1.3正弦定理、余弦定理的应用 学案(含答案)
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1、1.3正弦定理、余弦定理的应用学习目标1.能运用解三角形的知识解决简单的测量问题.2.能用解三角形的知识解决物理问题.3.加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力知识点一测量中的常用角名称定义示例方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角点A的方位角为225方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角点A的方向角为南偏西45(或称西南方向)知识点二常见问题的测量方案1距离问题类型简图测量两点A,B均可达先选定适当的位置C,用测角器测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB两点A,B可视,但有一点不可达如左图,在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m(由于A,
2、C在河岸的同侧,这是可以做到的),再借助仪器,测出ACB,CAB,那么在ABC中,已知两角及一边,运用正弦定理就可以求出AB.两点A,B可视,均不可达测量者可以在河岸选定两点C,D,测得CDa,同时在C,D两点分别测得BCA,ACD,CDB,BDA.在ADC和BDC中,由正弦定理计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离.2高度问题类型简图测量方案底部可达测得BCa,BCA,ABatan .底部不可达点B与C,D共线测得CDa及C与ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CDa及BCD,BDC,ACB的度数. 在B
3、CD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值.1南偏东30指正南为始边,在水平面内向东旋转30.()2方位角可以是270.()3两点可视但不可到达问题的测量方案需要构造已知两角及一边的三角形并求解()4高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决()题型一测量问题命题角度1距离问题例1如图,为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该船在A处,此时测得ADC30,2分钟后该船行驶至B处,此时测得ACB60,BCD45,ADB60.(1)求A,D间的距离;(2)求船速解(1)在ACD中,CD1,ADC30,ACDACBBCD
4、105,CAD1803010545.由正弦定理,得ADsinACD(千米)(2)在BCD中,BDsinBCD1.在ADB中,AB2AD2BD22ADBDcosADB21221.AB(千米),船速为 千米/分钟反思感悟本方案的实质是把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为解ACD求AD,再解BCD求BD.最后解ADB求AB,把一个貌似困难的大问题分解为一个个可以轻松登上的台阶,是数学中常用的方法跟踪训练1如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A,B;找到一个点D,从点D可以观察到点A,C;找到一个点E,从点E可以观察到点B,C,并测量得到一些数据:CD2
5、,CE2,D45,ACD105,ACB48.19,BCE75,E60,则A,B两点之间的距离为_(取cos 48.19)答案解析依题意,知在ACD中,A30,由正弦定理得AC2.在BCE中,CBE45,由正弦定理得BC3.连接AB,在ABC中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10,AB.命题角度2高度问题例2如图所示,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45,BAD120,又在B点测得ABD45,其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD. 解由于CD平面ABD,CAD45,所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可,在ABD中,BDA1804
6、512015,由,得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.反思感悟此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练2如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC45,则塔AB的高是_m. 答案10解析在BCD中,CD10 m,BDC45,BCD1590105,DBC30,由正弦定理,得,BC10(m)在RtABC中,tan 60,ABBCtan
7、 6010(m)命题角度3角度问题例3如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_答案45解析依题意可得AD20,AC30,又CD50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0CAD180,所以CAD45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.反思感悟解决角度问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最
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