1、第 5 讲 竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。典型问题兴趣篇1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G ”代表“5” ， “A”代表“9” ， “D”代表“0” ， “H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？2. （1）在图 5-2 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2) 在图 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？
2、3. 在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+ 字+ 谜=30，那么“ ”所代表的三位数是多少？4. 图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”代表的四位数是多少？5. 已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么 是多少？ABCDE数字谜北京奥运6. (1) 在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？(2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？7. 如图 5-9，相同的字母表示相同
3、的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？8. 在图 5-10 和图 5-11 中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立 . 9.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？10. 有一个四位数，它乘以 9 后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数. 拓展篇1. 在 图 5-13 和 5-14 中 ， 相 同 的 汉 字 代 表 相 同 的 数 字 ， 不 同 的 汉 字 代 表 不 同 的 数 字 ， 求 出 它 们使 竖 式 成 立 的 值 .2. 如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代
4、表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字 A、B、C 分别是多少？3. 在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且ABCD. 问：竖式中的和是多少？4. 在图 5-17 的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“ ”所代表的七位数是多少？5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是 7826. 小悦原来写的四位数是多少？6. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最
5、小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.7. (1) 一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍，那么原数最小是多少？(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的 4 倍，那么原来的五位数是多少/8. 如图 5-18，每一个英文字母代表 0，1，29 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 A、Q、T、R、 F 分别代表什么数字？9. 图 5-19 中的竖式里， “江” 、 “峡” 、 “美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来.
6、10. 请把如图 5-20 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？携手上海世博会11. 请把图 5-21 中的除法竖式补充完整。12. 在图 5-22 的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.超越篇1. 图 5-23 是一个加法竖式，其中 E、F 、I、N、O 、R、S、T、X、Y 表示 0 至 9 中的不同数字，且 F、S 不等于零，这个算式的结果是多少？2. 澳门的拼音和英语写法为 AOMEN 及 MACAO， 我们规定这些字母表示 1 至 9 中的不同数字，那么图 5-24 中竖式的计算结果最大是多少？3. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙
7、的对联；三强韩赵魏，九章色股弦. “三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这副有趣的对联做下面的题目：(1)在图 5-25 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“三”代表 3， “九”代表 9，请将竖式补充完整. (只需要找出一种解答)(2) 在图 5-26 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代表 345，请将竖式补充完整.4. 在图 5-27 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么所代表的七位数是多少？ABCDEFG勾股弦5.
8、 请把图 5-28 中的除法竖式补充完整 .6. 在图 5-29 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？7. 在图 5-30 的乘法竖式中， “二”代表除以 3 余 2 的数字，即 2、5、8 中的一个；“”代表除以 3 余 1 的数字，即 1、4、7 中的一个；“零”代表除以 3 余 0 的数字，即0、3、6、9 中的一个，请填出这个竖式.8. 在图 5-31 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中 W=0. 请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.第 5 讲 竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学
9、会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。典型问题兴趣篇1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5” ， “A”代表“9” ， “D”代表“0” ， “H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以 C=4，A+E=H 也一定有进位，所以 E=7，现在还剩 1、2、3、8 没有用，所以 B、F 分别是1、2，I=3.2. （1）在图 5-2 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2) 在图
10、 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：（1）观察可得：车=1，卒=0，兵+兵=卒，所以兵=5，马+1=5，所以马=4，炮+炮=马，所以炮=25240+5210=10450（2）观察可得：炮=1，兵兵=马，一定有借位，所以马=9，炮兵=马，所以：兵=2，1221292=9293. 在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果 23+解+数+字+谜=30，那么“ ”所代表的三位数是多少？ 数字谜4. 图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”代表的四
11、位数是多少？分析：观察可得：北=1，北+京+ 奥=0，所以可得要进位，所以；京=8，北+京+ 奥+运=8 ，所以要进 2 位，所以：奥=0 ，运=9北京奥运=18095. 已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么 是多少？ABCDE6. (1) 在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？(2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？分析：（1）= ，所以=1 、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数，所以 1 排除，经分析：=5，=2，=1（2）=1 、5、6 三种
12、可能，排除 1，当=5 时，=4，=2北京奥运当=6 时，=5，=37. 如图 5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：BB=B，所以 B=1、5、6，三种可能，经分析 1 排除，AB=B，所以 B=5，A 为奇数，三位数乘 B 得三位数，所以第一个方格中添 1，一百多乘一位数得四位数，所以 A 只能是 7、9，当A=7 时， C=7，矛盾不成立；当 A=9 时，C=7 ，成立；所以：19595=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图 5-10 和图 5-11 中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立. 分
13、析：（1）除数9=783，所以除数=87,876=522，所以被除数=6003600387=69（2）除数8=232，所以除数=29,295=145，所以被除数=2465246529=859.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？分析：除数7=两位数，除数另一个一位数=三位数，且三位数的十位上是 2，所以除数只能是14,147=98,149=126，所以除数=7910. 有一个四位数，它乘以 9 后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数. 拓展篇1. 在 图 5-13 和 5-14 中 ， 相 同 的 汉 字 代
14、表 相 同 的 数 字 ， 不 同 的 汉 字 代 表 不 同 的 数字 ， 求 出 它 们 使 竖 式 成 立 的 值 .分析：（1）观察得：巧=1、语=5，四个语相加得 20，进 2，所以三个英相加得数的个位是 8，所以英得 6，向前进 2，所以学+学得数个位也是 8，所以学=4 1465（2）观察的奥+林有进 1，所以奥=6，奥+ 林+ 匹进 2，所以林=7，奥+林+匹+克进 3，所以匹=8 ，克=9 67892. 如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字 A、B、C 分别是多少？分析：观察 CA=A，CB=B,所以 CA 没有借位， C
15、B 有借位，BB=B，所以有借位且 B=9，C=8，已知 CA=A，所以 A=44、9、83. 在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且 ABCD. 问：竖式中的和是多少？分析：观察得 A=2，B=3，C=4，D=52233+3344+4455=100324. 在图 5-17 的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“ ”所代表的七位数是多少？分析：观察得，黄金三角：携=1，手=0，上=9，个位数的和肯定要进位，要使进 1 为，则博=7，所以会只能是 2，海=4，假设百位向前进 2 位，办=6，当世=3 时，在=8，成立，10
16、94382 ；假设百位向前进 3 位，办=5，当世=8 时，在=3，成立，1094872；5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是 7826. 小悦原来写的四位数是多少？分析：ABCD+ABC+AB=7826 利用位值原理1000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826当 A=7 时 78267770=56 则 B=0 当 C=5 时 56-55=1 则 D=1即 70516. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字
17、组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.携手上海世博会7. (1) 一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍，那么原数最小是多少？(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的 4 倍，那么原来的五位数是多少/（1）（2）219788. 如图 5-18，每一个英文字母代表 0，1，29 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 A、Q、T、R、F 分别代表什么数字？分析：.Q 为 5 或 6 当 Q=5 时
18、 A=2 T=1 符合题意，当 Q=6 时 AQQ 不等于 TAQAQT=AQ 则 T=1所以 A=2， Q=5，T=1，R=7 ，F=39. 图 5-19 中的竖式里， “江” 、 “峡” 、 “美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来. 分析：先确定“美“是 0,1,5,6 中的一个，通过实验排除 0,1,5，所以美=6通过“美“确定“江“是 2 或 4 或 8 之一，又因为江峡美江= 江，则4 或 8 排除，所以江=2由于江峡美峡= 峡，则峡=810. 请把如图 5-20 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：.6=67 则除数个位是 7，商的十位数字是
19、 1.67=61 则商的个位数字是 3，除数的十位数字是 811. 请把图 5-21 中的除法竖式补充完整。分析：.=7 则商的百位数字是 1，除数的个位数字是 7，十位数字是 7 或 6，经试验可排除 7.67= 则商的十位数字是 0，个位数字是 712. 在图 5-22 的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.分析：M=3，H=8，G=7，T=6，E=2 ，I=1 ，C=4，A=9，P=0超越篇1. 图 5-23 是一个加法竖式，其中E、F、I、N、O、R、S、T、X、Y 表示 0 至 9 中的不同数字，且 F、S 不等于零，这个算式的结果是多少？分析与解 我们先看个位有
20、Y+2N 对应 Y，从而 N 为 0 或 5，再看十位有 T+2E 对应T，从而有 E 为 0 或 5，但是个位没有进位，不然 T+2E+1，T 的奇偶性不同，不可能对应T所以 N 只能为 0，于是 E 为 5千位上一定有进位，所以 O 加上百位的进位的和位 I+10，此时 I 只可能为 1 或 0，而已经确定 N 为 0，所以 I 只能为 1，那么 O 只能为 9，并且百位进 2已确定 E 为 5，十位上进 1，因此对于百位有 R+2T+120+X，余下未确定的字母有F，S，R ，T，X，Y，它们在 2，3，4，6，7，8 中取值，且满足F+1S ，R+2T+120+X由于 R、T 必大于
21、5，所以 F，S 为 2，3，4 中连续的两个数，又知 X 小于 5，所以 X为 2 或 4，验证有 X 为 4，F2，S3，R7，T 8，Y6 时满足题意，对应的竖式如下：68413057922. 澳门的拼音和英语写法为 AOMEN 及 MACAO， 我们规定这些字母表示 1 至 9中的不同数字，那么图 5-24 中竖式的计算结果最大是多少？分析：A=1,C=9,E=6,M=8,N=5,O=73. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦. “三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们
22、来用这副有趣的对联做下面的题目：(1)在图 5-25 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“三”代表 3， “九”代表 9，请将竖式补充完整. (只需要找出一种解答)(2) 在图 5-26 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代表 345，请将竖式补充完整.分析：(1)三=3，强=2，韩=0 ，赵=5，魏=8，九=9，章=6 ，勾=1 ，股=7，弦=44. 在图 5-27 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么 所代表的七位数是多少？ABCDEFG分析：A=3,B=5， C=6，D=2，E=1，F=7
23、，G=95. 请把图 5-28 中的除法竖式补充完整.分析：勾股弦45073137=3296. 在图 5-29 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？分析与解 由竖式中 CCY 或 10+(C1)CY 得 Y0 或 9若 Y0，则由最后一个减式得 L1，G 9，R 8，导致 AR ，矛盾所以 Y9；仍由最后一个减式得 L8，G 0，R1，A 2，从而用 1989U8 得除数中的 I 为4再由 8914248S 得商的首位 C3，并且 S7，即被除数是 891437除法算式为 89143724873581091竖式如下：519068172534167798427. 在图 5-30 的乘法竖式中， “二”代表除以 3 余 2 的数字，即 2、5、8 中的一个；“”代表除以 3 余 1 的数字，即 1、4、7 中的一个；“零”代表除以 3余 0 的数字，即 0、3、6、9 中的一个，请填出这个竖式.分析：25129=72798. 在图 5-31 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中 W=0. 请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.分析：52371+52371+104+485+485=105816
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