1、2019 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）2 （5 分）若复数 z 满足 ，则|z|（ ）A B C D3 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A By2 x2 x Cysinx Dy x 24 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的取值范围是（ &nb
2、sp;）A0，6 B0，4 C6 ，+） D4 ，+）5 （5 分）已知圆锥的底面半径是 1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A2 B3 C4 D56 （5 分）已知ABC 的边 BC 上有一点 D 满足 3 ，则 可表示为（ ）A 2 +3 B +C + D +7 （5 分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 的图象分割为两个对称的鱼形图
3、案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）第 2 页（共 23 页）A B C D8 （5 分）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点在 C 上，则 C 的方程为（ ）A BC D9 （5 分）由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A BC D10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1AB 2BC4，E 是 AB 的中点，则三棱锥 ED 1C1C 外接球
4、的表面积为（ ）A36 B32 C9 D811 （5 分）已知 x1 是 f（x）x 2（a+3）x+2a+3e x 的极小值点，则实数 a 取值范围是（ ）A （1，+） B （1，+） C （，1） D （，1）12 （5 分）已知椭圆 的左右顶点分别为 A，B，P 是椭圆上异于 A，B 的一点，若直线 PA 的斜率 kPA 与直线 PB 的斜率 kPB 乘积 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D第 3 页（共 23 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）一个频率分布表（样本容量为 50）不小心被损坏了一部
5、分，只记得样本中数据在20， 60）上的频率为 0.6，则估计样本在 40，50） ， 50，60）内的数据个数之和是 14 （5 分）已知 ，则 tan 15 （5 分）已知 ，则 x 的值为 16 （5 分）在平面凸四边形 ABCD 中，A45，B120，AB ，AD3，CD t （t 为常数） ，若满足上述条件的平面凸四边形 ABCD 有且只有 2 个，则 t 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必
6、须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在数列a n中，已知 an0，a 11，a n+12 an2a n+1a n0（1）求证：数列a n是等差数列；（2）设数列a n的前 n 和为 Sn，b n ，求数列b n的前 n 和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SBSD（1）证明：BDSA；（2）若面 SBD面 ABCD， SBSD ，BAD 60，AB1，求 B 到平面 SAD 的距离第 4 页（共 23 页）19 （12 分）已知椭圆 经过点 ，左焦点，直线 l：y 2x+m 与椭圆 C 交
7、于 A，B 两点，O 是坐标原点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求OAB 面积的最大值20 （12 分）如图是某市 xcos，ysin 年至 C 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的条形图（1）若从 2011 年到 2015 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于 140 亿元的概率；（2）为了预测该市 2019 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2001 年至 2017 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型： 30.4+13.5t；根据 2011 年至 2017 年的数据（时间变量 t 的值依次为1，2
8、，7）建立模型： 99+17.5 t（i）分别利用这两个模型，求该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值；（ii）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+（a2）xlnx（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 5 页（共 23 页）第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
9、直线 l1 的极坐标方程为，将直线 l1 绕极点 O 逆时针旋转 个单位得到直线 l2（1）求 C 和 l2 的极坐标方程；（2）设直线 l1 和曲线 C 交于 O，A 两点，直线 l2 和曲线 C 交于 O，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+|2x2|（a R） （1）当 a2 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若 f（x） 2，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个
10、选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）【分析】解二次不等式可求得 A（0，2） ，又 B（1，1）则可得解【解答】解：解二次不等式 x22x0，得 0x 2，所以集合 A（0，2） ，又 B（1，1） ，所以 AB （0，1） ，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题2 （5 分）若复数 z 满足 ，则|z|（ ）A B C D【分析】直接利用商的模等于模的商求解【解答】解： ，|z| | | 故选：C【点评】本题考查复数模的
11、求法，考查数学转化思想方法，是基础题3 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A By2 x2 x Cysinx Dy x 2【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y ，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于 B，y2 x2 x ，有 f（x）2 x 2 xf（x） ，为奇函数，且其导数 f（x）2 x2 x 0，在其定义域上为增函数，符合题意；对于 C，ysinx ，为正弦函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；第 7 页（共 23 页）对于 D，yx 2，
12、为偶函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数奇偶性与单调性，属于基础题4 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的取值范围是（ ）A0，6 B0，4 C6 ，+） D4 ，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数 zx+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由 解得 C（2，1） ，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+） 故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键5 （5 分）已知圆
13、锥的底面半径是 1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据圆锥的侧面展开图是半圆求出母线长，再计算圆锥的表面积【解答】解：设圆锥的母线长为 l，由圆锥的底面半径是 r1，侧面展开图是半圆，第 8 页（共 23 页）则 l2 r21，解得 l2；所以该圆锥的表面积为Srl+r 212+ 123 故选：B【点评】本题考查了圆锥的表面积计算问题，是基础题6 （5 分）已知ABC 的边 BC 上有一点 D 满足 3 ，则 可表示为（ ）A 2 +3 B +C + D +【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出【解答】解：由
14、 3 ，则 + + + （ ） + ，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题7 （5 分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）第 9 页（共 23 页）A B C D【分析】由
15、三角函数的周期可得：函数 的周期为 6，即大圆的半径为3，由几何概型中的面积型可得：P（A） ，得解【解答】解：由函数 的图象可得函数的周期为 6，即大圆的半径为 3，设“此点投放到“鱼眼”部分”为事件 A，由几何概型中的面积型可得：P（A） ，故选：B【点评】本题考查了三角函数的周期及几何概型中的面积型，属中档题8 （5 分）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点在 C 上，则 C 的方程为（ ）A BC D【分析】由题意 y x 是 C 的一条渐近线，故可设双曲线的标准方程为（y+ x）（y x）把点 P 的坐标代入即可【解答】解：由题意可知：求的双曲线的方程
16、是标准方程y x 是 C 的一条渐近线，可设双曲线的方程为（y+ x） （y x） ，即 y22x 2把点 P（2 ，2）代入得（2） 22（2 ） 2，解得 14双曲线的方程为 y22x 214化为 1，第 10 页（共 23 页）故选：B【点评】本题考查了双曲线的性质和方程，属于基础题9 （5 分）由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A BC D【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解：函数 的图象向左平移 个单位，得到： ，再把所得图象上所有点
17、的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得： 故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1AB 2BC4，E 是 AB 的中点，则三棱锥 ED 1C1C 外接球的表面积为（ ）A36 B32 C9 D8【分析】由题意画出图形，由已知求得 D1ECE，可得 D1C 中点 O 为三棱锥ED 1C1C 外接球的球心，求出半径，代入球的表面积公式得答案【解答】解：如图，AA 1AB2BC4，E 是 AB 的中点，CE ， ， ，
18、则 ，D 1ECE，又 D1C1C 1C，取 D1C 中点 O，则 O 为三棱锥 ED 1C1C 外接球的球心，外接球的半径为 第 11 页（共 23 页）三棱锥 ED 1C1C 外接球的表面积为 故选：B【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）已知 x1 是 f（x）x 2（a+3）x+2a+3e x 的极小值点，则实数 a 取值范围是（ ）A （1，+） B （1，+） C （，1） D （，1）【分析】根据题意求函数 f（ x）的导数 f（x） ，根据 x1 是 f（x）的极小值点，得出 x1 时 f （x）0，且 x1
19、 时 f（x）0，由此可得出实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）x 2（a+3 ）x +2a+3ex，则 f（x）x 2（a+1）x +aex，令 f（x）0 ，得 x2（a+1）x+a0，设 g（x）x 2（a+1）x +a，x R，当 a 1 时， g（x）（x1） 20 恒成立，f（x）0 恒成立，f（x）是 R 上的单调增函数，没有极值点，不合题意；当 a 1 时， g（x）有两个零点 1 和 a，且 x1 或 xa 时 g（x）0，则 f（x）0，1xa 时 g（x ）0，则 f（x）0，所以 x1 是 f（ x）的极大值点，不满足题意；当 a 1 时， g（x）有两个零
20、点 1 和 a，且 xa 或 x1 时 g（x）0，则 f（x）0，ax1 时 g（x ）0，则 f（x）0，所以 x1 是 f（ x）的极小值点，满足题意；第 12 页（共 23 页）综上所述，x1 是 f（x）的极小值点时，实数 a 取值范围是（，1） 故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题12 （5 分）已知椭圆 的左右顶点分别为 A，B，P 是椭圆上异于 A，B 的一点，若直线 PA 的斜率 kPA 与直线 PB 的斜率 kPB 乘积 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】设 P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率
21、公式，即可求得 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率【解答】解：设 P（x 0，y 0）代入椭圆方程，则 ，整理得：y 02 （x 02a 2） ，又 k1 ，k 2 ，所以 k1k2 ，联立两个方程则 k1k2 ，即 ，则 e 故选：D【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）一个频率分布表（样本容量为 50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据第 13 页（共 23 页）在20，60）上的频率为 0.6，则估计样本在 40，50） ，50，60）内的数据个数之和是 21 【分析】设分布在40，5
22、0） ，50，60）内的数据个数分别为 x，y 根据样本容量为 50和数据在20，60）上的频率为 0.6，建立关于 x、y 的方程，解之即可得到 x+y 的值【解答】解：根据题意，设分布在40，50） ，50，60）内的数据个数分别为 x，y样本中数据在20，60）上的频率为 0.6，样本容量为 50 ，解之得 x+y21即样本在40，50） ，50，60 ）内的数据个数之和为 21故答案为：21【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知识，属于基础题14 （5 分）已知 ，则 tan 【分析】由已知结合
23、 tantan（ ） ，展开两角差的正切即可【解答】解：由 ，得 tan tan（ ） 故答案为： 【点评】本题考查两角差的正切，是基础的计算题15 （5 分）已知 ，则 x 的值为 9 【分析】进行对数的运算即可【解答】解： ； ；x9第 14 页（共 23 页）故答案为：9【点评】考查对数的运算性质，对数的换底公式，以及对数的定义16 （5 分）在平面凸四边形 ABCD 中，A45，B120，AB ，AD3，CD t （t 为常数） ，若满足上述条件的平面凸四边形 ABCD 有且只有 2 个，则 t 的取值范围是 （ ， ） 【分析】画出图象，计算出点 D 到直线 BC 的距离
24、 DC'和 BD 的长度，当 t 的取值范围是（DC' ，BD） ，满足上述条件的平面凸四边形 ABCD 有且只有 2 个【解答】解：如图所示：D 到直线 BC 的距离 DC'，B 关于 C'的对称点 B'，由A45，AB ，AD3，根据余弦定理定理可得 BD ，设ABD，则 cos ，sin ，故 sinDBCsin（120）sin120coscos120sin ，DCBDsinDBC ，当 C 在线段 BB'（除两端点）上运动时，符合 “平面凸四边形 ABCD 有且只有 2 个” ，故 t 的取值范围是（DC'，BD） ，即（ ， ）
25、故答案为：（ ， ）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于第 15 页（共 23 页）中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在数列a n中，已知 an0，a 11，a n+12 an2a n+1a n0（1）求证：数列a n是等差数列；（2）设数列a n的前 n 和为 Sn，b n ，求数列b n的前 n 和 Tn【分析】 （1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的为等差数列（2）利用（
26、1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】证明：（1）由 ，得（a n+1a n1） （a n+1+an）0，因为 an0，所以 an+1a n1，又因为 a11，所以数列a n是首项为 a11，公差为 1 的等差数列解：（2）由（1）可得， T nb 1+b2+bn 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SBSD（1）证明：BDSA；（2）若面 SBD面 ABCD， SBSD ，BAD 60，AB1，求 B 到平面
27、SAD 的距离第 16 页（共 23 页）【分析】 （1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 SO，推导出 BDSO，BD面 SAC，由此能证明 BDSA （2）推导出 SO 是三棱锥 S ABD 的高，设 B 到平面 SAD 的距离为 h，由VB SADV SABD ，由此能求出 B 到平面 SAD 的距离【解答】 （本小题满分 12 分）证明：（1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 SO（ 1 分）在菱形 ABCD 中，BDAC，O 是 BD 的中点，又因为 SBSD，所以 BDSO，又 ACSOO，所以 BD面 SAC（4 分）又 SA面 SAC，所以 BDSA（5 分）解：（2）因为
28、面 SBD面 ABCD，面 SBD面 ABCD BD，SOBD ，SO面 SBD，所以 SO面 ABCD，即 SO 是三棱锥 SABD 的高（7 分）依题意可得，ABD 是等边三角形，所以 BDAD 1， ，在等腰 RtSBD， ，（9 分）经计算得 ，SA1，等腰三角形 ASD 的面积为 （10 分）设 B 到平面 SAD 的距离为 h，则由 VBSAD V SABD ，得 ，解得 ，所以 B 到平面 SAD 的距离为 （12 分）第 17 页（共 23 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形
29、结合思想，是中档题19 （12 分）已知椭圆 经过点 ，左焦点，直线 l：y 2x+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求OAB 面积的最大值【分析】 （1）根据椭圆的定义求出 a，再根据 b2a 2c 21，即可求出椭圆方程，（2）联立方程组，得 3x2+4mx+2m220，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出OAB 面积取最大值【解答】解：（1）依题意可得解得 c ，右焦点 F2（ ，0） ，2a + + 4，所以 a2，则 b2a 2c 21，所以椭圆 C 的标准方程为 （2）设 A（x 1，y 1
30、） ，B（x 2，y 2） ，由 得 17x2+16mx+4m240，则（16m） 24174（ m21）16m 2+1617由0 得 m217，则 ，第 18 页（共 23 页）所以因为 O 到 AB 的距离 d ，所以 SOAB |AB|d 1当且仅当 17m 2m 2，即 m2 时，得 ，OAB 面积取得最大值 1【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）如图是某市 xcos，ysin 年至 C 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的条形
31、图（1）若从 2011 年到 2015 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于 140 亿元的概率；（2）为了预测该市 2019 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2001 年至 2017 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型： 30.4+13.5t；根据 2011 年至 2017 年的数据（时间变量 t 的值依次为1，2，7）建立模型： 99+17.5 t（i）分别利用这两个模型，求该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值；第 19 页（共 23 页）（ii）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理
32、由【分析】 （1）由题意列出所有可能的基本事件，然后利用古典概型计算公式求解概率值即可；（2） （i）分别利用两个模型预测该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值即可；（ii）利用所得的预测值确定哪一个模型预测值更可靠即可【解答】解：（1）从条形图中可知，2011 年到 2015 年这五年的投资额分别为 122 亿、129 亿、148 亿、171 亿、184 亿，设 2011 年到 2015 年这五年的年份分别用a，b，c，d，e 表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：（a，b） ， （a，c） ，（a，d） ， （a，e） ， （b，c ） ， （b，d） ， （b，e ） ，
33、（c，d） ， （c ，e） ， （d，e）共 10 种，其中满足两年的投资额的平均数不少于 140 亿元的所有基本事件有：（a，d） ， （a，e） ，（b，d） ， （b，e） ， （c ，d） ， （c ，e） ， （d，e）共 7 种，所以从 2011 年到 2015 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140 亿元的概率为 （2） （i）利用模型，该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元） 利用模型 ，该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元） （ii）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：画出 2001 年至 2017 年环境基础设
34、施投资额 y（单位：亿元）的散点图（）从散点图可以看出，2001 年至 2017 年的数据对应的点没有随机散布在直线第 20 页（共 23 页）y30.4+13.5t 上下这说明利用 2001 年至 2017 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2011 年相对 2010 年的环境基础设施投资额有明显增加，2011 年至 2017 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2011 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2011 年至 2017 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2011 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模
35、型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程的选择与应用 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+（a2）xlnx（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围【分析】 （1）对函数 f（x ）求导数，讨论 a 的取值，利用导数判断 f（x）的单调性；（2）由（1）知 f（x ）的单调性，得出
36、a0 时 f（x） min +1+lna，且 x0 +时 f（ x）0，x+ 时 f（x）0；令 f（x） min 0 求得 a 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）ax 2+（a2）xlnx， （aR） ；f（x）2 ax+（a2） （x0） ，（2分）当 a0 时，f（x ）0，则 f（x）在（0，+）内单调递减；（3 分）当 a0 时，则 f（x ）在（0， ）内单调递减，在（ ，+）内单调递增；（5 分）备注：求导正确给 1 分，因式分解正确得 2 分；（2）由（1）知，当 a0 时，f（x ）在（0，+）内单调递减，最多只有一个零点，舍去；（5 分）a0 时，f（x） minf
37、（ ）a +（a2） ln +1+lna；（7 分）第 21 页（共 23 页）当 x0 +时，f（ x）0；当 x+时，f（x）0；当 f（ ）1+lna 0，令 g（a）1+lna ，则 g（a） + ，g（a）0；（10 分）则 g（a）在（0，+）上单调递增；又 g（1）0，解得 a1；当 0a1 时，函数 f（x ）有两个不同的零点（12 分）备注：其他解法也可以酌情相应给分【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了函数零点的判断问题，是难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数
38、方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1 的极坐标方程为，将直线 l1 绕极点 O 逆时针旋转 个单位得到直线 l2（1）求 C 和 l2 的极坐标方程；（2）设直线 l1 和曲线 C 交于 O，A 两点，直线 l2 和曲线 C 交于 O，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函函数的性质的应用求出结果【解答】解：（1）将 C 的参数方程化为普通方程得 ，将xcos，y
39、sin 代入，并化简得 C 的极坐标方程为 l2 的极坐标方程为第 22 页（共 23 页）（2）依题意可得 ，即 ，即 因为 ，所以 ，当 时，|OA|+|OB|取得最大值 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+|2x2|（a R） （1）当 a2 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若 f（x） 2，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质得到关于 a 的不等式，解出即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）2，即|x2|+|2x2|2可得 ，或 或 （3 分）解得 ，所以不等式的解集为 （5 分）（2）f（x） |xa|+|2x2| |xa|+|x 1|+|x1|x a（x1）|+|x 1|a1|+| x1| a1|当且仅当 x1 时，两处等号同时成立，（8 分）所以|a 1|2，解得 a1 或 a3实数 a 的取值范围是（，13 ，+）（ 10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，第 23 页（共 23 页）转化思想，是一道常规题
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