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    浙江省20届高考数学一轮 第9章 高考专题突破6 第2课时

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    浙江省20届高考数学一轮 第9章 高考专题突破6 第2课时

    1、第 2 课时 定点与定值问题题型一 定点问题例 1 (2018湖州模拟)已知椭圆 y 21( a0)的上顶点为 B(0,1) ,左、右焦点分别为x2a2F1,F 2,BF 2 的延长线交椭圆于点 M, 4 .BM F2M (1)求椭圆的标准方程;(2)若直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 kBPk BQm( m 为非零常数) ,求证:直线 l 过定点.(1)解 方法一 设 M(x0,y0),F2(c,0),则由 4 ,BM F2M 得Error! 即Error!代入椭圆方程得 1,又 a2c 21,所以 a22,16c29a2 19所以椭圆的标准方程为 y 21.x22方法二 如图,连接 B

    2、F1,MF1,设|BF 1|BF 2|3n,则|F 2M|n,又| MF1|MF 2| |BF1| BF2|6n,所以|MF 1|5n,由| BF1|BM|MF 1|345,得F 1BM90,则OBF 245 ,a22b 22,所以椭圆的标准方程为 y 21.x22(2)证明 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),当直 线 l 的斜率不存在时,x 1x 20,y 1y 2,所以 kBPk BQ m ,y1 1x1 y2 1x2 2x1x1 ,即直线 l:x .2m 2m当直线 l 的斜率存在时,设直线 l:ykxt,把 ykxt 代入 椭圆的方程并整理得 (12k 2)x24ktx 2t 2

    3、20,16k 2t24(12k 2)(2t22)8(2k 21t 2)0,所以Error!kBPk BQ y1 1x1 y2 1x2 kx1 t 1x1 kx2 t 1x22k x1x2 t 1x1 x2x1x2 m,2k2t2 21 2k2 t 1 4kt1 2k22t2 21 2k2整理得 2km(t1),t 1,2km所以直线 l 的方程为 ykx 1k 1,2km (x 2m)过定点 .( 2m, 1)综上,直线 l 过定点 .( 2m, 1)思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点

    4、.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.跟踪训练 1 (2018浙江重点中学调研) 已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1,F 2,|F 1F2|2 ,点 P 在椭圆上,tanPF 2F12 且PF 1F2 的面积为 4.5(1)求椭圆的标准方程;(2)若点 M 是椭圆上任意一点,A 1,A 2 分别是椭圆的左、右顶点,直线 MA1,MA 2 分别与直线 x 交于 E,F 两点,试证:以 EF 为直径的圆交 x 轴于定点,并求该定点的坐标.352解 (1)由 tanPF 2F12,得 sinPF 2F1 ,255cosPF 2F

    5、1 .55由题意得Error!解得Error!所以 2a|PF 1| PF2|426,a3,结合 2c2 ,c ,得 b24,5 5故椭圆的标准方程为 1.x29 y24(2)由(1)得 A1(3,0) ,A2(3,0),设 M(x0,y0),则直线 MA1 的方程为 y (x3) ,与直线 x 的交点为 E ,y0x0 3 352 (352,y0x0 3(352 3)直线 MA2 的方程为 y (x3) ,与直线 x 的交点为 F .y0x0 3 352 (352,y0x0 3(352 3)设以 EF 为直径的圆交 x 轴于点 Q(m,0),则 QEQF,从而 kQEkQF 1,即 1,y0

    6、x0 3(352 3)352 my0x0 3(352 3)352 m即 2,94y20x20 9 (352 m)又 1,得 m 1,x209 y204 352故以 EF 为直径的圆交 x 轴于定点,该定点的坐标为 , .(352 1,0) (352 1,0)题型二 定值问题例 2 (2018北京)已知抛物线 C:y 22px 经过点 P(1,2),过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围;(2)设 O 为原点, , ,求证: 为定值.QM QO QN QO 1 1(1)解

    7、 因为抛物线 y22px 过点(1,2),所以 2p4,即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24x.由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k 0) ,由Error!得 k2x2(2k4)x10.依题意知 (2 k4) 24k 210,解得 k b0)上一点,F 1,F 2 分别为 C 的左、右焦x2a2 y2b2点,且|F 1F2|4,F 1MF260 ,F 1MF2 的面积为 .433(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 N(0,2) ,过点 P(1,2)作直线 l,交椭圆 C 于异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB的斜率分别为 k1,k 2,证明:

    8、k 1k 2 为定值.(1)解 在F 1MF2 中,由 |MF1|MF2|sin 60 ,得|MF 1|MF2| .12 433 163由余弦定理,得|F1F2|2 |MF1|2|MF 2|22|MF 1|MF2|cos 60(| MF1|MF 2|)22|MF 1|MF2|(1cos 60),解得|MF 1|MF 2|4 .2从而 2a|MF 1| MF2|4 ,即 a2 .2 2由|F 1F2|4,得 c2,从而 b2,故椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)证明 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k,显 然 k0,则其方程 为 y2k(x1) ,由Error!得(12k 2)x2

    9、 4k(k2)x 2k 28k0.56k 232k0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2 ,x1x2 .4kk 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1k 2 y1 2x1 y2 2x22kx1x2 k 4x1 x2x1x22k(k4) 4.4kk 22k2 8k当直线 l 的斜率不存在时,可得 A ,B ,得 k1k 24.( 1,142) ( 1, 142)综上,k 1k 2为定值.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法 则解决数学 问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则 ,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运

    10、算 结果等.例 椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别是 F1,F 2,离心率为 ,过 F1 且垂直于x2a2 y2b2 32x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF 2,设F 1PF2 的角平分线 PM 交C 的长轴于点 M(m, 0),求 m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1,PF 2 的斜率分别为 k1,k 2,若 k20,证明 为定值,并求出这个定值.1kk1 1kk2解 (1)由于 c2a

    11、2b 2,将 xc 代入椭圆方程 1,得 y .x2a2 y2b2 b2a由题意知 1,即 a2b 2.2b2a又 e ,ca 32所以 a2,b1.所以椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)设 P(x0,y0)(y00),又 F1( ,0),F2( ,0),3 3所以直线 PF1,PF2 的方程分别为:y0x( x0 )y y00,1PFl3 3:y0x(x 0 )y y00.23 3由题意知 .|my0 3y0|y20x0 32|my0 3y0|y20x0 32由于点 P 在椭圆上,所以 y 1.x204 20所以 .|m 3|( 32x0 2)2|m 3|( 32x0 2)2因为 b

    12、0)的下顶点及左、右x2a2 y2b2焦点 F1,F 2,过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线与椭圆 C 相交于 M,N 两点,线段 MN 的中垂线交 x 轴于点 D 且垂足为点 P.(1)求椭圆 C 的方程;(2)证明:当直线 MN 斜率变化时, 为定值.|DF1|MN|(1)解 当 x0 时,由 x2( y1) 24,得 y1 或 y3;当 y0 时,由 x2(y1) 24 ,得 x .3又圆 x2(y1) 24 过椭圆 1( ab0)的下顶点及焦点 F1,F2,x2a2 y2b2故 c ,b1,所以 a2b 2c 24,3即椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证明 易知直线 MN 的

    13、斜率存在,且不为 0,所以设直线 MN:yk (x ),且 M(x1,y1),N(x2,y2),3由Error! 消去 y,得(14k 2)x2 8 k2x4(3k 2 1)0,3(8 k2)244(14k 2)(3k21)16(k 21)0,3故 x1x 2 ,x1x2 ,83k21 4k2 43k2 11 4k2则 MN 的中点 P ,( 43k21 4k2, 3k1 4k2)故 MN 的中垂线 DP 的方程为k ,k0,(y 3k1 4k2) (x 43k21 4k2)由 y0 得 D ,( 33k21 4k2,0)故|DF 1| ,333k21 4k2 31 k21 4k2|MN| |

    14、x1x 2| ,1 k241 k21 4k2因此, 为定值.|DF1|MN| 342.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上有一点 P(m, 5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线 C 的方程;(2)已知抛物线上一点 M(4,t),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MDME,判断直线 DE 是否过定点,并说明理由 .解 (1)由题意设抛物线方程为 x22py(p0),其准线方程为 y ,P(m,5)到焦点的距离等于 P 到其准线的距离,所以 5 6,即 p2.p2 p2所以抛物线方程为 x24y .(2)由(1)可得点 M(4,4),设直线 MD 的方程 为

    15、yk(x4)4( k0),联立Error!得 x24kx16k 160,由题意得 0,设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 xMx116k16,所以 x1 4k 4,16k 164y1 4(k1) 2,4k 424同理可得 x2 4,y 24 2,4k (1k 1)所以直线 DE 的方程为 y4( k1) 2 (x4k 4)4k 12 4(1k 1)24k 4 4k 4 (x4k 4)(k 1k)(k 1k 2)k 1k (x4k4).(k 1k 2)化简得 y x4k (k 1k 2) 4k (x4)8.(k 1k 2)所以直线 DE 过定点(4,8).3.知抛物线 C1 的方程为 x

    16、22py( p0),过点 M(a,2p)(a 为常数) 作抛物线 C1 的两条切线,切点分别为 A,B.(1)过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线 C1 交于 Q,N 两点,Q,N 两点在 x 轴上的射影分别为 Q,N,且| QN|2 ,求抛物线 C1 的方程;5(2)设直线 AM,BM 的斜率分别为 k1,k 2.求证:k 1k2 为定值.(1)解 因为抛物线 C1 的焦点坐标是 ,(0,p2)所以过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是 1,即 1.x2 yp2 x2 2yp联立Error!消去 y 并整理,得 x2 xp 20,p22显然 0 恒成立,设点 Q(xQ,

    17、yQ),N(xN,yN),则 xQx N ,xQxNp 2.p22则|Q N| xQx N| xQ xN2 4xQxN 2 ,( p22)2 4 p2 p44 4p2 5解得 p2.所以抛物线 C1 的方程 为 x24y.(2)证明 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,x20),得 y ,则 y .x22p xp所以切线 MA 的方程是 yy 1 (xx 1),x1p即 y x .x1p x212p又点 M(a,2p )在直线 MA 上,于是有2p a ,x1p x212p即 x 2ax 14p 20.21同理,有 x 2 ax24p 20,2因此,x 1,x2 是方程 x22a

    18、x4p 20 的两根,则 x1x 22a,x 1x24p 2.所以 k1k2 4,x1px2p x1x2p2 4p2p2故 k1k2为定值得证.4.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,过左焦点 F 且垂直于 x 轴的直线22交椭圆 C 于 P,Q 两点,且|PQ|2 .2(1)求 C 的方程;(2)若直线 l 是圆 x2y 28 上的点 (2,2)处的切线,点 M 是直线 l 上任一点,过点 M 作椭圆C 的切线 MA, MB,切点分别为 A,B,设切线的斜率都存在.求证:直线 AB 过定点,并求出该定点的坐标.解 (1)由已知,设椭圆 C 的方程为 1( ab0),x2

    19、a2 y2b2因为|PQ|2 ,不妨设点 P(c, ),2 2代入椭圆方程得 1,c2a2 2b2又因为 e ,ca 22所以 1,bc ,12 2b2所以 b24,a 22b 28,所以 C 的方程为 1.x28 y24(2)依题设,得直线 l 的方程为 y2(x2) ,即 xy40,设 M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),x0x 1 且 x0x 2,由切线 MA 的斜率存在, 设其方程为 yy 1k(xx 1),联立Error!得(2k 2 1)x2 4k(y1kx 1)x 2(y1kx 1)280,由相切得 16 k2(y1kx 1)28(2k 21)(y 1kx 1)

    20、240,化简得(y 1kx 1)28k 24,即(x 8)k22 x1y1ky 4 0,21 21因为方程只有一解,所以 k ,x1y1x21 8 x1y1 2y21 x12y1所以切线 MA 的方程为 yy 1 (xx 1),x12y1即 x1x2y 1y8,同理,切线 MB 的方程为 x2x2y 2y8,又因为两切线都经过点 M(x0,y0),所以Error!所以直线 AB 的方程为 x0x 2y0y8,又 x0y 04,所以直线 AB 的方程可化为 x0x2(4 x 0)y8,即 x0(x2y) 8y80,令Error! 得Error!所以直线 AB 恒过定点(2 ,1).5.设椭圆 C

    21、: 1(ab0)的离心率 e ,左顶点 M 到直线 1 的距离x2a2 y2b2 32 xa ybd ,O 为坐标原点.455(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值.(1)解 由 e ,得 c a,又 b2a 2c 2,32 32所以 b a,即 a2b.12由左顶点 M(a,0) 到直线 1,xa yb即到直线 bxay ab0 的距离 d ,455得 ,即 ,|b a ab|a2 b2 455 2aba2 b2 455把 a2b 代入上式,得 ,解得 b1.4b25b 455

    22、所以 a2b2,c .3所以椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),当直线 AB 的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知 x1x 2,y1y 2.因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故 0,OA OB 即 x1x2y 1y20,也就是 x y 0,21 21又点 A 在椭圆 C 上,所以 y 1,x214 21解得|x 1|y 1| .255此时点 O 到直线 AB 的距离 d1|x 1| .255当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 ykx m,与椭圆方程联立有Error!消去 y,得(1 4k2)x28kmx4m 240,所以

    23、x1x 2 ,x1x2 .8km1 4k2 4m2 41 4k2因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OAOB ,所以 x 1x2y 1y20,OA OB 所以(1k 2)x1x2km (x1x 2)m 20,所以(1k 2) m 20,4m2 41 4k2 8k2m21 4k2整理得 5m24(k 21),所以点 O 到直线 AB 的距离 d1 .|m|k2 1 255综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值 .2556.(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)如图,F 1,F 2 是椭圆 C: y 21 的左、右焦点,x22A,B 是椭圆 C 上的两点,且都在 x 轴上方,AF

    24、1BF 2,设 AF2,BF 1 的交点为 M.(1)求证: 为定值;1|AF1| 1|BF2|(2)求动点 M 的轨迹方程 .(1)证明 方法一 如题图所示,由题意知 F1(1,0),F 2(1,0),设直线 AF1 的方程为xmy1,与椭圆 C 的方程联立,由 Error!消去 x,整理得 (m22)y 22my10.由题意知,0,因为点 A 在 x 轴 上方,设 A(xA,yA),所以 yA0,yA ,2m 22m2 12m2 2 m 2m2 1m2 2所以|AF 1| |yA0| .1 m21 m2m 2m2 1m2 2直线 BF2 的方程为 xmy1, 设 B(xB,yB),同理可得

    25、 yB ,|BF2| |yB0| , m 2m2 1m2 2 1 m2 1 m2 m 2m2 1m2 2所以 , ,1|AF1| m2 21 m2m 2m2 1 1|BF2| m2 21 m2 m 2m2 1所以 1|AF1| 1|BF2| m2 21 m2m 2m2 1 m2 21 m2 m 2m2 1m2 21 m2 1m 2m2 1 1 m 2m2 1 2 .m2 21 m2 22m2 12m2 1 m2 2所以 为定值.1|AF1| 1|BF2|方法二 如图所示,延长 AF1 交椭圆于 B1,由 椭圆的对称性可知| B1F1|BF 2|,所以要证 为定值,只需 证 为定值.1|AF1|

    26、 1|BF2| 1|AF1| 1|B1F1|设直线 AF1 的方程为 xmy1, A(x1,y1),B1(x2,y2),y10,y20,所以 y1y 2 ,y1y2 .2mm2 2 1m2 2所以 1|AF1| 1|B1F1| 1m2 1(1|y1| 1|y2|) 1m2 1(1y1 1y2) 1m2 1y2 y1y1y2 2 .1m2 1 y1 y22 4y1y2y1y2 8m2 1m2 1 2所以 为定值.1|AF1| 1|BF2|(2)解 方法一 设直线 AF2,BF1 的方程分别为xk 1y1,xk 2y1,联立,得Error!解得Error!所以点 M 的坐标为 .(k1 k2k2

    27、k1, 2k2 k1)又由(1)方法一可得 k1 m ,xA 1yA myA 2yA 2yAk2 m ,xB 1yB myB 2yB 2yB所以 k1k 2m m 2m 22yA 2yB (1yB 1yA)2 m m2 22m2 1 m m2 22m2 1 m2(m2m )6m ,k2k 12 4 .m2 22m2 1 m m2 22m2 1 m 2m2 1所以Error!所以动点 M 的轨迹方程为 1(y0).x298y218方法二 如图所示,设|AF 1|d 1,|BF2|d 2,因为 AF1BF 2,所以 ,|MF1|MB| d1d2所以 ,即| MF1| |BF1|.|MF1|BF1| d1d1 d2 d1d1 d2又|BF 1| |BF2| 2 ,2所以|BF 1|2 | BF2|2 d2,2 2所以|MF 1| |BF1| .d1d1 d2 d122 d2d1 d2同理可得|MF 2| ,d222 d1d1 d2所以|MF 1|MF 2| 2 ,d122 d2d1 d2 d222 d1d1 d2 2 2d1d2d1 d2由(1)可知 ,d1d2d1 d2 11d2 1d1 122所以|MF 1|MF 2| |F1F2|2,动点 M 的轨迹为以 F1,F2为左、右焦点,以 为长轴长的32 32椭圆的一半,所以动点 M 的轨迹方程为 1(y0).x298y218


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