1、2017 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，By|y |x|+1，xR ，则 A RB（ ）A （0，2） B1，2） C （0，1 D （0，1）2 （5 分）下面是关于复数 z 的四个命题：p 1：|z|2，p 2：z 22i，p 3：z 的共轭复数为1+ i，p 4：z 的虚部为 1，其中真命题为（ ）Ap 2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 43 （5 分）下列命题推断错误的是（ ）A命题“若 xy，
2、则 sinx siny”的逆否命题为真命题B若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题C “x 1” 是“x 25x60”的充分不必要条件D命题 p：存在 x0R，使得 x02+x0+10，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+104 （5 分）关于右面两个程序框图，说法正确的是（ ）A （1）和（2）都是顺序结构B （1）和（2）都是条件分支结构C （1）是当型循环结构， （2 ）是直到型循环结构D （1）是直到型循环结构， （2）是当型循环结构5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S24， S416，则 a5+a6（ ）A11 B16 C
3、20 D286 （5 分）已知 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 （ ）A B C D47 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 2 页（共 24 页）A3 B4 C2+4 D3+48 （5 分）函数 f（x ）sin（x+） （其中| | ）的图象如图所示，为了得到ysinx 的图象，只需把 yf（x）的图象上所有点（ ）个单位长度A向右平移 B向右平移C向左平移 D向左平移9 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 1，4，部分对应值如下表， f（x）的导函数yf（x ）的图象如图所示x 1 0 2 3 4f（x）
4、1 2 0 2 0当 1a2 时，函数 yf（x）a 的零点的个数为（ ）A2 B3 C4 D510 （5 分）已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一点 P（x，y） ，则点 P 的坐标满足不等式 x2+y2 2 的概率为（ ）A B C D第 3 页（共 24 页）11 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A BC D12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，yR，都有 f（x）f（y ）f（x+y） ，若 a1 ，a nf（n） （n
5、N *） ，则数列 an的前 n 项和 Sn 的取值范围是（ ）A ，2） B ，2 C ，1） D ，1二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）令 p（x）：ax 2+2x+10，若对 xR，p（x）是真命题，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）若 tan（+ ）2，则 的值为 15 （5 分）函数 ya 1x （a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny10（mn0）上，则 的最小值为 16 （5 分）函数 yf（x）满足对任
6、意 xR 都有 f（x+2）f（x）成立，且函数yf（x 1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）4，则 f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知函数 f（x ）2 sinxcosx+2cos2x，ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， a2 （1）求 f（x）的最大值及取得最大值时相应 x 值的集合；（2）若 f（A）2，b+c 6，求ABC 的面积18 （12 分） “双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50
7、 辆就抽取一辆的样本方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；60，65） ，65 ，70） ，第 4 页（共 24 页）70，75） ，75，80） ，80 ，85） ，85 ，90后得到如图所示的频率分布直方图（1）求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65 ，70）内的车辆恰有一辆的概率19 （12 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AD平面 A1BC，其垂足 D 落在直线 A1B 上（）求证：BCA 1B；（）若 ，ABBC2，P 为 AC 的中点，求三棱锥 P
8、A 1BC 的体积20 （12 分）已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1 和 F2，且|F 1F2|2，点（1， ）在该椭圆上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF 2B 的面积为 ，求以 F2为圆心且与直线 l 相切圆的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）（m+ ）lnx+ x， （其中常数 m0） （1）当 m2 时，求 f（x）的极大值；（2）试讨论 f（x ）在区间（0，1）上的单调性；（3）当 m3，+）时，曲线 yf（x）上总存在相异两点 P（x 1，f（x 1） ） 、Q（x 2，
9、f（x 2） ） ，使得曲线 yf（x）在点 P、Q 处的切线互相平行，求 x1+x2 的取值范第 5 页（共 24 页）围选做题22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6） 2+y225（）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，l 与 C 交与 A，B 两点，|AB| ，求 l 的斜率选做题23已知函数 f（x ）|x 1|+|2x+2|（1）解不等式 f（x ）5；（2）若不等式 f（x ）a（a R）的解集为空集，求 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2017 年甘肃省河西五市
10、部分普通高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，By|y |x|+1，xR ，则 A RB（ ）A （0，2） B1，2） C （0，1 D （0，1）【分析】求解不等式可得集合 A，求 B 的值域可得集合 B，根据集合的基本运算即可求A RB【解答】解：由不等式 x22x0解得：0x2集合 A x|0x 2，由函数 y|x|+1，xR，可得值域为1+） ，集合 B1+） ， RB（，1） 那么：A RB（0，1）故选：D【点评】本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合
11、的基本运算，比较基础2 （5 分）下面是关于复数 z 的四个命题：p 1：|z|2，p 2：z 22i，p 3：z 的共轭复数为1+ i，p 4：z 的虚部为 1，其中真命题为（ ）Ap 2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 4【分析】利用复数的运算法则可得：复数 z1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假【解答】解：复数 z 1+i 的四个命题：p1：|z| 2，因此是假命题；p2：z 2（1+i） 22i，是真命题；p3：z 的共轭复数为 1i，是假命题；p4：z 的虚部为 1，是真命题其中真命题为 p2，p 4第 7
12、页（共 24 页）故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）下列命题推断错误的是（ ）A命题“若 xy，则 sinx siny”的逆否命题为真命题B若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题C “x 1” 是“x 25x60”的充分不必要条件D命题 p：存在 x0R，使得 x02+x0+10，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10【分析】利用原命题与逆否命题的真假关系判断 A 的正误；复合命题的真假判断 B 的正误；充要条件判断 C 的正误；命题的否定判断 D
13、 的正误；【解答】解：对于 A，命题“若 xy ，则 sinxsin y”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以 A 正确；对于 B，若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题，只要一个命题是假命题，命题就是假命题，所以 B 不正确；对于 C， “x 1”是“x 25x60”的充分不必要条件，满足充要条件，正确；对于 D，命题 p：存在 x0R，使得 ，则非 p：任意 xR，都有满足命题的否定形式，正确；故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，基本知识的考查4 （5 分）关于右面两个程序框图，说法正确的是（ ）A （1）和（2）
14、都是顺序结构B （1）和（2）都是条件分支结构第 8 页（共 24 页）C （1）是当型循环结构， （2 ）是直到型循环结构D （1）是直到型循环结构， （2）是当型循环结构【分析】欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后【解答】解：（1）观察图（1） ，它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；（2）观察图（2） ，它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图故（1）是当型循环结构， （2）是直到型循环结构故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环
15、结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S24， S416，则 a5+a6（ ）A11 B16 C20 D28【分析】可利用等差数列的性质 S2，S 4S 2，S 6S 4 仍然成等差数列来解决【解答】解：a n为等差数列，前 n 项和为 Sn，S 2， S4S 2，S 6S 4 成等差数列，2（S 4S 2）S 2+（S 6S 4） ，又 S24，S 416，244+S 6S 4a 5+a6+4，a 5+a620故选：C【点评】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握：“等差数列中Sn，S 2nS
16、n，S 3nS 2n仍成等差数列”这一性质，属于中档题6 （5 分）已知 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 （ ）A B C D4【分析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的【解答】解： ， 均为单位向量，它们的夹角为 60， 故选：C【点评】本题考查向量模的求法，求向量的模一般先求其平方，或者恒等变形，将其拿到根号下平方，以达到用公式求出其值的目的，解此类题时注意总结此规律，这是解本第 9 页（共 24 页）类题的通用方法，切记！7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ &
17、nbsp;）A3 B4 C2+4 D3+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积 S2 +（2+）23 +4，故选：D【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档8 （5 分）函数 f（x ）sin（x+） （其中| | ）的图象如图所示，为了得到ysinx 的图象，只需把 yf（x）的图象上所有点（ ）个单位长度A向右平移 B向右平移C向左平移 D向左平移【分析】
18、首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出 ，利用在 x函数的值求出 的值，最后通过平移变换求出答案【解答】解：根据函数的图象：求得：T进一步利用：第 10 页（共 24 页）当 x |所以：即函数 f（x）要得到 f（x） sin2x 的图象只需将函数 f（x） 向右平移 个单位即可故选：A【点评】本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定 A、 的值，函数图象的平移变换问题9 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 1，4，部分对应值如下表， f（x）的导函数yf（x ）的图象如图所示x 1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当 1a2 时，函数 yf（
19、x）a 的零点的个数为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用 1a2，即可得到函数 yf（x）a 的零点的个数【解答】解：根据导函数图象，可得 2 为函数的极小值点，函数 yf（x）的图象如图所示：第 11 页（共 24 页）因为 f（0）f（3）2，1a2，所以函数 yf（ x）a 的零点的个数为 4 个故选：C【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减10 （5 分）已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一点 P（x，y） ，则点 P 的坐标满足不等式 x2+y
20、2 2 的概率为（ ）A B C D【分析】由 我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案【解答】解：满足约束条件 区域为ABO 内部（含边界） ，与圆 x2+y22 的公共部分如图中阴影扇形部分所示，则点 P 落在圆 x2+y22 内的概率概率为：第 12 页（共 24 页）P 故选：A【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ） ，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P 求解11 （5
21、分）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A BC D【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 x 轴上，则双曲线的左焦点为（6，0） ，此时由双曲线的性质 a2+b2c 2 可得a、b 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y x，可得 ，则得 a、b 的另一个方程那么只需解 a、b 的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线 y224x 的准线方程为 x6，则由题意知，点 F（6，0）是双曲线的左焦点，所以 a2+b2c 236，第 13 页（共 24
22、页）又双曲线的一条渐近线方程是 y x，所以 ，解得 a29，b 227，所以双曲线的方程为 故选：B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，yR，都有 f（x）f（y ）f（x+y） ，若 a1 ，a nf（n） （nN *） ，则数列 an的前 n 项和 Sn 的取值范围是（ ）A ，2） B ，2 C ，1） D ，1【分析】根据 f（x ）f（y ） f（x+y） ，令 xn，y 1，可得数列a n是以 为首项，以 为等比的等比数列，进而可以求得 Sn，进而 Sn 的取值范围【解答
23、】解：对任意 x，y R，都有 f（x）f （y）f（x+y） ，令 xn，y1，得 f（n）f（1）f （n+1） ，即 f（1） ，数列a n是以 为首项，以 为等比的等比数列，a nf（n）（ ） n，S n 1（ ） n ，1） 故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意 x，yR，都有 f（x）f（y）f（x+y）得到数列a n是等比数列，属中档题二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）令 p（x）：ax 2+2x+10，若对 xR，p（x）是真命题，则实数 a 的取值范围是 a1 第 14 页（共 24 页）【分析】
24、首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分 a0 和 a0 两种情况讨论，当 a0 时为一次不等式，当 a0 为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与 x 轴没交点得出不等式组，最后求解【解答】解：对x R，p（x）是真命题，是对x R，ax 2+2x+10 恒成立，当 a0 时，ax 2+2x+10 化为 2x+10，解得， ，不等式不是对xR 恒成立；若 a0，由题意，得 解得 a1所以xR，ax 2+2x+10 恒成立的 a 的范围是 a1，即若对xR， p（x）是真命题，则实数 a 的取值范围是 a1故答案为 a1【点评】分类讨论思想是重要的数学思想
25、，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要14 （5 分）若 tan（+ ）2，则 的值为 【分析】tan（+ ）2，可得 tan2，利用“弦化切”即可得出【解答】解：tan（+ ）2，tan2，则 故答案为： 【点评】本题考查了“弦化切” 、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）函数 ya 1x （a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny10（mn0）上，则 的最小值为 4 【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键函数 ya 1x （a0，a1）的图象恒过定点 A，知 A
26、（1，1） ，点 A 在直线 mx+ny10上，得 m+n1 又 mn0，m 0，n0，下用 1 的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值【解答】解：由已知定点 A 坐标为（1，1） ，由点 A 在直线 mx+ny10 上，m+ n 1，第 15 页（共 24 页）又 mn0，m0，n0， （ ） （m+n） 2+ + 2+2 4，当且仅当两数相等时取等号故答案为 4 【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件” ，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值也可将已知条件适当
27、变形，再利用均值不等式，使得等号成立有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值16 （5 分）函数 yf（x）满足对任意 xR 都有 f（x+2）f（x）成立，且函数yf（x 1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）4，则 f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为 4 【分析】由函数 f（x 1）的图象关于（1，0）对称，且由 yf（x1）向左平移 1 个单位可得 yf（ x）的图象可知，函数 yf （x）的图象关于原点对称，即函数 yf（x）为奇函数，由已知条件可得函数的周期为 4，利用所求周期即可求解【解答】解：函数 f（x 1）的图象关于（1，0）对称且把 yf（x1）向
28、左平移 1 个单位可得 yf （x）的图象，函数 yf（x）的图象关于（0，0）对称，即函数 yf（x）为奇函数，f（0）0，f（x+2）f（x ） ，又 f（x）f（x ） ，从而可得 f（x+2）f（x ） ，将 x 换成 x+2，可得 f（x+4）f（x ） ，即函数是以 4 为周期的周期函数，f（2016）f（5044）f（0）0，f（2017）f（5044+1）f（1）4，f（2018）f（5044+2）f（2）f （0）0，即有 f（2016）+f（2017）+ f（2018）4故答案为：4【点评】本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解第 16 页（共
29、 24 页）抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知函数 f（x ）2 sinxcosx+2cos2x，ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， a2 （1）求 f（x）的最大值及取得最大值时相应 x 值的集合；（2）若 f（A）2，b+c 6，求ABC 的面积【分析】 （1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出 bc 的值，进一步求出三角形的面积【解答】解：（1）（2）由在ABC 中，由余弦定理 a2b 2+c2bc
30、又12（b+c） 23bc 363bc ，bc8所以【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用属于基础题型18 （12 分） “双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的样本方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；60，65） ，65 ，70） ，第 17 页（共 24 页）70，75） ，75，80） ，80 ，85） ，85 ，90后得到如图所示的频率分布直方图（1）求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估
31、计值；（2）若从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65 ，70）内的车辆恰有一辆的概率【分析】 （1）由频率分布直方图知75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这 40 辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出60，75）对应的频率为 0.35，75 ，80）对应的频率为 0.3，由此能求出中位数的估计值（2）车速在60，70）内频率为 0.15，从而车速在60 ，70 ）内的车辆有 6 辆，其中车速在60，65）内的车辆有 2 辆，车速在 65，70）内的车辆有 4 辆，由此能求出从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，车速在65 ，70）内的车辆恰有一辆的概率【解
32、答】解：（1）由频率分布直方图知75，80）对应的小矩形最高，这 40 辆小型汽车车速的众数为： 77.5（km/h） 由频率分布直方图知60，75 ）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）50.35，75，80）对应的频率为：0.060 50.3，中位数的估计值为： 77.5（km/h） （2）车速在60，70）内频率为（ 0.010+0.020）50.15，车速在60，70）内的车辆有 0.15406 辆，其中车速在60，65）内的车辆有： 0.0105402 辆，车速在65，70）内的车辆有： 0.0205404 辆，从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，基本事件总
33、数 n ，第 18 页（共 24 页）车速在65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数 m 8，车速在65，70）内的车辆恰有一辆的概率 p 【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用19 （12 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AD平面 A1BC，其垂足 D 落在直线 A1B 上（）求证：BCA 1B；（）若 ，ABBC2，P 为 AC 的中点，求三棱锥 PA 1BC 的体积【分析】 （）欲证 BCA 1B，可寻找线面垂直，而 A1ABC，ADBC又 AA1平面A1AB，AD平面 A1AB，A 1AADA，
34、根据线面垂直的判定定理可知 BC平面A1AB，问题得证；（）根据直三棱柱的性质可知 A1A面 BPC，求三棱锥 PA 1BC 的体积可转化成求三棱锥 A1PBC 的体积，先求出三角形 PBC 的面积，再根据体积公式解之即可【解答】解：（）三棱柱 ABCA 1B1C1 为直三棱柱，A 1A平面 ABC，又 BC平面 ABC，A 1ABC （ 2 分）AD平面 A1BC，且 BC平面 A1BC，ADBC又 AA1平面 A1AB，AD平面 A1AB，A 1AAD A，BC平面 A1AB， （5 分）又 A1B平面 A1BC，BCA 1B；（ 6 分）（）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1A
35、AB AD平面 A1BC，其垂足 D 落在直线 A1B 上，第 19 页（共 24 页）ADA 1B在 RtABD 中， ，ABBC2，ABD60，在 RtABA 1 中， （8 分）由（）知 BC平面 A1AB，AB平面 A1AB，从而 BCAB， P 为 AC 的中点， （10 分） （12 分）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力20 （12 分）已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1 和 F2，且|F 1F2|2，点（1， ）在该椭圆上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F1
36、 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF 2B 的面积为 ，求以 F2为圆心且与直线 l 相切圆的方程【分析】 （1）因为|F 1F2|2，所以 c1又点（1， ）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出 a 的值，从而求出 b （2）首先应考虑直线 lx 轴的情况，此时A（1， ） ，B（1， ） ，AF 2B 的面积为 3，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时， ） ，s AF 2B 设直线 l 的方程为 yk（x+1） 代入椭圆方程得：（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212 0，用弦长公式可得|AB| ，用点到直线的距离公式可得 圆 F2 的半径 r ，这样根据题中所
37、给面积可求出 k 的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为【解答】解：（1）因为|F 1F2|2，所以 c1第 20 页（共 24 页）又点（1， ）在该椭圆上，所以 所以 a2，b 23所以椭圆 C 的方程为 （2） 当直线 lx 轴时，可得 A（1， ） ，B （1， ） ，AF 2B 的面积为 3，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk（x +1） 代入椭圆方程得：（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212 0显然0 成立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则x1+x2 ，x 1x2可得|AB| ，用点到直线的距离公式可得 圆 F2 的半径
38、 r ，AF 2B 的面积 |AB|r ，化简得：17k 4+k2180，得 k1，r ，圆的方程为（x1） 2+y22【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆与圆，用弦长公式点到直线的距离公式、属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（m+ ）lnx+ x， （其中常数 m0） （1）当 m2 时，求 f（x）的极大值；（2）试讨论 f（x ）在区间（0，1）上的单调性；（3）当 m3，+）时，曲线 yf（x）上总存在相异两点 P（x 1，f（x 1） ） 、Q（x 2，f（x 2） ） ，使得曲线 yf（x）在点 P、Q 处的切线互相平行，求 x1+x2 的取值范围【分析】 （
39、1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求 f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线 yf（x）在点 P、Q 处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题第 21 页（共 24 页）的突破口即可【解答】解：（1）当 m2 时，（x0）令 f（x）0 ，可得 或 x2；令 f（x）0 ，可得 ，f（x）在 和（2，+）上单调递减，在 单调递增 故（2） （x0，m0）当 0 m1 时，则 ，故 x（0，m） ，f （x）0；x（m，1）时，f（x）0此
40、时 f（x）在（ 0，m）上单调递减，在（m ，1）单调递增； 当 m1 时，则 ，故 x（0，1） ，有 恒成立，此时 f（x）在（ 0，1）上单调递减； 当 m1 时，则 ，故 时，f（ x）0； 时，f（x）0此时 f（x）在 上单调递减，在 单调递增 （3）由题意，可得 f（x 1）f（x 2） （x 1，x 20，且 x1x 2）即 x 1x 2，由不等式
41、性质可得 恒成立，又 x1，x 2，m0第 22 页（共 24 页） 对 m3，+）恒成立 令 ，则对 m3，+ ）恒成立g（m）在3，+）上单调递增，故从而“ 对 m3，+ ）恒成立”等价于“ ”x 1+x2 的取值范围为【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键选做题22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6） 2+y225（）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，l 与 C 交与 A，B 两点
42、，|AB| ，求 l 的斜率【分析】 （）把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用2 x2+y2，x cos，y sin，能求出圆 C 的极坐标方程（）由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线 l 的斜率【解答】解：（）圆 C 的方程为（ x+6） 2+y225，x 2+y2+12x+110， 2x 2+y2，x cos，y sin ，C 的极坐标方程为 2+12cos+110（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，第 23 页（共 24 页）t ，代入 ytsin，得：直线 l 的一般方程 ytanx，l 与 C 交与 A，B 两点，|AB
43、| ，圆 C 的圆心 C（6，0） ，半径 r5，圆心到直线的距离 d 圆心 C（6，0）到直线距离 d ，解得 tan2 ，tan l 的斜率 k 【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用选做题23已知函数 f（x ）|x 1|+|2x+2|（1）解不等式 f（x ）5；（2）若不等式 f（x ）a（a R）的解集为空集，求 a 的取值范围【分析】 （1）根据函数 f（x ） ，分类讨论求得不等式 f（x）5 的解集（2）由（1）可得函数 f（x ）的最小值为 f（1）2，结合题意求得 a 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）|x1|+|2x+2| ，当 x1 时，由3x 15，求得 x2显然，当1x1 时，不等式 f（x）5 无解，当 x1 时，由 3x+15，求得 x 综上可得，不等式的解集为x|x2 或 x （2）由（1）可得 f（x ） ，函数 f（ x）的最小值为 f（1）2，故当 a2 时，不等式 f（x ）a（a R）的解集为空集第 24 页（共 24 页）【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题
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