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    2019高考数学试题汇编之导数及其应用(解析版)

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    2019高考数学试题汇编之导数及其应用(解析版)

    1、1专题 03 导数及其应用1【2019 年高考全国卷文数】曲线 y=2sinx+cosx 在点(,-1)处的切线方程为A B 10xy210yC D2 【答案】C【解析】 cosin,yx2cosin2,xy则 在点 处的切线方程为 ,即 2sin(1)(1)()yx210xy故选 C【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法,利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错,首先证明已知点是否为切点,若是切点,可以直接利用导数求解;若不是切点,设出切点,再求导,然后列出切线方程2【2019 年高考全国卷文数】已知曲线 在点(1,

    2、ae)处的切线方程为 y=2x+b,则elnxyA Ba=e,b=1e1ab,C D , 1【答案】D【解析】 eln1,xya切线的斜率 , ,|2xk1ea将 代入 ,得 .(1,)2yb,b故选 D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a,b 的等式,从而求解,属于常考题型.3【2019 年高考浙江】已知 ,函数 若函数,abR32,0()1(),0xfax恰有 3 个零点,则()yfxAa0 2Ca1,b1,b0 【答案】C【解析】当 x0 时,y f(x) axbx axb(1 a)xb0,得 x ,=1则 yf(x)axb 最多有一个零点;当 x0 时

    3、,yf(x)ax b x3 (a+1)x 2+axaxb x3 (a+1)x 2b,=13 12 =13 12,2()a当 a+10,即 a1 时,y0,yf (x)ax b 在0 ,+)上单调递增,则 yf(x)axb 最多有一个零点,不合题意;当 a+10,即 a1 时,令 y0 得 x(a+1,+ ) ,此时函数单调递增,令 y0 得 x 0,a+1 ) ,此时函数单调递减,则函数最多有 2 个零点.根据题意,函数 yf(x)axb 恰有 3 个零点函数 yf(x)ax b 在(,0)上有一个零点,在0,+)上有 2 个零点,如图: 0 且 ,1 013(+1)312(+1)(+1)2

    4、0解得 b0,1a 0,b (a+1) 3, 16则 a1,b0,则当 时, ;当 时, 故 在(,),3()0fx,3a()0fx()fx9单调递增,在 单调递减;(,0),3a0,3a若 a=0, 在 单调递增;(fx,)若 a0)令 ,解得: .()0 00A B(,2) (2,+)C D(0,2) (2,+)【答案】A【解析】令 =()(),()=()()2 0()(2)2 ()(2)故 ,即 xC D 【答案】D【解析】依题意,得 , , .3lnla1lneb3l2n8c令 ,所以 .()=ln ()=1ln2所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,() (0,) (,+)所以

    5、,且 ,即 ,()max=()=1= (3)(8) 所以 .故选 D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,构造出函数 是解题的关键,lnxf属于中档题.21 【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考数学】已知 ,若关于 的不等式()=+1 恒成立,则实数 的取值范围是()(1)=0 ()0当 时, ,即 ,1 ()1故选 D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值,不等式恒成立问题,分离参数是常见的方法,属于中档题.22 【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试】若 是函数1x的极值点,则 的值为321()()3fxaxaaA-2 B3C-2 或 3 D-3

    6、 或 2【答案】B【解析】 ,32 2213( 3)(1)fxaxafxxaxa由题意可知 ,即 或 ,()0f 2(1)03当 时, ,3a2 2389()1xaxaxx当 或 时, ,函数单调递增;当 时, ,函数单调递减,1x9()f0f显然 是函数 的极值点;x当 时, ,2a2222() 3(11) (afxxx 所以函数 是 上的单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去.xR故 .3故选 B【名师点睛】本题考查了已知函数的极值,求参数的问题.本题易错的地方是求出 的值,没有通过单a调性来验证 是不是函数的极值点,也就是说使得导函数为零的自变量的值,不一定是极值点.1x23 【黑龙江

    7、省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试】已知奇函数 是定义fx在 上的可导函数,其导函数为 ,当 时,有 ,则不等式Rfx022fxfx的解集为2018+42xfx20A B,2016- 2016,C D,8【答案】A【解析】设 ,2gxf因为 为 上的奇函数,fR所以 ,22xfxf即 为 上的奇函数g对 求导,得 ,x2fgfxx而当 时,有 ,020f故 时, ,即 单调递增,xxx所以 在 上单调递增,gR则不等式 即 ,2018+420xfxf 218+042xfxf即 ,即 ,2gxg所以 ,解得 .0182016x故选 A.【名师点睛】本题考查构造函数

    8、解不等式,利用导数求函数的单调性,函数的奇偶性,题目较综合,有一定的技巧性,属于中档题.24 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】曲线 在点 处的21()lnfxx(1)f,切线与直线 垂直,则 _.10axya【答案】 2【解析】因为 ,所以 ,21()lnfxx()ln1fx21因此,曲线 在点 处的切线斜率为 ,21()lnfxx(1)f, (1)2kf又该切线与直线 垂直,所以 .0ay2a故答案为 .12【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题,熟记导数的几何意义即可求解,属于常考题型.25 【河南省新乡市 2019 届高三下学期第二次模拟考试数学】已

    9、知函数 在 上单调递增,()=e 1,2则 的取值范围是_.【答案】 (,e【解析】由题意知 在 上恒成立,则 ,()=0 1,2 ()令 , ,知 在 上单调递增,()= 1exgx() 1,2则 的最小值为 ,() (1)=故 .故答案为 .(,e【名师点睛】对于恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.26 【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试(6 月)数学】已知函数 若方程2,0()exf恰有两个不同的实数根 ,则 的最大值是_2(

    10、)fxa12,x12x【答案】 3ln【解析】作出函数 的图象如图所示,fx22由 ,可得 , 即 ,2fxa(),1fxaa不妨设 ,则 ,1221e令 ,则 ,()at12,lntxt,12lntx令 ,则 ,()ltgt42()tgt当 时, , 在 上单调递增;18t0tt1,8当 时, , 在 上单调递减,g()当 时, 取得最大值,为 .tt()ln23lg故答案为 .3ln2【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系,考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值,属于难题.求函数 的极值与最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导fx数 ;(3)解方程 求出函数

    11、定义域内的所有根;(4)判断 在 的根fx 0,f fx0f左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减) ,那么 在 处取极大值,如果左负右正(左0 fx0减右增) ,那么 在 处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该点处取得极值也是最值;fx0(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试(一模)数学】已知函数 , .421()fxaxR(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;a()fx2,()f23(2)设函数 ,其中 是自然对数的底数,讨论2()e()xgxafe2.718.的单调性并判断有无极值,有极值时求出

    12、极值()x【答案】 (1) ;610xy(2)当 时, 在 上单调递增,无极值;当 时, 在 和a()g,)0a()gx,)a单调递增,在 单调递减,极大值为 ,极小值为(,),a2e()24ag.2e()4ga【解析】 (1)由题意 ,所以当 时, , ,3(fxa1(2)f()6f因此曲线 在点 处的切线方程是 ,)y2,)6yx即 .60x(2)因为 ,2()e()xgxaf所以 e(2x ,23()()(exax令 ,则 ,ehh令 得 ,()0x1当 时, , 单调递减,,()0x()当 时, , 单调递增,()xh所以当 时, ,1min(1)x也就说,对于 恒有 .R0当 时,

    13、,0a2()(gxahx在 上单调递增,无极值;()x,当 时,令 ,可得 ()0xx当 或 时, , 单调递增,xa2()(0gahx()g24当 时, , 单调递减,ax()0gx()因此,当 时, 取得极大值 ;()2e)(2)4aga当 时, 取得极小值 .xa()gx2)()ea综上所述:当 时, 在 上单调递增,无极值;0(),)当 时, 在 和 上单调递增,在 上单调递减,agx,a(,)(,)a函数既有极大值,又有极小值,极大值为 ,2e()(2)4a极小值为 .2()aga【名师点睛】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题28

    14、 【陕西省 2019 届高三第三次联考数学】已知函数 , , .()=()=2 (1)求函数 的极值点;()(2)若 恒成立,求 的取值范围.()() 【答案】 (1)极大值点为 ,无极小值点.(2) .1 1【解析】 (1) 的定义域为 , ,lnfxa(0,+) ()=1当 时, ,0 ()=10所以 在 上单调递增,无极值点;() (0,+)当 时,解 得 ,解 得 ,0 ()=10 01所以 在 上单调递增,在 上单调递减,() (0,1) (1,+)所以函数 有极大值点,为 ,无极小值点.()1(2)由条件可得 恒成立,ln20(0)25则当 时, 恒成立,0 ln令 ,则 ,()=

    15、ln(0) ()=12ln2令 ,()=12ln(0)则当 时, ,所以 在 上为减函数.0 ()=210 (1,+) ()0所以 在 上单调递增,所以 ,() 1,+) ()=(1)=21所以 .21(2)当 时, .=1 ()=+(0)则 ,()=1(+1)+1=(+1)(1)令 ,()=1则 ,()=120 (1)0 (0)=0 0=10当 时, , ;当 时, , .(0,0) ()0 ()0 (0,+) ()0 1 ()(1)所以当 或 时,直线 与曲线 , 有且只有两个公共点. 2e13e4 =6e3 = ()=23e 2 , 4即当 或 时,函数 在区间 上有两个零点 .2e13e4 =6e3 () 2 , 4【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值) 问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象问题,从而构建不等式求解.29


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