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    2018年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

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    2018年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

    1、2018 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设 Ax|2 x ,B 3,2,1,则 AB(  )A B3,2,1 C 2,1 D x|x32 (5 分)设 是复数 z 的共轭复数,满足 ,则|z |(  )A2 B2 C D3 (5 分)贵阳地铁 1 号线 12 月 28 日开通运营,某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10 个车站上车的人数统计如下:70、60、60、50、60、40、40、30、30、10,则这组数据的众数、中位数、平均

    2、数的和为(  )A170 B165 C160 D1504 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2xy 的最大值为(  )A3 B6 C10 D125 (5 分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则整数 a 的值为(  )A6 B7 C8 D96 (5 分) 九章算术是我国古代的数学名著,书中均输章有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,文各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱?” (“钱”是古代的一种重量单

    3、位) 在这第 2 页(共 25 页)个问题中,丙所得为(  )A 钱 B 钱 C 钱 D1 钱7 (5 分)把函数 y sin(x+ )+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,那么所得图象的一条对称轴方程为(  )Ax B C D8 (5 分)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1 ,a 2a68(a 42) ,则 S2018(  )A2 2017 B1( ) 2017 C2 2018 D1( ) 20189 (5 分)已知奇函数 f(x )在 R 上是减函数,且 af(log 3 ) ,bf (log 39.1) ,cf(2 0.8

    4、) ,则 a,b,c 的大小关系为(  )Aabc Bcba Cbac Dc ab10 (5 分)如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是(  )A8+4 B12 C8+4 D1011 (5 分)已知双曲线 1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px (p0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点若双曲线的离心率为 ,AOB 的面积为 2,则 p(  )A2 B1 C2 D312 (5 分)已知函数 f(x ) 的图象上有两对关于 y 轴对称的点,则实第 3 页(共 25 页)数 k 的

    5、取值范围是(  )A (0,e) B (0, e2 ) C (0,2e 2) D (0,e 2 )二、填空题,本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)若向量 (x,1)与向量 (1,2)垂直,则| + |     14 (5 分)某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人) ,则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是     15 (5 分)若直线 l:ax 3y+120(a R)与圆 M:x 2+y24y0 相交于 A、B 两点,若ABM 的平分线过线段 MA 的中点,则实数 a    

    6、; 16 (5 分)已知底面是正六边形的六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的表面上,底面正六边形的边长为 1,若该六棱锥体积的最大值为 ,则球 O 的表面积为     三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答17 (12 分)已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,AB 边上的高 hc()若ABC 为锐角三角形,且 cosA ,求角 C 的正弦值;()若C ,M ,求 M 的值18 (12 分)某高校通过自主招生方式在贵阳招

    7、收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题已知这 6 道问题中,学生甲能正确回答其中的 4 个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的()求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率()请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大?19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为直角梯形,ADBC ,ADC90,平面 PAD底面 ABCDQ 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA PD2BC AD

    8、1,CD (I)求证:平面 PBC平面 PQB;第 4 页(共 25 页)()若平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小为 60,求 PM 的长20 (12 分)已知椭圆 C: + 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 M为短轴的上端点, 0,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB| ()求椭圆 C 的方程;()设经过点(2,1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G,H 两点若 k1,k 2分别为直线 MH,MG 的斜率,求 k1+k2 的值21 (12 分)已知函数 f(x )lnx+ x2ax+a(aR) ()若函数 f(x

    9、 )在(0,+)上为单调增函数,求实数 a 的取值范围;()若函数 f(x )在 xx 1 和 xx 2 处取得极值,且 x2 x1(e 为自然对数的底数) ,求 f(x 2)f(x 1)的最大值请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修坐标系与参数方程选讲22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( 为参数) ,在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 cos(+)1()求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;()过点 M(1,0)

    10、且与直线 l 平行的直线 l1 交曲线 C 于 A,B 两点,求点 M 到A,B 两点的距离之和选修不等式选讲第 5 页(共 25 页)23已知函数 f(x )|x 2|x+1|()解不等式 f(x )x;()若关于 x 的不等式 f(x)a 22a 的解集为 R,求实数 a 的取值范围第 6 页(共 25 页)2018 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设 Ax|2 x ,B 3,2,1,则 AB(  )A B3,2,1 C 2,1 D

    11、x|x3【分析】求出 A,得到关于 A,B 的交集即可【解答】解:Ax|2 x x| x3B 3,2, 1,则 AB2,1,故选:C【点评】本题考查了集合的运算,考查解不等式,是一道基础题2 (5 分)设 是复数 z 的共轭复数,满足 ,则|z |(  )A2 B2 C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得 ,再由|z| | |求解【解答】解: ,|z| | | 故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题3 (5 分)贵阳地铁 1 号线 12 月 28 日开通运营,某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10 个车站上车的人数统计如下:70

    12、、60、60、50、60、40、40、30、30、10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为(  )A170 B165 C160 D150【分析】求出众数、中位数、平均数,求和即可【解答】解:数据 70、60、60、50、60、40、40、30、30、10的众数是 60、中位数是 45、平均数是 45,第 7 页(共 25 页)故众数、中位数、平均数的和为 150,故选:D【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的定义,是一道基础题4 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2xy 的最大值为(  )A3 B6 C10 D12【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数

    13、为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:实数 x,y 满足约束条件 的可行域如图所示:联立 ,解得 A(3,4) 化目标函数 z2xy 为 y2 xz,由图可知,当直线 y2xz 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 23+410故选:C【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题5 (5 分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则整数 a 的值为(  第 8 页(共 25 页)A6 B7 C8 D9【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

    14、 S 的值,模拟程序的运行过程,可得答案【解答】解:当 S1,k1 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k2;当 S ,k2 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k3;当 S ,k3 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k4;当 S ,k4 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k5;当 S ,k5 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k6;当 S ,k6 时,应不满足退出循环的条件,故 S ,k7;当 S ,k7 时,应满足退出循环的条件,故整数 a 的值为 6,故选:A【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答6 (5 分) 九章算术

    15、是我国古代的数学名著,书中均输章有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,文各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱?” (“钱”是古代的一种重量单位) 在这个问题中,丙所得为(  )第 9 页(共 25 页)A 钱 B 钱 C 钱 D1 钱【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d,ad,a,a+d,a+2d,由题意求得 a6d,结合 a2d+ad+a+ a+d+a+2d5a 5 求得 a1,则答案可求【解答】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所

    16、得钱分别为a2d,ad,a,a+d,a+2 d,则由题意可知,a2d+ada+a+ d+a+2d,即 a6d,又 a2d+ad+ a+a+d+a+2d5a5,a1,在这个问题中,丙所得为 1 钱故选:D【点评】本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题7 (5 分)把函数 y sin(x+ )+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,那么所得图象的一条对称轴方程为(  )Ax B C D【分析】根据三角函数图象变换规律,求解出解析式,结合三角函数的性质可得对称轴方程【解答】解:函数 y sin(x+ )+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,可得:y

    17、 sin(2x+ )+1令 2x+ ,k Z可得:x ,令 k0,可得图象的一条对称轴方程为 x 故选:D【点评】本体考查了函数 yAsin ( x+)的图象变换规律,对称轴的求法,属于基础题8 (5 分)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1 ,a 2a68(a 42) ,则 S2018(  )第 10 页(共 25 页)A2 2017 B1( ) 2017 C2 2018 D1( ) 2018【分析】根据题意,设等比数列a n的公比为 q,由等比数列的性质可得若a2a68(a 42) ,则有 a428a 4+160,解可得 a44,进而计算可得 q 的值,由等比数列的

    18、前 n 项和公式计算可得答案【解答】解:根据题意,设等比数列a n的公比为 q,若 a2a68(a 42) ,则有(a 4) 28(a 42) ,即 a428a 4+160,解可得 a44,则 q3 8,则 q2,则 S2018 2 2017 ,故选:A【点评】本题考查等比数列的性质以及前 n 项和公式,关键是求出等比数列的公比9 (5 分)已知奇函数 f(x )在 R 上是减函数,且 af(log 3 ) ,bf (log 39.1) ,cf(2 0.8) ,则 a,b,c 的大小关系为(  )Aabc Bcba Cbac Dc ab【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可得出【解答】

    19、解:奇函数 f(x )在 R 上是减函数,且 af(log 3 ) ,bf (log 39.1) ,cf(2 0.8) ,af(log 3 )f(log 310)bf(log 39.1)cf (2 0.8) ,则 a,b,c 的大小关系为 abc故选:B【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10 (5 分)如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是(  )第 11 页(共 25 页)A8+4 B12 C8+4 D10【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图,根据三视图中的数据计算棱锥的

    20、四个面的面积中最大值和最小值【解答】解:三视图可知三棱锥是从长方体中截出来的 PABC,数据如图:SPAB 448,S PAC 2 44 SABC 424,S PBC 2 2 4 则该三棱锥的四个面的面积中最大的是:8面积的最小值为 4所以则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是:12,故选:B【点评】本题考查了长方体中的内接体的结构特征,三视图与直观图的关系,几何体中的距离以及面积的计算,属于中档题11 (5 分)已知双曲线 1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px (p0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点若双曲线的离心率为 ,第 12 页(共 25 页)AOB 的面积为

    21、 2,则 p(  )A2 B1 C2 D3【分析】先根据双曲线的离心率为 ,求出渐近线方程,再求出抛物线y22px(p0)的准线方程,进而求出 A,B 两点的坐标,由AOB 的面积为 2,列出方程,由此方程求出 p 的值【解答】解:双曲线 1(a0,b0)的离心率 e ,e 2 1+ 5, 4, 2,双曲线 1(a0,b0)的两条渐近线方程为 y2x,抛物线 y22px (p0)的准线方程为 x , 或 ,解得 ,或 ,|AB| p(p)2p,点 O 到 AB 的距离为 d ,S AOB |AB|d 2,解得 p2,故选:A第 13 页(共 25 页)【点评】本题考查圆锥曲线的共同特

    22、征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出A,B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系12 (5 分)已知函数 f(x ) 的图象上有两对关于 y 轴对称的点,则实数 k 的取值范围是(   )A (0,e) B (0, e2 ) C (0,2e 2) D (0,e 2 )【分析】根据条件转化为当 x0 时,函数 f(x)kx3 与函数 g(x )ln 2x,x 0 有两个交点即可,求出函数的导数,利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解:当 x0 时,f(x)ln (2x ) ,则此时函数 f(x)关于 y 轴对称的函数为 yln2x,x0,若函数 f(x) 的图象上有两对

    23、关于 y 轴对称的点,等价为当 x0 时,函数 f(x)kx3 与函数 g(x)ln2x,x 0 有两个交点即可,由题意可得 g(x)的图象和 ykx3(x 0)的图象有两个交点设直线 ykx3 与 yg(x )相切的切点为(m,ln2m)由 g(x)的导数为 g(x ) ,即有切线的斜率为 k,又 ln2mkm3,第 14 页(共 25 页)即 ln2m m313 2,解得 m e2 ,k2e 2,由图象可得 0k2e 2 时,有两个交点,故选:C【点评】本题考查图象对称问题的解法,注意运用数形结合的思想方法,考查导数的运用:求切线的斜率,考查运算能力,属于中档题二、填空题,本题共 4 小题

    24、,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)若向量 (x,1)与向量 (1,2)垂直,则| + |    【分析】根据题意,由向量垂直与向量数量积的关系,分析可得 x20,即可得 x2,进而可得向量 + 的坐标,由向量模的计算公式计算可得答案【解答】解:根据题意,向量 (x,1)与向量 (1,2)垂直,则有 x20,则 x2;则向量 (2,1) ,则 + (3,1) ,则| + | ;故答案为:【点评】本题考查向量数量积的坐标计算公式,涉及向量垂直与向量数量积的关系,注意求出 x 的值14 (5 分)某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人) ,则甲

    25、、乙两人不在同一边远地区的概率是    第 15 页(共 25 页)【分析】基本事件总数 n 36,甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数 m 6,由此能求出甲、乙两人不在同一边远地区的概率【解答】解:某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人) ,基本事件总数 n 36,甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数 m 6,甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 p1 1 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题15 (5 分)若直线 l:ax 3y+120(a R)与圆 M

    26、:x 2+y24y0 相交于 A、B 两点,若ABM 的平分线过线段 MA 的中点,则实数 a    【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径,由直线 l 方程可得直线过定点 A(0,4) ,要使ABM 的平分线过线段 MA 的中点,则 AMBM,由此能求出 B 点坐标,进一步求出直线 AB 的斜率,则实数 a 的值可求【解答】解:如图,由圆 M:x 2+y24y0,得 x2+(y2) 24,圆心 M(0,2) ,半径为 2,直线 l:ax3y+120(aR)过定点 A(0,4) ,要使ABM 的平分线过线段 MA 的中点,则 AMBM,B 为( ,3)或( ,3) , ,即

    27、a 故答案为: 第 16 页(共 25 页)【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的解题思想方法,是中档题16 (5 分)已知底面是正六边形的六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的表面上,底面正六边形的边长为 1,若该六棱锥体积的最大值为 ,则球 O 的表面积为   【分析】当六棱锥 PABCDEF 为正六棱锥时,体积最大,求出棱锥的高,进而求出外接球的半径,可得答案【解答】解:当六棱锥 PABCDEF 为正六棱锥时,体积最大,由于底面正六边形的边长为 1,故底面外接圆半径 r1,底面面积 S ,设高为 h,则 V ,解得:h2,设此时外接球半径为 R,则球心到底

    28、面的距离 d|h R|2R| ,由 R2d 2+r2 得:R 2(2R) 2+1,解得:R ,故球 O 的表面积为 4R2 ,故答案为:【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积,求出球的半径是解答的关键三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答17 (12 分)已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,AB 边上的高 h第 17 页(共 25 页)c()若ABC 为锐角三角形,且 cosA ,求角 C 的正弦值;()若C ,M ,求 M 的值【分析】 ()作

    29、 CDAB 与 D,可得 sinA AD cotACD. , 由正弦定理得解()由 SABC 可得 由余弦定理得 即可得 M 【解答】解:()作 CDAB 与 D,ABC 为锐角三角形,且 cosA ,sin A AD cotACD , 由正弦定理得 ()S ABC 由余弦定理得 M 第 18 页(共 25 页)【点评】本题考查了正余弦定理的应用,三角形面积计算,属于中档题18 (12 分)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题已知这 6 道问题中,学生甲能正确

    30、回答其中的 4 个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的()求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率()请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大?【分析】 ()利用互斥事件概率加法公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率()设学生甲答对的题数为 X,则 X 的所有可能取值为 1,2,3,分别求出相应的概率,从而求出 E(X) ,D(X)X) ,设学生乙答对题数为 Y,则 Y 所有可能的取值为0,1,2,3,由题意知 YB(3, ) ,从而求出

    31、E(Y) ,D(X) ,由 E(X)E(Y) ,D(X)D(Y) ,得到甲被录取的可能性更大【解答】解:()由题意得甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率:P + ()设学生甲答对的题数为 X,则 X 的所有可能取值为 1,2,3,P(X1) ,P(X2) ,P(X3) ,第 19 页(共 25 页)E(X) 2,D(X)(12) 2 +(22) 2 +(32) 2 ,设学生乙答对题数为 Y,则 Y 所有可能的取值为 0,1,2,3,由题意知 YB(3, ) ,E(Y)3 2,D(Y) ,E(X)E(Y) ,D(X) D(Y) ,甲被录取的可能性更大【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变

    32、量的分布列、数学期望的求法及应用,考查互斥事件概率加法公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为直角梯形,ADBC ,ADC90,平面 PAD底面 ABCDQ 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA PD2BC AD1,CD (I)求证:平面 PBC平面 PQB;()若平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小为 60,求 PM 的长【分析】 (I)根据面面垂直的性质可得 PQ平面 ABCD,故而 PQBC,根据四边形BCD

    33、Q 是矩形可得 BCBQ,于是 BC平面 PBQ,故而平面 PBC平面 PQB;(II)过 M 作 MNCD 交 PD 与 N,则DNQ 为平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角,从而可得 N 为 PD 中点,求出 PC 得出 PM 的长【解答】 (I)证明:PA PD ,Q 是 AD 的中点,PQAD ,又平面 PAD底面 ABCD,平面 PAD底面 ABCDAD,PQ平面 PAD,PQ平面 ABCD,第 20 页(共 25 页)BCPQ,BC ADDQ,BCAD,ADC90,四边形 BCDQ 是矩形,BCBQ,又 PQBQ Q ,BC平面 PBQ,又 BC平面 PBC,平面 PBC平

    34、面 PQB(II)过 M 作 MNCD 交 PD 与 N,则平面 BMQ平面 PCDMN,平面 PAD底面 ABCD,平面 PAD底面 ABCDAD,BQAD,BQ 平面 PAD,BQ平面 PAD,又 BQCDMN,MN平面 PAD,MNNQ,MNPD,DNQ 为平面 BMQ 与平面 PCD 所成角,即DNQ 60,PDPA2,AD2BC2,PDO 60 ,DNQ 是等比三角形,DNDQ1,即 N 是 PD 的中点,M 是 PC 的中点,PD2,CD ,PC ,PM 【点评】本题考查了面面垂直的判定,二面角的做法与计算,属于中档题第 21 页(共 25 页)20 (12 分)已知椭圆 C: +

    35、 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 M为短轴的上端点, 0,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB| ()求椭圆 C 的方程;()设经过点(2,1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G,H 两点若 k1,k 2分别为直线 MH,MG 的斜率,求 k1+k2 的值【分析】 ()由 0,可得 bc,列出方程组,能求出椭圆 C 的方程()经过点(2,1)且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1k(x2) ,根据韦达定理和斜率公式出 k1+k21【解答】解:()由 0,可得 bc,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点

    36、,且|AB| , ,由 ,解得 a22,b 21,椭圆 C 的方程为 +y21()经过点(2,1)且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1k(x2) ,即ykx 2k1,代入椭圆程 +y21 可得(2k 2+1)x 24k (1+2 k)x+(8k 2+8k)0,16k(k+2)0,设 G(x 1,y 1) ,H(x 2,y 2) 则 x1+x2 ,x 1x2 ,k 1+k2 + + 2k 2k(2k+1)1,第 22 页(共 25 页)即 k1+k21【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用,属于中档题21 (12

    37、 分)已知函数 f(x )lnx+ x2ax+a(aR) ()若函数 f(x )在(0,+)上为单调增函数,求实数 a 的取值范围;()若函数 f(x )在 xx 1 和 xx 2 处取得极值,且 x2 x1(e 为自然对数的底数) ,求 f(x 2)f(x 1)的最大值【分析】 ()求出函数的导数,问题转化为 a(x+ ) min,根据函数的单调性求出a 的范围即可;()得到 x1,x 2 是方程 x2 ax+10 的 2 个根,由韦达定理得:x 1+x2a,x 1x21,得到 f(x 2) f(x 1)ln ( ) ,设 t (t ) ,令 h(t)lnt(t ) , (t ) ,根据函数

    38、的单调性求出其最大值即可【解答】解:()f( x) +xa, (x0) ,又 f(x)在(0 ,+)递增,故恒有 f(x) 0,即 +xa0(x0)恒成立,a(x+ ) min,而 x+ 2 2,当且仅当 x1 时取“” ,故 a2,即函数 f(x)在( 0,+)递增时 a 的范围是(,2;()f(x 2) f(x 1)ln + ( )a( x2x 1) ,又 f(x) (x0) ,故 x1,x 2 是方程 x2ax+10 的 2 个根,由韦达定理得:x 1+x2a,x 1x21,第 23 页(共 25 页)故 f(x 2)f(x 1)ln + ( )a(x 2x 1) ,ln ( ) ,设

    39、t (t ) ,令 h(t)lnt (t ) , (t ) ,h(t) 0,h(t)在 ,+)递减,h(t)h( ) (1 + ) ,故 f(x 2)f(x 1)的最大值是 (1 + ) 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,函数恒成立问题,是一道综合题请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修坐标系与参数方程选讲22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( 为参数) ,在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

    40、cos(+)1()求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;()过点 M(1,0)且与直线 l 平行的直线 l1 交曲线 C 于 A,B 两点,求点 M 到A,B 两点的距离之和【分析】 ()曲线 C 的参数方程消去参数,能求出曲线 C 的普通方程;直线 l 的极坐标方程转化为 cossin 2,由此能求出直线 l 的直角坐标方程()直线 l1 的参数方程代入 1,得: ,由此能求出点 M 到A,B 两点的距离之和【解答】解:()曲线 C: ( 为参数) ,曲线 C 化为普通方程得: +y21,第 24 页(共 25 页)直线 l 的极坐标方程为 cos(+ )1cossin 2,直线

    41、 l 的直角坐标方程为 xy+20()直线 l1 的参数方程为 (t 为参数) ,代入 1,化简,得: ,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t 2,则 t1+t2 ,t 1t21,点 M 到 A, B 两点的距离之和:|MA|+|MB| t1|+|t2|t 1t 2| 【点评】本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法,考查两线段距离和的求法,考查直角坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题选修不等式选讲23已知函数 f(x )|x 2|x+1|()解不等式 f(x )x;()若关于 x 的不等式 f(x)a 22a 的解集为

    42、R,求实数 a 的取值范围【分析】 ()讨论当 x2 时,当 x1 时,当1x 2 时,去掉绝对值,解不等式求并集,即可得到所求解集;()由题意可得 a22af(x )的最大值,运用绝对值不等式的性质可得最大值,由二次不等式的解法可得 a 的范围【解答】解:()不等式 f(x )x,即为|x 2|x+1|x,当 x2 时,x2x 1 x,可得 x3,即 x3;当 x1 时,2x +x+1x ,解得 x3,即3x 1;当1x2 时,2x x 1 x,解得 x1,即1x1,综上可得原不等式的解集为x|x3 或3x 1 ;()关于 x 的不等式 f(x)a 22a 的解集为 R,第 25 页(共 25 页)即有 a22af(x )的最大值,由|x 2|x+1|x2x 1|3,当且仅当 x1 时,等号成立,可得 a22a3,解得 a3 或 a1【点评】本题考查绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式的性质,不等式恒成立问题解法,考查分类讨论思想和化简运算能力,属于中档题


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