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    2018年甘肃省天水一中高考数学一模试卷(理科)含答案解析

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    2018年甘肃省天水一中高考数学一模试卷(理科)含答案解析

    1、2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知( 1+3i) ( 2i )4+3i(其中 i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为(  )A1 B1 Ci Di2 (5 分)如图,已知 R 是实数集,集合 A (x1)0 ,Bx| 0,则阴影部分表示的集合是(  )A0,1 B0,1) C (0,1) D (0,13 (5 分)已知命题 p:x( ,0) ,2 x3 x;命题 q:x(0, ) ,tanxsinx,则下列命题为真命题的是(  )A

    2、pq Bp(q) C (p)q Dp(q)4 (5 分)有 4 位同学参加某智力竞赛,竞赛规定:每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答,且甲类题目答对得 3 分,答错扣 3 分,乙类题目答对得 1 分,答错扣 1 分,若每位同学答对与答错相互独立,且概率均为 ,那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为(  )A B C D5 (5 分)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于(  )A B2 C3 D46 (5 分)设 ab1,c0,给出下列三个结论: ;acb c;  logb( ac)log a(b

    3、c) 其中所有的正确结论的序号(  )第 2 页(共 24 页)A B C D7 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥外接球的表面积是(  )A B34 C D17 8 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S210 ,S 555,则过点 P(n,a n)和Q(n+2 ,a n+2) (nN *)的直线的斜率是(  )A4 B3 C2 D19 (5 分)某程序框图如图所示,若输出的 k 的值为 3,则输入的 x 的取值范围为(  )A15,60) B (15,60 C12 ,48) D (12,4810 (5 分)已知 P(x

    4、 ,y )为区域 (a0)内的任意一点,当该区域的面积为 3 时,z2x y 的最大值是(  )A1 B3 C D611 (5 分)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和,S 1,S 2,S 4 成等比数列,且,则数列 的前 n 项和 Tn(  )A B C D12 (5 分)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F,且倾斜角为 的直线与抛物线交于第 3 页(共 24 页)A,B 两点,若 AB 的垂直平分线经过点(0,2) ,M 为抛物线上的一个动点,则 M 到直线 11:5x4y+40 和 l2:x 的距离之和的最小值为(  )A B C D二

    5、、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上)13 (5 分)双曲线 T: 1(a0,b0)的焦距为 10,焦点到渐近线的距离为3,则它的实轴长等于     14 (5 分)已知(12x) 5(1+ax) 4 的展开式中 x 的系数为 2,则实数 a 的值为     15 (5 分)已知 f(x )xsinx +cosx+x2,则不等式 f(lnx)+f (ln )2f(1)的解集为      16 (5 分)在棱长为 1 的正方体中 ABCDA 1B1C1D1,M、N 分别是 AC1、A

    6、1B1 的中点点 P 在正方体的表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于     三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知cos2B+cosB1cosAcosC(1)求证:a,b,c 成等比数列;(2)若 b2,求ABC 的面积的最大值18 (12 分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位:万元)的调查获得的所有样本数据按照区间0,5 , (5,10,(10,15, (15,20, (20 ,2

    7、5进行分组,得到如图所示的频率直方图(1)根据样本数据,估计样本中网购金额的平均值;(注:设样本数据第 i 组的频率为 pi,第 i 组区间的中点值为 xi(i1,2,3,4,5) ,则样本数据的平均值为Xx 1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5(2)若网购金额在(15,25的服务网点定义为优秀网点,其余为非优秀服务网点,从20 个服务网点中任选 2 个,记 表示选到优秀网点的个数,求 的分布列及数学期望第 4 页(共 24 页)19 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ADC60,SA1, AB2,SB ,平面 SAB底面 ABCD,直线 SC

    8、 与底面 ABCD 所成的角为30(1)证明:平面 SAD平面 SAC;(2)求二面角 BSCD 的余弦值20 (12 分)已知椭圆 C: + 1(ab0)的右焦点为 F2(2,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上()求椭圆 C 的标准方程;()是否存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,使得|F 1M|F 1N|(F 1 为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由21 (12 分)已知函数 f(x )(x+a)lnx,g(x) ,曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 2xy30 平行(1)求证:方程 f(x )g(x)在(1,2)内存

    9、在唯一的实根;(2)设函数 m(x)minf(x) ,g(x)(min p,q表示 p,q 中的较小者) ,求m(x)的最大值选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标变为原来的 3 倍,得曲线 ()写出 的参数方程;第 5 页(共 24 页)()设直线 l:3x +2y60 与 的交点为 P1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x a |(1)若 f(x) b 的解集为 x|1x2,求实数 a

    10、、b 的值;(2)若 a2 时,不等式 f( x)+mf (x+2)对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围第 6 页(共 24 页)2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知( 1+3i) ( 2i )4+3i(其中 i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为(  )A1 B1 Ci Di【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解:( 1+3i) ( 2i )4+3i, 1+3i 1+2i , 2i,z2+i

    11、,z 的虚部为 1,故选:A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题2 (5 分)如图,已知 R 是实数集,集合 A (x1)0 ,Bx| 0,则阴影部分表示的集合是(  )A0,1 B0,1) C (0,1) D (0,1【分析】化简集合 A、B,由题意写出阴影部分表示的集合即可【解答】解:集合 A (x1)0 x|1 x2,B x| 0 x |0x ,则阴影部分表示的集合是(0,1故选:D第 7 页(共 24 页)【点评】本题考查了集合的化简与 Venn 图表示下的集合的运算的求法,属于基础题3 (5 分)已知命题 p:x

    12、( ,0) ,2 x3 x;命题 q:x(0, ) ,tanxsinx,则下列命题为真命题的是(  )Apq Bp(q) C (p)q Dp(q)【分析】由指数函数的性质,我们易判断命题 p 的真假,根据三角函数的性质,我们易判断命题 q 的真假,然后根据复合命题真假判断的“真值表”我们易得正确答案【解答】解:因为当 x0 时, ,即 2x 3x,所以命题 p 为假,从而 p 为真因为当 时, ,即 tanxsin x,所以命题 q 为真所以(p)q 为真,故选:C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假,其中根据:pq 时,p 与 q 均为真时为真,p 与 q 存在假命题即为假;p

    13、q 时,p 与 q 均为假时为假,p 与 q 存在真命题即为真;是判断复合命题真假的关键4 (5 分)有 4 位同学参加某智力竞赛,竞赛规定:每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答,且甲类题目答对得 3 分,答错扣 3 分,乙类题目答对得 1 分,答错扣 1 分,若每位同学答对与答错相互独立,且概率均为 ,那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为(  )A B C D【分析】每人的得分情况有甲对,甲错,乙对,乙错 4 种可能,从而基本事件总数n4 4256 种,若他们得分之和为 0,则分为 4 类:4 人全选甲类题目且两对对错,有 6 种可能,4 人全选乙类题目且两对两错,有 6 种

    14、可能,4 人中1 人选甲类对或错,同时另 3 人选乙类全对或全错,有 8 种可能,4 人中 2人选甲类一对一错,同时另起炉灶人选乙类一错一对,共有 种可能,由此利用互第 8 页(共 24 页)斥事件概率加法公式能求出这 4 位同学得分之和为 0 的概率【解答】解:每人的得分情况有甲对,甲错,乙对,乙错 4 种可能,基本事件总数 n4 4256 种,若他们得分之和为 0,则分为 4 类:4 人全选甲类题目且两对对错,有 6 种可能, (即四个元素 3,3,3,3的所有排列个数) ,4 人全选乙类题目且两对两错,有 6 种可能,4 人中 1 人选甲类对或错,同时另 3 人选乙类全对或全错,有 8

    15、种可能,4 人中 2 人选甲类一对一错,同时另起炉灶人选乙类一错一对,共有 种可能,这 4 位同学得分之和为 0 的概率 p 故选:A【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想、此利用互斥事件概率加法公式的合理运用5 (5 分)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于(  )A B2 C3 D4【分析】虑用特殊值法去做,因为 O 为任意一点,不妨把 O 看成是特殊点,再代入计算,结果满足哪一个选项,就选哪一个【解答】解:O 为任意一点,不妨把 A 点看成 O 点,则 ,M 是平行四边形 ABC

    16、D 的对角线的交点, 2 4故选:D【点评】本题考查了平面向量的加法,做题时应掌握规律,认真解答第 9 页(共 24 页)6 (5 分)设 ab1,c0,给出下列三个结论: ;acb c;  logb( ac)log a(bc) 其中所有的正确结论的序号(  )A B C D【分析】利用作差比较法可判定的真假,利用幂函数 yx c 的性质可判定的真假,利用对数函数的性质可知的真假【解答】解: ,ab1,c0 0,故 正确;考查幂函数 yx c,c0yx c 在(0,+)上是减函数,而 ab0,则 acb c正确;当 a b1 时,有 logb(ac)log b(bc)log

    17、 a( bc) ;正确故选:D【点评】本题主要考查了不等式比较大小,以及幂函数与对数函数的性质,属于基础题7 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥外接球的表面积是(  )A B34 C D17 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥,并画出对应的长方体,由三视图求出几何元素的长度,由长方体求出外接球的半径,由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积【解答】解根据三视图可知几何体是一个四棱锥 PABCD,如图:且四棱锥 PABCD 是长方体的一部分,AP4、AB AD3,第 10 页(共 24 页)该四棱锥和正方体的外接球相同,设外接球的半径是 R,则 2R ,R ,该四棱

    18、锥外接球的表面积 S4R 234,故选:B【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积,由三视图正确复原几何体以及几何体补形是解题的关键,考查空间想象能力8 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S210 ,S 555,则过点 P(n,a n)和Q(n+2 ,a n+2) (nN *)的直线的斜率是(  )A4 B3 C2 D1【分析】先根据等差数列的求和公式和 S210,S 555,求得 d进求的 an,进而根据直线的斜率 进而得出答案【解答】解:由题意知 解得 a13,d4直线的斜率为 4故选:A【点评】本题主要考查等差数列的性质属基础题9 (5 分)某程序框图

    19、如图所示,若输出的 k 的值为 3,则输入的 x 的取值范围为(  )第 11 页(共 24 页)A15,60) B (15,60 C12 ,48) D (12,48【分析】模拟程序的运行,由不等式组 ,即可解得输入的 x 的取值范围【解答】解:模拟程序的运行,可得:当 k2 时,x k 3,继续循环,当 k3 时,x ( 2)33,退出循环,输出 k 的值为 3由不等式组 ,解得:15x60故选:B【点评】本题考查循环结构,解决本题,关键是从框图中得出关于 x 的不等式组,从而得解,属于基础题10 (5 分)已知 P(x ,y )为区域 (a0)内的任意一点,当该区域的面积为 3

    20、时,z2x y 的最大值是(  )A1 B3 C D6【分析】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为 3 的 a 值,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由作出可行域如图,第 12 页(共 24 页)由图可得 A(a,a) ,D(a, a) ,B(a+1,a+1 ) ,C (a+1,a1)由该区域的面积为 3 时, 3,得 a1A(1,1) ,C(2,2)化目标函数 z2xy 为 y2 xz,当 y2xz 过 C 点时,z 最大,等于 22(2)6故选:D【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是

    21、中档题11 (5 分)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和,S 1,S 2,S 4 成等比数列,且,则数列 的前 n 项和 Tn(  )A B C D【分析】设等差数列a n的公差为 d(d0) ,运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得 d1,a 1 ,可得 an ,即有 ( ) ,运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简即可得到所求和【解答】解:设等差数列a n的公差为 d(d0) ,S1,S 2,S 4 成等比数列,且 ,可得 S22S 1S4,a 1+2d ,即有(2a 1+d) 2a 1(4a 1+6d) ,化为 d2a 1,解得

    22、 d1,a 1 ,第 13 页(共 24 页)可得 ana 1+(n1)d (n1) ,即有 ( ) ,则前 n 项和 Tn(1 + + )(1 ) 故选:C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,以及数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题12 (5 分)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F,且倾斜角为 的直线与抛物线交于A,B 两点,若 AB 的垂直平分线经过点(0,2) ,M 为抛物线上的一个动点,则 M 到直线 11:5x 4y+40 和 l2:x 的距离之和的最小值为(  )A B C D【分析】可以求出抛物线的焦点坐标,从而可以写出弦

    23、 AB 所在直线方程为 yx ,可设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,直线 AB 的方程和抛物线方程联立消去 x 可得到关于 y的一元二次方程,由韦达定理即可求出弦 AB 的中点坐标为( ,p) ,而弦 AB 的垂直平分线方程可写出为 y2x,弦中点坐标带入该方程便可求出 p 的值过点 M 分别作 MBl 1,MAl 2,垂足分别为 B,A由抛物线的定义可得| MA|MF|,求| MA|+|MB|转化为求|MB|+|MF |,当三点 M,B,F 共线时,| MB|+|MF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解:抛物线 y22px(p0)的焦点 F( ,0) ,过焦

    24、点 F 且倾斜角为 的直线方程为:yx ,设 A( x1,y 1) ,B(x 2,y 2) ;由 得,y 22py p 20;y 1+y22p, x1+x23p;弦 AB 的中点坐标为( ,p)弦 AB 的垂直平分线方程为 y2x ,弦 AB 的中点在该直线上;第 14 页(共 24 页)p2 ,解得 p (2)过点 M 分别作 MBl 1,MA l 2,垂足分别为 B,Al 2:x 是抛物线y2 x 的准线方程抛物线 y2 x 的焦点为 F( ,0) ,由抛物线的定义可得|MA | MF|,|MA |+|MB|MB|+|MF| ,当三点 M,B,F 共线时,|MA|+|MB|取得最小值其最小

    25、值为点 F 到直线 l1 的距离 故选:A【点评】考查抛物线的标准方程、定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式,考查转化思想的应用,属于中档题二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上)13 (5 分)双曲线 T: 1(a0,b0)的焦距为 10,焦点到渐近线的距离为3,则它的实轴长等于 8 【分析】求出半焦距,求出虚半轴的长,然后求解即可【解答】解:双曲线 T: 1(a0,b0)的焦距为 10,可得 c5,焦点到渐近线的距离为 3,可得 b3,它的实轴长:2a2 8故答案为:8【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查14 (5 分)已知

    26、(12x) 5(1+ax) 4 的展开式中 x 的系数为 2,则实数 a 的值为 3 【分析】根据题意可得展开式中 x 的系数为 (2)+ a2,由此求得实数 a 的值【解答】解:(12x) 5(1+ax) 4 的展开式中 x 的系数为 (2)+ a2,则实数 a3,故答案为:3第 15 页(共 24 页)【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题15 (5 分)已知 f(x )xsinx +cosx+x2,则不等式 f(lnx)+f (ln )2f(1)的解集为 ( ,e )  【分析】根据题意,求出 f( x )的表达式,分析 f( x)与 f(x

    27、)的关系,分析可得函数 f(x)为偶函数,求出其导数,利用函数的单调性与导数的关系,分析可得 f(x)在(0,+)上为增函数,原不等式等价于 f(lnx)f ( 1) ,结合函数的单调性可得|lnx|1 ,解可得 x 的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,f( x)xsinx +cosx+x2,则 f(x)( x)sin( x)+cos(x)+(x) 2xsinx+cosx+x 2f(x) ,则函数 f(x)为偶函数,f(x)(xsinx )+(cosx)+(x 2)x (2+cos x) ,当 x0 时,有 f(x)0,则 f(x )在(0,+)上为增函数,f(lnx ) +f(ln

    28、)2f(1)f(lnx)+f (lnx)2f(1)f(lnx)f(1) ,又由 f(x)在( 0,+)上为增函数,则有|lnx|1,解可得: xe ,则不等式的取值范围是( ,e) ;故答案为:( ,e) 【点评】本题考查函数的奇偶性的判定与应用,关键分析函数 f(x)的奇偶性与应用,属于基础题16 (5 分)在棱长为 1 的正方体中 ABCDA 1B1C1D1,M、N 分别是 AC1、A 1B1 的中点点 P 在正方体的表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 2+   【分析】取 BB1 的中点 E、CC 1 的中点 F,连接 AE、EF、FD,

    29、则 BN平面 AEFD,设M 在平面 AB1 中的射影为 O,过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为 ,故能使 MP 与 BN垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形,其周长与矩形 AEFD 的周长相等【解答】解:取 BB1 的中点 E、CC 1 的中点 F,连接 AE、EF、FD,则 BN平面 AEFD第 16 页(共 24 页)设 M 在平面 AB1 中的射影为 O,过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为 能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形,其周长与矩形 AEFD 的周长相等正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1矩形 AEFD 的周长为 2+故答案为:2+【点评】

    30、本题考查立体几何中的轨迹问题,考查学生的分析解决问题的能力,解题的关键是确定使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知cos2B+cosB1cosAcosC(1)求证:a,b,c 成等比数列;(2)若 b2,求ABC 的面积的最大值【分析】 (1)根据正弦定理,结合等差数列和等比数列的定义即可得到结论(2)由 b2,可得 acb 2 4,利用余弦定理求得 cosB 的最小值,可得 B 的最大值由ABC 的面积 S acsinB2sin B,可得它的最大值【解

    31、答】解:(1)ABC 中,cos 2B+cosB1cosAcosC,即 cos(A+C)1cosAcos C,即 1+cos2B2cos(A +C)22cosAcos C,即 cos2B12sin AsinC1+cos(A+C )cos(A C ) ,cos2Bcos ( A+C)+cos( AC)1,即 12sin 2BcosAcos C+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1,即 sinAsinCsin 2B,由正弦定理得 acb 2, (a,b,c0) ,则 a,b,c 三边成等比数列第 17 页(共 24 页)(2)若 b2,则 acb 2 4,利用余弦定理可得b24a

    32、 2+c22ac cosB2ac2accosB88cosB,cosB , B ,ABC 的面积 S acsinB2sinB2 ,故ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查等差数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用,要求熟练掌握相应的公式,属于中档题18 (12 分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位:万元)的调查获得的所有样本数据按照区间0,5 , (5,10,(10,15, (15,20, (20 ,25进行分组,得到如图所示的频率直方图(1)根据样本数据,估计样本中网购金额的平均值;(注:设样本数据第 i 组的频率为

    33、 pi,第 i 组区间的中点值为 xi(i1,2,3,4,5) ,则样本数据的平均值为Xx 1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5(2)若网购金额在(15,25的服务网点定义为优秀网点,其余为非优秀服务网点,从20 个服务网点中任选 2 个,记 表示选到优秀网点的个数,求 的分布列及数学期望【分析】 (1)由频率分布直方图的性质得先求出 m,由此能求出样本中网购金额的平均值(2)先求出网购金额在(15,25的服务网点的个数,从而优秀服务网点个数有 5 个,非优秀服务网点个数有 15 个,进而得到 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 的分布列和数学期望【解答】解:(

    34、1)由频率分布直方图的性质得(0.02+0.03+0.04+m +0.06)51,解得 m0.05,样本中网购金额的平均值为:2.50.055+7.50.045+12.50.065+17.50.025+22.50.03511(2)网购金额在(15,25的服务网点的个数为( 0.02+0.03)5205 个,第 18 页(共 24 页)优秀服务网点个数有 5 个,非优秀服务网点个数有 15 个,从 20 个服务网点中任选 2 个, 表示选到优秀网点的个数,则 的可能取值为0,1,2,P(0) ,P(1) ,P(2) , 的分布列为: 0 1 2PE 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查离散

    35、型随机变量的分布列、数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用19 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ADC60,SA1, AB2,SB ,平面 SAB底面 ABCD,直线 SC 与底面 ABCD 所成的角为30(1)证明:平面 SAD平面 SAC;(2)求二面角 BSCD 的余弦值【分析】 (1)推导出 SAAB,SAAC,SAC 30,从而 ADAC,进而 AC平面SAD,由此能证明平面 SAD平面 SAC(2)以 A 为原点,AB 为 x 轴, AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面

    36、角 BSCD 的余弦值【解答】证明:(1)SA1,AB2,SB ,平面 SAB底面 ABCD第 19 页(共 24 页)SA 2+AB2SB 2,SA AB ,平面 SAB平面 ABCDAB ,SA 平面 ABCD,AC平面 ABCD,SA AC,直线 SC 与底面 ABCD 所成的角为 30,SAC30,SC2,AC ,底面 ABCD 为平行四边形,ADC60,AC 2AD 2+CD22ADCDcos60,即 34+AD 22AD,解 AD1,AD 2+AC2CD 2,ADAC,SAAD A,AC平面 SAD,AC平面 SAC,平面 SAD平面 SAC解:(2)以 A 为原点,AC 为 x

    37、轴,AE 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系,B( ,1,0) ,C( , 0,0) ,D(0,1,0) ,S(0,0,1) ,( ,1,1) , ( ,0,1) , (0,1,1) ,设平面 SBC 的法向量 (x,y,z) ,则 ,取 x1,得 (1,0, ) ,设平面 SDC 的法向量 (a,b,c) ,则 ,取 a1,得 (1, , ) ,设二面角 BSCD 的平面角为 ,则 cos 二面角 BSCD 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要第 20 页(共 24 页)认真审题,注意向量法的合理运用20 (12 分)已知椭圆

    38、 C: + 1(ab0)的右焦点为 F2(2,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上()求椭圆 C 的标准方程;()是否存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,使得|F 1M|F 1N|(F 1 为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由【分析】 ()由椭圆的右焦点为 F2(2,0) ,点 P(1, )在椭圆 C 上,列出方程组求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的标准方程()假设存在斜率为1 直线 l:y x+m 与椭圆 C 相交于 M(x 1,y 1) ,N(x 2, y2)两点,使得| F1M| F1N|,联立 ,得:4x 26mx+3m 260,由

    39、此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式,结合已知条件推导出不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,使得 |F1M|F 1N|【解答】解:()椭圆 C: + 1(ab0)的右焦点为 F2(2,0) ,点P(1, )在椭圆 C 上, ,解得 a ,b ,椭圆 C 的标准方程为 ()不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,使得 |F1M|F 1N|理由如下:假设存在斜率为1 直线 l: yx+m 与椭圆 C 相交于 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2)两点,使得|F 1M| F1N|,第 21 页(共 24 页)联立 ,消除 y,得:

    40、4x 26mx+3m 260,36m 216(3m 26)0,解得2 , ( *), ,M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ,F 1(2,0) ,|F 1M| F1N|, ,整理,得(x 1+x2+4) (x 1x 2)+ (y 1+y2) (y 1y 2)0, ,直线 l:y x+m 的斜率:1 ,解得 m4,不满足(*)式,不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,使得 |F1M|F 1N|【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的直线是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式的合理运用21 (1

    41、2 分)已知函数 f(x )(x+a)lnx,g(x) ,曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 2xy30 平行(1)求证:方程 f(x )g(x)在(1,2)内存在唯一的实根;(2)设函数 m(x)minf(x) ,g(x)(min p,q表示 p,q 中的较小者) ,求m(x)的最大值【分析】 (1)根据题意,由导数的几何意义可得 f(1)2,又 f(x )lnx+ +1,所以 a1,设 h(x)f (x)g(x)(x+1)lnx ,由函数零点判定定理可得存在 x0(1,2) ,使 h(x 0)0,进而分析函数 h(x)的单调性,即可得答案;(2)根据题意,分析可得 m(x

    42、)的表达式,分段求出 m(x)的导数,分析其单调性,第 22 页(共 24 页)据此分析可得答案【解答】解:(1)由题意知,曲线 yf (x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 2,所以 f(1)2,又 f(x)lnx+ +1,所以 a1设 h(x)f( x)g(x)(x+1)lnx ,当 x(0,1 时, h(x )0,又 h(2)3ln2 ln8 110,所以存在 x0( 1,2) ,使 h(x 0)0因为 h(x)lnx + +1+ ,当 x(1,2)时, 0x(2x)(x1) 2+11,exe,所以 0 ,所以 ,所以 h(x)1 0,所以当 x(1, 2)时,h(x)单调递增,所以

    43、方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的实根(2)由(1)知,方程 f(x )g(x)在(1,2)内存在唯一的实根 x0,且x(0,x 0)时,f(x )g(x) ,又当 x(x 0,2)时,h(x)0,当 x(2,+)时,h(x)0,所以当 x(x 0,+)时,h(x)0,所以当 x(x 0,+)时,f( x)g(x) ,所以 m(x) ,当 x(0,x 0)时,若 x(0,1 ,则 m(x)0;若 x(1,x 0,由 m(x ) lnx+ +10,可知 0m(x)m(x 0) ,故当 x(0,x 0时,m(x ) m(x 0) 当 x(x 0,+)时,由 m(x ) ,可得当 x(

    44、x 0,2)时,m(x )0,m (x)单调递增;x(2,+)时,m(x )0,m (x)单调递减第 23 页(共 24 页)可知 m(x)m(2) ,且 m(x 0)m (2) 综上可得,函数 m(x)的最大值为 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值,关键是掌握导数的几何意义选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标变为原来的 3 倍,得曲线 ()写出 的参数方程;()设直线 l:3x +2y60 与 的交点为 P1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂

    45、直的直线的极坐标方程【分析】 (1)首先,设出所求点的坐标,然后,建立坐标之间的关系式,求解其普通方程,再将其化为参数方程即可;(2)联立方程组,然后,解得两个交点坐标,从而确定其中点坐标,从而求解其直线方程,再化为极坐标形式即可【解答】解:(1)设点(x 1,y 1)为圆上的任意一点,在已知变换下变为 T 上点(x,y) ,根据题意,得 ,即 ,根据 ,得 ,即曲线 T 的方程为 ,所以,曲线 T 的参数方程为 (t 为参数) (2)联立方程组 ,解得   或 ,不妨设点 P1(2,0) ,P 2(0,3) ,则线段的中点坐标为(1, ) ,所求直线的斜率 k ,于是所求直线方程为

    46、:y (x1) ,即 4x6y+5 0,将此化为极坐标方程,得到 4cos6sin+50【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程的互化等知识,考查第 24 页(共 24 页)了直线方程有关内容,属于中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x a |(1)若 f(x) b 的解集为 x|1x2,求实数 a、b 的值;(2)若 a2 时,不等式 f( x)+mf (x+2)对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围【分析】 (1)根据条件解绝对值不等式求得 f(x )b 的解集,再根据 f(x)b 的解集为x| 1x 2,求得实数 a,b 的值(2)由题意可得,m|2x+2|2 x2|恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x+2|2x2|的最大值为 4,可


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