1、2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD2（4分）如图是一个空心圆柱体，它的主视图是ABCD3（4分）袋中放有3个绿球，2个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中摸出一个球，则摸出黑球的概率是ABCD4（4分）如图，在中，则ABCD5（4分）已知，且面积之比为，则和的对应边和的比为ABCD6（4分）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连结与相交于点则图中相似三角形共有A1对B2对C3对D4对7（4分）若抛物线与轴没有交点
2、，则的取值范围是ABCD8（4分）如图，小刚从山脚出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达点，则小刚上升了A米B米C米D米9（4分）如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一个定点，点是函数上一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会A逐渐增大B先减后增C逐渐减小D先增后减10（4分）二次函数的图象与图象的形状，开口方向相同，只是位置不同，则二次函数的顶点坐标是A，B，C，D，11（4分）如图，矩形中，点是边上的中点，连结取中点，连结，若是等边三角形，则ABC1D212（4分）如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：；其中正确的有个A1B2C3D4二、填空题（本
3、大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案写在题中横线上）13（4分）一元二次方程的根是14（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：与体积（单位：满足函数关系式为常数，其图象如图所示过点，则的值为15（4分）已知抛物线经过、两点，则16（4分）若、为抛物线上的三个点，则，的值从小到大排列为17（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，都在网格上，则的正切值为18（4分）如图，二次函数象与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形的面积的最大值是 三、解答题（本大题共8小题，共78
4、分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（6分）计算：20（6分）解方程：21（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为（1）用列表法或画树形图表示出的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率22（8分）如图，正方形中，为的中点，于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的面积23（10分）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园，已知院
5、墙长25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米（1）当的长为多少米时，矩形花圃的面积为300平方米？（2）若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少？24（10分）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与双曲线交于点，过作轴于点，已知，（1）直接写出；（2）求出双曲线的解析式；（3）若双曲线上有一点，直接上有一点，满足以，为对边的四边形是平行四边形，求点的横坐标25（12分）如图1，在中，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动（1）经过几秒的面积为的面积的？（2）经过几秒，与相似？（3）如
6、图2，设为的中线，那么在运动的过程中，与有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由26（12分）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项即可得到答案【解答
7、】解：、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误，、符合一元二次方程的定义，故本选项正确，、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误，、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键2（4分）如图是一个空心圆柱体，它的主视图是ABCD【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；
8、注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线3（4分）袋中放有3个绿球，2个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中摸出一个球，则摸出黑球的概率是ABCD【分析】根据题意，可得黑球的数目与球的总数目，进而由概率的计算方法可得摸出的球是黑球的概率【解答】解：根据题意，布袋中装有3个绿球，2个黑球和3个红球，则摸出的球是黑球的概率是；故选：【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比4（4分）如图，在中，则ABCD【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解【解答】解：，在中，故选：【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解
9、题的关键5（4分）已知，且面积之比为，则和的对应边和的比为ABCD【分析】根据相似三角形的面积比求出相似比，根据相似三角形的性质得到答案【解答】解：，且面积之比为，它们的相似比为和的对应边和的比为，故选：【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键6（4分）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连结与相交于点则图中相似三角形共有A1对B2对C3对D4对【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三
10、角形，然后即可选择答案【解答】解：在平行四边形中，所以，共3对故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的对边互相平行的性质，要注意全等三角形是相似三角形的特殊情况7（4分）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是ABCD【分析】利用根的判别式列不等式求解即可【解答】解：抛物线与轴没有交点，（6），解得，的取值范围是故选：【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键8（4分）如图，小刚从山脚出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达点，则小刚上升了A米B米C米D米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度【解答】解：在中，米，米故选：【点评】此题主
11、要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出，的关系是解题关键9（4分）如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一个定点，点是函数上一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会A逐渐增大B先减后增C逐渐减小D先增后减【分析】由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定【解答】解：设点的坐标为，轴于点，点是轴正半轴上的一个定点，四边形是个直角梯形，四边形的面积，是定值，四边形的面积是个增函数，即点的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐增大故选：【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函
12、数关系式10（4分）二次函数的图象与图象的形状，开口方向相同，只是位置不同，则二次函数的顶点坐标是A，B，C，D，【分析】因为图象的形状，开口方向相同，所以利用公式法的顶点坐标公式即可求【解答】解：根据题意可知，又，顶点坐标为，故选：【点评】此题考查了二次函数的性质11（4分）如图，矩形中，点是边上的中点，连结取中点，连结，若是等边三角形，则ABC1D2【分析】作于设，则想办法求出即可解决问题；【解答】解：作于设，则是等边三角形，故选：【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型12（4分）如图所示
13、，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：；其中正确的有个A1B2C3D4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：抛物线与轴有两个交点，故错误；由于对称轴为，与关于对称，时，时，故错误；对称轴为，故正确；顶点为，即，故正确；故选：【点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案写在题中横线上）13（4分）一元二次方程的根是，【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：方程变形得：，可得或，解得：，故答案为：，【点
14、评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键14（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：与体积（单位：满足函数关系式为常数，其图象如图所示过点，则的值为9【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点，利用待定系数法求出函数解形式即可求得值，从而确定答案【解答】解：由图象可知，函数图象经过点，设反比例函数为，则，解得，故答案为：9【点评】此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式同学们要认真观察图象，属于基础题，难度较小，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型15（4分）已知抛物线经过
15、、两点，则1【分析】根据二次函数的对称性求得线段的中点坐标，然后利用对称轴方程即可求解【解答】解：，线段的中点坐标为，二次函数的对称轴为直线，解得故答案为：1【点评】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握在同一函数图象上，函数值相等的两点关于对称轴对称是解题的关键16（4分）若、为抛物线上的三个点，则，的值从小到大排列为【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，、为抛物线上的三个点，点关于对称轴的对称点是，故答案为【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键
16、17（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，都在网格上，则的正切值为【分析】作于点，利用可以求得、的长，从而可以求出的值【解答】解：如图，作于点，则，则故故答案为：【点评】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题18（4分）如图，二次函数象与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形的面积的最大值是8【分析】根据解析式求得点、坐标，过点作轴于点，运用割补法即可得到：四边形的面积的面积四边形的面积，据此列式计算化简就可求得关于的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况【解答】解：在中，当时，当时，有，解
17、得：或，点、，点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，过点作轴于点，则，四边形的面积的面积四边形的面积，；则时，取得最大值，最大值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式及配方法是解决问题的关键三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（6分）计算：【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（6分）解方程：【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答【解答】
18、解：原方程可以变形为，【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数21（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为（1）用列表法或画树形图表示出的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率【分析】（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可【解答】解：（1）列表如下1234123
19、4（2）共有16种情形，其中落在二次函数 的图象上有2中，即点，【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）22（8分）如图，正方形中，为的中点，于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的面积【分析】（1）由正方形的性质和可证，又因为，可证得；（2）先利用勾股定理求出的长，再证与相似，求出的长，直接用三角形面积公式即可求出的面积【解答】（1）证明：四边形是正方形，于点，；（2）在正方形中，为的中点，在中，即，【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相
20、似三角形的判定与性质23（10分）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园，已知院墙长25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米（1）当的长为多少米时，矩形花圃的面积为300平方米？（2）若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少？【分析】（1）设为，则为，根据题意可得等量关系：矩形的长宽，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）根据题意和图形可以得到与之间的函数关系，将函数关系式化为顶点式，即可解答本题【解答】解：（1）设为，则为，根据题意得方程：，解得；，当时（不合题意，舍去），当时（符合题意）答：当宽为15米，长为20米时，花
21、园面积为300米（2）由题意可得，当时，取得最大值，此时，答：当为时，最大，最大是【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数和方程的思想解答24（10分）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与双曲线交于点，过作轴于点，已知，（1）直接写出；（2）求出双曲线的解析式；（3）若双曲线上有一点，直接上有一点，满足以，为对边的四边形是平行四边形，求点的横坐标【分析】（1）将点坐标代入直线的解析式即可得出结论；（2）根据平行于轴，得出点纵坐标，进而求出点的坐标，即可得出结论；（3）先求出，再利用平行四边形的性质得出，设出点坐标，表示出坐标，
22、最后用建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）将点代入直线中，得，故答案为；（2）由（1）知，直线的解析式为，轴，且，点的纵坐标为2，双曲线的解析式；（3）以，为对边的四边形是平行四边形，由（2）知，由（2）知，直线的解析式为，点在直线上，设，点的纵坐标为，由（2）知，双曲线的解析式为，点在双曲线上，或（舍或或（舍，或，【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键25（12分）如图1，在中，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动（1）经过几秒的面积为的面积的
23、？（2）经过几秒，与相似？（3）如图2，设为的中线，那么在运动的过程中，与有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由【分析】（1）分别表示出线段和线段的长后利用列出方程求解；（2）设运动时间为，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于的方程，可求得的值；（3）设运动时间为，与互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出，再证明，那么，依此列出比例式，解方程即可【解答】解：（1）设经过秒的面积为的面积的，由题意得：，则，解得：或故经过2秒或4秒，的面积为的面积的；（2）设运动时间为，与相似当与相似时，则有或，所以，或，解得，或因此，经过
24、秒或秒，与相似；有可能由勾股定理得为的中线，又，解得因此，经过秒，【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解26（12分）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标【分析】（1）已知点坐标可确定直线的解析式，进一步能求出点的坐标点是抛物线的顶
25、点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点的坐标，依据待定系数法可解（2）首先由抛物线的解析式求出点的坐标，在和中，已知的条件是公共边，若与不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若等于，那么还要满足的条件为：，各自去掉一个直角后容易发现，点正好在第二象限的角平分线上，联立直线与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点在第二象限的限定条件（3）分别以、为直角顶点，分类进行讨论找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可【解答】解：（1）把代入，得，令，解得：，的坐标是为顶点，设抛物线的解析为，把代入得：，解得，（2）存在，当时，此时平分第二象限，即的解析式为设，则，解得，舍），（3）如图，当时，即，即；如图，当时，即，即；如图，当时，作轴于，则，即，或3，即，综上，点坐标为或或或【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论
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