得出结论 (1)、 (6)是整式方程,(2)、(3)、(4) 是分式方程,(5)是代数式问题:如何解这个方程呢?【教学设计】先由学生讨论如何解这个方程,教师可适当引导,可以设法去掉方程中分式的分母,转化为以前学过的方程来求解【答案解析】解:方程两边同时乘以,得 这就转化成我们以前学过的整式方程,得 如果我们想检验一下这种方法的正
3、确性,就需要检验一下求出的数是否是方程的解检验:把代入原方程, 因为 左边=20 右边=20 所以 左边=右边 所以是原方程的解讨论:归纳出解分式方程的一般步骤:1在方程的两边都乘以最简公分母,化为整式方程;2解方程;3检验练习:1解方程:【教学设计】先由学生讨论如何解这个方程,在学生讨论的基础上分析,解分式方程的关键是去分母,如何去掉分母呢?可以两边同时乘以分母的最简公分母,将分式方程转化为我们比较熟悉的整式方程解 方程两边同时乘以2(3x+1),得 2(2x-1)=3x+1 去括号,得 4x-2=3x+1 移项,化简得 x=3检验,将x=3代入原方程,得 左边=右边所以x=3是原方程的解说
4、明:一元方程的解也叫做方程的根,如x=3也可以说是方程的根2解方程:【教学设计】由学生独立完成,看是否能发现问题,并发现问题产生的原因 解 方程两边同时乘以x-1,得 x+x-1=1, 移项,化简得 x=1, 检验,将x=1代入原方程,结果发现方程中分式的分母为零,此时分式无意义. 所以x=1不是原方程的解,原方程无解说明:引出增根的概念,使分式方程中分母为零的根叫做增根 x=1就是分式方程的增根讨论: 1,2两题都是方程两边同时乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么第2题求出的x=1不是原方程的解呢?解分式方程时为什么有时会产生增根呢?分式方程转化为整式方程的过程必须两边同时乘以一个
5、适当的整式,由于这个整式可能为零,使本不相等的两边也相等了,这时就产生了增根所以解分式方程必须检验,而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根; 若该式的值为零,则是原方程的增根,这种验根方法比较便捷巩固练习:PK赛第1组:解方程: 第2组:解方程: 【知识梳理1】可化为一元一次的分式方程例1:解方程:解:两边同乘以得 ; 去括号得 经检验是增根,所以原方程无解【试一试】解方程:解:两边同乘以得 ; 去括号得 经检验是原方程的根,所以原方程的根式例2:解方程: 解:原方程变为:方程两边同乘得:
6、解得 x=1经检验x=1为方程的增根【试一试】解分式方程: 解:去分母,得 解得 经检验是原方程的解 所以原方程的解是.方法总结:1解分式方程的总思想就是去分母,把分式方程转化为整式方程2解分式方程一定要有检验的过程,检验的方法是将整式方程的根代入各分式的分母,看是否为零或将整式方程的解代入去分母时所乘的最简公分母,看结果是否为零,当结果为零时,整式方程的根是方程的增根,原方程无解;如果结果不为零,整武方程的根就是原方程的根【知识梳理2】分式方程的增根例3:方程有增根,求m的值【分析】增根是使方程最简公分母为0,且还必须是化成的整式方程的解【答案】 方程两边同乘以x(x-l),得3(x-l)+
7、6x=x+m, 方程的增根是x=0或x=l,x=0时,;x=l,时m=5,或m=5时,方程有增根【试一试】若方程会产生增根,试求k的值【答案】3方法总结:利用增根解题是一种重要昀解题方法:(1)先将分式方程化为整式方程;(2)求出增根;(3)将增根代入所化的整式方程,解出数值【知识梳理3】分式方程应用例4:上海至杭州的距离约为180千米,在使用动车组列车后,上海至杭州的列车速度是原来普通列车的1.5倍,并且比普通列车快0.5小时到达,那么上海至杭州的普通列车和动车组列车的速度各是多少? 解:普通列车的速度为x千米/小时,则动车组列车的速度为1.5x千米/小时. 据题意得: .270180=0.
8、75x. x=120. 1.5x=180. 经检验:x=120是原方程的解且符合题意. 答:普通列车的速度为120千米/小时,动车组列车的速度为180千米/小时.【试一试】(1)甲安装队为A小区安装66台空调,乙安装队为B小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台,两队分别每天安装几台空调?解:设乙队每天安装x台空调,则甲队每天安装(x+2)台空调,根据题意得答:甲、乙两队分别每天安装22台、20台空调(2)某工程,甲、乙两队合做需5天完成,若甲队单独完成的天数是乙队的2倍,则甲、乙两队单独完成这项任务各需多少天?【分析】一般设比较的对象为x 将两人一天所完成的分
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