1、2019 年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|x 1 ，则 AB（ ）A2，3 B （1，3 C （1，3） D （1，22 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i ，则|z|（ ）A B C D23 （5 分）若双曲线 x2y 23 的两条渐近线斜率分别为 k1，k 2，则 k1k2（ ）A1 B C3 D94 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为（
2、;）A1 B2 C7 D85 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A8 B4 C D6 （5 分）已知命题 p：f（x）x 3ax 的图象关于原点对称；命题 q：g（x）xcos x 的图象关于 y 轴对称则下列命题为真命题的是（ ）Ap Bq Cpq Dp（q）7 （5 分） 算法统宗中有一图形称为“方五斜七图” ，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 5 ，略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（
3、）第 2 页（共 22 页）A B C D8 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）AWW i BWW（i+1） CW W（i +2） DW W（i+3）9 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，b3，c4，设 AB边上的高为 h，则 h（ ）A B C D10 （5 分）已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长相等，ABC60，则直线 BC1与平面 ABB1A1 所成角的余弦值等于（ ）A B C D11 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （
4、 0，| |）图象的最高点 M 和最低点 N，则（ ）第 3 页（共 22 页）A ， B ，0 C ， D ， 12 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （m ，6） ，若 ，则 m 14 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f （10） ） 15 （5 分）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为
5、 2，则该圆锥的侧面积为 16 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，经过点 M（2，0）的直线交 C 于 A，B两点，若 OABF （O 为坐标原点） ，则| AB| 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n满足：a 11，a n+12a n+n1，记 bna n+n，（1）求 b1，b 2，b 3；（2）判断b n是否为等比数列，并说明理由；
6、（3）求a n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，ABC 中，ABBC 4，ABC90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求点 F 到平面 PEC 的距离第 4 页（共 22 页）19 （12 分）设椭圆 C： 的左，右焦点分别为 F1，F 2，其离心率为，过 F2 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且AF 1B 的周长为 4 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的上顶点为 P，证明：当 l 的斜率为 时，点 P 在以 AB 为直径的圆上20 （12 分）
7、为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 50个体经营户 50 150合计（1）写出选择 5 个国家综合试
8、点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写） ，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议附：K 2第 5 页（共 22 页）P（K 2k 0） 0.10 0.010 0.001k0 2.706 6.635 10.82821 （12 分）已知函数 f（x ）ax a，a R（1）若 x1 是 f（x）的极值点，求 a 并讨论 f（x ）的单调性；（2）若 1xe 时，f（x）0，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第（2
9、2） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：（1） + 2；（2） （a+b 3） （a 3+b）4第 6 页（共 22 页）2019 年河北省唐山市高考数
10、学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|x 1 ，则 AB（ ）A2，3 B （1，3 C （1，3） D （1，2【分析】先解出集合 A，由（x+2） （x3）0 得出 A x|2x3 ，再确定 AB 即可【解答】解：对于集合 A，由 x2x 60 得，所以， （x+2） （x 3）0，解得，x2， 3，即 Ax|2x 3，而 Bx|x1，所以，AB x|1x 3，故选：B【点评】本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不
11、等式的解法和集合的表示，属于基础题2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i ，则|z|（ ）A B C D2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z 2i ，（1i） （1+i）z2i （1i） ，zi+1则|z| 故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）若双曲线 x2y 23 的两条渐近线斜率分别为 k1，k 2，则 k1k2（ ）A1 B C3 D9【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后求解两条渐近线斜率分别为 k1，k 2，则 k1k2【解答】解：双曲线 x2y
12、23 的两条渐近线为：y x ，可得两条渐近线斜率分别为 k1，k 2，则 k1k21第 7 页（共 22 页）故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力4 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为（ ）A1 B2 C7 D8【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最大值即可【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 的平面区域，如图示：由 ，解得 A（2，3） ，由 z2x+y 得：y 2x +z，平移直线 y2x ，显然直线过 A（2，3）时，z 最大，z 的最大值是 7，故选：C【点评】本题考查
13、了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是基本知识的考查5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）第 8 页（共 22 页）A8 B4 C D【分析】首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：下底面为三角形底边长为 2，高为 2，且底面上的高为 2 的三棱锥故：V 故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题6 （5 分）已知命题 p：f（x）x 3ax 的图象关于原点对称；命题 q：g（x）xcos x 的图象关
14、于 y 轴对称则下列命题为真命题的是（ ）Ap Bq Cpq Dp（q）【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析命题 p、q 的真假，结合复合命题真假判断方法分析可得答案【解答】解：根据题意，对于 f（x ）x 3ax，有 f（x）（x） 3a（x）（x 3ax）f（x） ，为奇函数，其图象关于原点对称，P 为真命题；对于 g（x）x cosx，g（x）（x）cos （x ） xcosx，为奇函数，其图象关于第 9 页（共 22 页）原点对称，q 为假命题；则P 为假命题，q 为假命题，pq 为假命题，p（q）为真命题；故选：D【点评】本题考查复合命题真假的判断，涉及函数奇偶性的判
15、断，属于基础题7 （5 分） 算法统宗中有一图形称为“方五斜七图” ，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 5 ，略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）A B C D【分析】由题意可得 S 内方 25，S 外方 50，根据概率公式计算即可【解答】解：由题意可得 S 内方 25，S 外方 50，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为 ，故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题8 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则
16、在空白框中应填入（ ）第 10 页（共 22 页）AWW i BWW（i+1） CW W（i +2） DW W（i+3）【分析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可【解答】解：每个分式的分母比分子多 2，即 WW （i+2） ，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键9 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，b3，c4，设 AB边上的高为 h，则 h（ ）A B C D【分析】根据余弦定理先求出 cosA，然后求出 sinA，结合三角函数的定义进行求解即可【解答】解：a2，b3，c4
17、，cosA ，则 sinA ，则 hACsinAbsinA3 ，故选：D【点评】本题主要考查三角形高的计算，根据余弦定理求出 cosA 是解决本题的关键10 （5 分）已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长相等，ABC60，则直线 BC1与平面 ABB1A1 所成角的余弦值等于（ ）A B C D【分析】取 AB 中点 E，以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的余弦值【解答】解：直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长相等，ABC60，第 11
18、页（共 22 页）取 AB 中点 E，以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB2，则 B（ ，1，0） ，C 1（ ，1，2） ，A（0，0，0） ，A 1（0，0，2） ，（0，2，2） ， （ ） ， （0，0，2） ，设平面 ABB1A1 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1， ，0） ，设直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角为 ，则 sin ，cos 直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的余弦值等于 故选：B【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
19、查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题11 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （ 0，| |）图象第 12 页（共 22 页）的最高点 M 和最低点 N，则（ ）A ， B ，0 C ， D ， 【分析】由 MN 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线得横坐标，就可以得到f（x）的半个周期长，从而得到 的值把 M 点代入 f（x）得到 的值【解答】解：因为 MN 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线 2x+2y30 得 MN 横坐标为 和 ，故 M（ ，1） N（ ，1） 得 2，故
20、 T4 ，故 M 代入 f（x）得 1sin （ ） ，故 2k + ，所以 2k + ，kZ因为| |，所以 ，故选：A【点评】本题着重考查了由 yAsin （ x+）的部分图象信息确定其解析式，属于中档题12 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ）A B C D【分析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数 f（x）ae x2sin x，x0，有且仅有一个零点等价于 a ，x0，有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的图象只有一个交点，第 13 页（共 22 页）由利用导数研究函数的图象得：g
21、（x） ，x0，则 g（x），即 g（x）在0， ）为增函数，在（ ，为减函数，又g（0）0，g（）0，g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，得解【解答】解：函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点等价于a ，x0 ， 有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的图象只有一个交点，设 g（x） ，x 0， ，则 g（x） ，当 0x 时，g（x ）0，当 x 时，g（x）0，即 g（x）在0 ， ）为增函数，在（ ，为减函数，又 g（0）0，g（）0， g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究
22、函数的图象，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （m ，6） ，若 ，则 m 2 【分析】根据 即可得出 6+3m0，从而解得 m2【解答】解： ；6+3m0；m2故答案为：2【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系第 14 页（共 22 页）14 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f （10） ） 1 【分析】根据 f（x ）的解析式即可求出 f（10） ，进而求出 f（f（10） ）的值【解答】解：f（f（10） ）f（lg10）f（1）10 11 1故答案为：1【点评】考查分段函数的概念，
23、以及已知函数求值的方法15 （5 分）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为 2 【分析】根据球的半径以及圆锥的母线长均为 2，得到圆锥的底面半径，进而得到侧面积【解答】解，如图，设圆锥顶点为 Q，R 是圆锥底面圆周上一点，连接球心 O 和圆锥底面圆圆心 P，则 OP 垂直于底面圆 P，PROQ，又 OQORQR2，PR ，圆锥的侧面积 Srl 22 故填：2 【点评】本题考查了旋转体的侧面积的简单计算，属基础题16 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，经过点 M（2，0）的直线交 C 于 A，B两点，若 OABF （O 为坐
24、标原点） ，则| AB| 【分析】设出 B 的坐标，利用已知条件，求出 A 的坐标，然后求解 AB 的距离【解答】解：抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，经过点 M（2，0）的直线交 C 于 A，B两点，若 OABF （O 为坐标原点） ，可得：A 是 BM 的中点，不妨设 B（m ，2 m） ，可得 A（ ， ） ，可得：2m4（m2） ，解得 m4，所以 B（4，4 ）A（1，2 ） ，第 15 页（共 22 页）所以|AB| 故答案为： 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过
25、程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n满足：a 11，a n+12a n+n1，记 bna n+n，（1）求 b1，b 2，b 3；（2）判断b n是否为等比数列，并说明理由；（3）求a n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）直接利用赋值法求出数列的各项（2）利用等比数列的定义求出结果（3）利用上步的结论，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）数列a n满足：a 11，a n+12a n+n1，则：a 22a 1+112，a32a 2+215，由于 bn
26、a n+n，则：b 1a 1+12，b2a 2+24，b3a 3+38（2）由于：b na n+n，所以：b n+1a n+1+n+1，2a n+n1+n+1，第 16 页（共 22 页）2a n+2n，所以： （常数） ，故：数列b n是等比数列（3）由于： ，故： 2 nn，故：S n（2 1+22+2n） （1+2+ +n） ， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的定义的应用，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18 （12 分）如图，ABC 中，ABBC 4，ABC90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 E
27、F 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求点 F 到平面 PEC 的距离【分析】 （1）推导出 EFBC，EFBE，EFPE，从而 EF平面 PBE，由此能证明BC平面 PBE（2）取 BE 的中点 O，连接 PO，则平面 PBE平面 BCFE，PO BE，从而 PO平面BCFE，设点 F 到平面 PEC 的距离为 d，由 VFPEC V PECF ，能求出点 F 到平面 PEC 的距离【解答】证明：（1）E，F 分别为 AB，AC 边的中点，EFBC，第 17 页（共 22 页）ABC90，EF BE，
28、EFPE，又BEPEE，EF平面 PBE，BC平面 PBE 5 分解：（2）取 BE 的中点 O，连接 PO，由（1）知 BC平面 PBE， BC平面 BCFE，平面 PBE平面 BCFE，PBBEPE，POBE，又PO 平面 PBE，平面 PBE平面 BCFEBE，PO平面 BCFE，7 分在 Rt POC 中： PC 2 ，在 Rt EBC 中：EC 2 ，在PEC 中，PCEC2 ，PE2，S PEC ，又 SECF 2，设点 F 到平面 PEC 的距离为 d，由 VF PECV PECF ，得 SPEC dS ECF PO， 2 ，解得 d ，点 F
29、 到平面 PEC 的距离为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题第 18 页（共 22 页）19 （12 分）设椭圆 C： 的左，右焦点分别为 F1，F 2，其离心率为，过 F2 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且AF 1B 的周长为 4 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的上顶点为 P，证明：当 l 的斜率为 时，点 P 在以 AB 为直径的圆上【分析】 （1）由离心率 e，AF 1B 的周长为 4 可得 a2，
30、b 2，即可得出椭圆方程（2）l 的方程为 x3y+1，将 l 的方程代入 C 并整理，利用韦达定理可得0，即可判断 P 与以 AB 为直径的圆上【解答】解：（1）AF 1B 的周长等于|AF1|+|AB|+|BF1|AF 1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|4a，所以 4a4 ，从而 a 3 分因为 e ，所以 c1，即 b2a 2c 21，椭圆 C 的方程为 5 分（2）由（1）得 P（0，1） ，F 2（1，0） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，依题意，l 的方程为 x3y+1，将 l 的方程代入 C 并整理，可得 11y2+6y10，所以 y1+y2 ，y 1y
31、2 8 分x 1x2+（y 11） （y 21）（3y 1+1） （3y 2+1）+（y 11） （y 21）10y 1y2+2（y 1+y2）+20所以 PAPB，综上，点 P 在以 AB 为直径的圆上12 分【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，点与圆的位置关系，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目20 （12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能会导致入户登记不够
32、顺利，如有些对象第 19 页（共 22 页）对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 50个体经营户 50 150合计（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写） ，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条
33、建议附：K 2P（K 2k 0） 0.10 0.010 0.001k0 2.706 6.635 10.828【分析】 （1）根据样本是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样法；（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）加大宣传，消除误解等因素（意思相近即可得分） 【解答】解：（1）根据样本是由差异比较明显的几部分组成，所以应用分层抽样法； 2 分（2）根据题意填写列联表如下，普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 10 50个体经营户 100 50 150合计 140 60 2005 分将列联表中的数据代入公式计算 K2 3.1752.706，所以有 90%的把握
34、认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；第 20 页（共 22 页）10 分（3） （意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作12 分【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax a，a R（1）若 x1 是 f（x）的极值点，求 a 并讨论 f（x ）的单调性；（2）若 1xe 时，f（x）0，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出原函数的导函数，结合 f（1）0 求得 a1，代入导函数，得到f（x） ，再由 yx 2+ln x1 在（0， +）上单调递增，且 x1 时y0，可
35、得当 0x 1 时，f （x）0，f （x）单调递减；当 x1 时，f （x ）0，f （x）单调递增（2）由 f （x）0，得 ax a0，可得 a ，令 g（x） ，利用二次求导可得其最小值，则 a 的范围可求【解答】解：（1）f（x ） ，x0x1 是 f （ x）的极值点，f（1）0，可得 a1，f（x） ，x0yx 2+ln x1 在（0，+）上单调递增，且 x1 时，y0，当 0x1 时，x 2+ln x10，f （x）0，f （x）单调递减；当 x1 时，x 2+ln x10，f （x）0，f （x）单调递增故 f （x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）由
36、 f （x ）0，得 ax a0，1xe，a 设 g（x） ，则 g（x） 令 h （x）x1（2x 1） ln x，则 h（x）12lnx ，第 21 页（共 22 页）显然 h（x）在（0，+）内单调递减，且 h（1）0，当 1xe 时，h（x ） 0，h（x）单调递减，则 h （x ）h （1）0，即 g（x）0，g （x）在（1，e ）内单减，从而 g （x ）g （e） a 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题（二）选考题：共 10 分请考生在第（22） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4
37、-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 【分析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果【解答】解：（ 1）直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 当 时，直线的方程为 x1
38、当 时，直线的方程为：ytan （x1） 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos，转换为直角坐标方程为：y 24x（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： sin2t24（1+t cos） ，整理得：sin 2t24cost40， （t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数）所以： ， 由于|AB| 8第 22 页（共 22 页）解得：因为 0，所以： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已
39、知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：（1） + 2；（2） （a+b 3） （a 3+b）4【分析】 （1）利用基本不等式证明即可（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可【解答】证明：（1）a，b 是正实数，a+b2 ， 1，（ + ） 2a+ b+2 4， + 2，当且仅当 ab1 时，取“” （4 分）（2）a 2+b22ab，2（a 2+b2）a 2+b2+2ab（ a+b） 24，a 2+b22，（a+b 3） （a 3+b）a 4+b4+a3b3+aba 4+b4+2a2b2（a 2+b2） 24，当且仅当 ab1 时，取“” （10 分）【点评】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查
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