1、单元评估验收( 一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，ak，b k(k0)，A45 ，则满足条件的三角形有( )3A0 个 B1 个C2 个 D无数个解析：由正弦定理得 ，asin A bsin B所以 sin B 1，即 sin B1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角bsin Aa 62形答案：A2在ABC 中，已知 a ，b2，B45，则角 A( )2A30或 150 B60 或 120C60 D30解析：由正弦定理 得，sin A sin B sin
2、 45 ，又因为 ba，故asin A bsin B ab 22 12A30.答案：D3已知三角形三边之比为 578，则最大角与最小角的和为( )A90 B120C135 D150解析：设最小边为 5，则三角形的三边分别为 5，7，8，设边长为 7 的边对应的角为，则由余弦定理可得 4925 6480cos ，解得 cos ，所以 60.则最大角与最小12角的和为 18060 120.答案：B4在ABC 中，a15，b20，A30，则 cos B( )A B.53 23C D.53 53解析：因为 ，asin A bsin B所以 ，15sin 30 20sin B解得 sin B .23因为
3、 ba，所以 BA，故 B 有两解，所以 cos B .53答案：A5在ABC 中，已知 cos Acos Bsin Asin B，则ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：由 cos Acos Bsin Asin B，得cos Acos Bsin Asin Bcos (AB)0，所以 AB 90，所以 C90，C 为钝角答案：C6如图所示，海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30，与 O 相距 15 海里的 C处现甲船以 35 海里/时的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 25 海里的 B 处的乙船，则甲船到达 B 处需要的时间为( )A. 小
4、时 B1 小时12C. 小时 D2 小时32解析：在OBC 中，由余弦定理，得 CB2CO 2OB 22COOBcos 12015 225 2152535 2，因此 CB35， 1(小时)，因此甲船到达 B 处需要的时间为35351 小时答案：B7已知ABC 中，sin Asin B sin Ck ( k1)2k，则 k 的取值范围是( )A(2，) B(，0)C. D.( 12， 0) (12， )解析：由正弦定理得：amk，bm (k1)，c2mk( m0) ，因为 即a b c，a c b，) m（2k 1） 2mk，3mk m（k 1），)所以 k .12答案：D8ABC 的两边长分别
5、为 2，3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的直径为( )13A. B.922 924C. D9928 2解析：设另一条边为 x，则 x22 23 2223 ，13所以 x29，所以 x3.设 cos ，则 sin .13 223所以 2R .3sin 3223 924答案：B9已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A ，b2acos 3B，c 1，则 ABC 的面积等于( )A. B.32 34C. D.36 38解析：由正弦定理得 sin B 2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin ，又 B(0，)，3 3所以 B ，又 AB ，则 ABC 是
6、正三角形，所以 SABC bcsin A 11 .3 3 12 12 32 34答案：B10在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2 ，则ABC 的A2 c b2c形状为( )A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：由已知可得 ，1 cos A2 12 b2c即 cos A ，b ccos A.bc法一 由余弦定理得cos A ，b2 c2 a22bc则 bc ，b2 c2 a22bc所以 c2a 2b 2，由此知 ABC 为直角三角形法二 由正弦定理，得 sin Bsin Ccos A.在ABC 中，sin Bsin(A C)，从而有 si
7、n Acos Ccos Asin Csin C cos A，即 sin Acos C0.在ABC 中，sin A0，所以 cos C0.由此得 C ，2故ABC 为直角三角形答案：B11一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到 A 处时测得公路北侧一铁塔底部 C 在西偏北 30的方向上，行驶 200 m 后到达 B 处，测得此铁塔底部 C 在西偏北 75的方向上，塔顶 D 的仰角为 30，则此铁塔的高度为( )A. m B50 m10063 6C100 m D100 m3 2解析：设此铁塔高 h(m)，则 BC h，在ABC 中， BAC30，CBA105，3BCA 45，AB200.根
8、据正弦定理得 ，解得 h (m)3hsin 30 200sin 45 10063答案：A12在ABC 中，AB 7，AC 6，M 是 BC 的中点，AM4，则 BC 等于( )A. B.21 106C. D.69 154解析：设 BCa，则 BMMC .a2在ABM 中，AB 2BM 2AM 22BMAM cosAMB，即 72 a24 22 4cosAMB，14 a2在ACM 中，AC 2AM 2CM 22AM CMcosAMC，即 624 2 a224 cosAMB，14 a2得 726 24 24 2 a2，所以 a .12 106答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，
9、共 20 分把答案填在题中横线上)13已知ABC 中，3a 22ab3b 23c 20，则 cos C_解析：由 3a22ab3b 23c 20，得 c2a 2b 2 ab.23根据余弦定理，得cos Ca2 b2 c22aba2 b2 a2 b2 23ab2ab ，13所以 cos C .13答案：1314设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a，3sin A5sin B，则角 C_解析：由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a，则 a ，c2ab ，5b3 7b3cos C ，a2 b2 c22ab 12又 0C ，因此角 C .23答案：2315在
10、ABC 中，A 满足 sin Acos A1，AB2，BC 2 ，则ABC 的面积为3 3_解析：由 3sin A cos A 1，sin2 A cos2 A 1，)得sin A 32，cos A 12.)所以 A120，由正弦定理得 ，2sin C 23sin A所以 sin C .12因为 AB0，0B ，35所以 sin B .1 cos2B45由正弦定理得 ，asin A bsin B所以 sin A sin B .ab 25(2)因为 SABC acsin B c 4，12 45所以 c5.由余弦定理得 b2a 2c 22accos B225 2225 17，35所以 b 或 b (
11、舍去 )17 17所以 b .1719(本小题满分 12 分)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，( abc)(ab c)ac.(1)求 B；(2)若 sin Asin C ，求 C.3 14解：(1)因为(a bc )(abc )ac，所以 a2c 2b 2ac ，由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac 12又 B(0，180)，因此 B120.(2)由(1)知 AC60，所以 cos(AC) cos Acos Csin Asin Ccos Acos C sin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C 2 ，12 3 14 32
12、又因为60 AC60 ，故 AC30或 AC30.由得 C15 或 C45.20(本小题满分 12 分)某观测站在城 A 南偏西 20方向的 C 处，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C 处测得公路距 C 处 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 C、D 间的距离为 21 千米，问这人还要走多少千米可到达城 A?解：如图所示，设ACD ，CDB.在CBD 中，由余弦定理得 cos BD2 CD2 CB22BDCD ，202 212 31222021 17所以 sin .437而 sin sin(60) sin cos 60sin
13、 60cos .437 12 32 17 5314在ACD 中， ，21sin 60 ADsin 所以 AD 15(千米)21sin sin 60所以这人还要再走 15 千米可到达城 A.21(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos 2C2 cos C 20.2(1)求角 C 的大小；(2)若 b a，ABC 的面积为 sin Asin B，求 sin A 及 c 的值222解：(1)因为 cos 2C2 cos C20，2所以 2cos2C2 cos C10，2即( cos C1) 20，2所以 cos C .22又 C(0，)，所以 C .3
14、4(2)因为 c2a 2b 22abcos C3a 22a 25a 2，所以 c a，即 sin C sin A，5 5所以 sin A sin C .15 1010因为 SABC absin C，12且 SABC sin Asin B，22所以 absin C sin Asin B，12 22所以 sin C ，absin Asin B 2由正弦定理得 sin C ，解得 c1.(csin C)2 222(本小题满分 12 分)在ABC 中，AC6，cos B ，C .45 4(1)求 AB 的长；(2)求 cos 的值(A 6)解：因为 cos B 0，所以 0B，45所以 sin B ，1 cos2 B1 (45)2 35由正弦定理知 ，ACsin B ABsin C所以 AB 5 .ACsin Csin B62235 2(2)在三角形 ABC 中 ABC，所以 A(BC)于是 cos A cos(BC)cos (B 4)cos B cos sin Bsin ，4 4又 cos B ，sin B ，45 35故 cos A ，45 22 35 22 210因为 0A，所以 sin A .1 cos2A7210因此 cos cos A cos sin Asin .(A 6) 6 6 210 32 7210 12 72 620
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