2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其表示
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1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域;分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点,题型既有选择、填空题,又有解答题,中等偏上难度.1.函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作yf(x),xA.(2)函数的定义域、值域
2、函数yf(x),xA中,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域,所有函数值构成的集合y|yf(x),xA叫做这个函数的值域.(3)确定一个函数的两个要素:定义域和对应法则.2.设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是yf(x),x称作y的原象.映射f也可记为:f:AB,xf(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法:待定系
3、数法、换元法、配凑法、消去法.4.函数的表示法(1)函数的常用表示方法:列表法、图象法、解析法.(2)分段函数:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型;(2)根式型;(3)对数式型;(4)指数函数、对数函数型;(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f:AB,其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR,Bx|x0,f:xy|x|,
4、其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2函数f(x)的定义域是_答案(,1)(1,43函数yf(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是_;值域是_;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4,Qy|0y2,下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f:xyx;f:xyx;f:xyx;f:xy.答案解析对于,因为当x4时,y4Q,所以不是从P到Q的函数5已知函数f(x)x|x|,若f(x0)4,则x0的值为_答案2解析当x0时,f(x)x2,f(x0)4,即x4
5、,解得x02.当x0时,f(x)x2,f(x0)4,即x4,无解,所以x02.6设f(x)则f(f(2)_.答案解析因为20,所以f(f(2)f11.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10,即log2xlog22,解得x2,满足x0,所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1,故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020,则函数g(x)的定义域是()A1,2 019 B1,1)(1,2 019C0
6、,2 020 D1,1)(1,2 020答案B解析使函数f(x1)有意义,则0x12 020,解得1x2 019,故函数f(x1)的定义域为1,2 019所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中,若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”,改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”,则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020,得函数yf(x)的定义域为1,2 019,令则2x2 018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命
7、题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2,则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2,所以解得所以ab3.(2)设f(x)的定义域为0,1,要使函数f(xa)f(xa)有定义,则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a,当a0时,应有a1a,即0a;当a0时,应有a1a,即a0.所以a的取值范围是.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,可借助于数轴,注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域若yf(x)的定义域为(a,b),则解不
8、等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域;若yf(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数的值或范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解跟踪训练1 (1)若函数yf(x)的定义域为0,2,则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4 D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2,要使函数g(x)有意义,可得解得0x1,故选A.(2)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(3)若函数f(x)的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是_答案0,4解析由题意知,mx
9、2mx10对xR恒成立当m0时,f(x)的定义域为一切实数;当m0时,由得00)解析在f(x)3f1中,将x换成,则换成x,得f3f(x)1,将该方程代入已知方程消去f,得f(x)(x0)思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)配凑法:由已知条件f(g(x)F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;(4)消去法:已知f(x)与f或f(x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f
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