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    2019年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)含解析

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    2019年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)含解析

    1、2019 年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)一、选择题1 (3 分)已知 i 是虚数单位, xR,复数 z(x+i) (2+i)为纯虚数,则 2xi 的模等于(  )A1 B C D22 (3 分)已知 x,y 满足不等式组 ,则 zx+3y 的最小值等于(  )A3 B6 C9 D123 (3 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是(  )A3 B4 C5 D64 (3 分)设 xR,则“1x2”是“| x2|1”的(   )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 (3 分)已知偶函数 f(x )在0 ,

    2、2上递减,试比 af(1) ,bf( ) ,cf(log 2 )大小(    )Aabc Bacb Cbac Dc ab6 (3 分)为了得到函数 y3cos2x 图象,只需把函数 图象上所有点(  第 2 页(共 23 页)A向右平行移动 个单位长度B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度D向左平行移动 个单位长度7 (3 分)已知 F1、F 2 分别是双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点,过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )A (

    3、1, ) B ( ,+) C ( ,2) D (2,+)8 (3 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)2f(x) ,当 x0,2)时,f(x),若当 x4,2)时,不等式 f(x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是(  )A2,3 B1,3 C1 ,4 D2 ,4二、填空题9 (3 分)集合 A0,1,2 ,3 ,Bx|x 22x0 ,则 AB     10 (3 分)若( ) n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64,则展开式中的常数项为     (用数字作答)11 (3 分)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆

    4、柱底面内,且底面是正三角形如果三棱柱的体积为 ,圆柱的底面直径与母线长相等,则圆柱的侧面积为     12 (3 分)某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,第 3 页(共 23 页)工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是       (用数字作答)13 (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知AB 8,AD5, 3 , 2,则 的值是      14 (3 分)若实数 x,y 满足 2cos2(x+y1) ,则 xy 的最小值为 &nbs

    5、p;   三、解答题15在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c, f(x )2sin (xA)cosx+sin(B +C) (xR) ,函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称()当 x( 0, )时,求 f(x)的值域;()若 a7 且 sinB+sinC ,求ABC 的面积16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在50, 100内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定:A、B 、C 三级为合格等级,D 为不合格等级百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A

    6、 B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50,60) ,60,70) ,70,80) ,80 ,90) ,90 ,100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示,样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示(I)求 n 和频率分布直方图中的 x,y 的值;()根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生中任选 3 人,求至少有 1 人成绩是合格等级的概率;()在选取的样本中,从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研,记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数

    7、,求随机变量 的分布列及数学期望第 4 页(共 23 页)17如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB AD,ABCD,AB 2AD2CD2,PC 4,E 为线段 PB 上一点(1)求证:平面 EAC平面 PBC;(2)若二面角 PACE 的余弦值为 ,求 的值18在等差数列a n中,已知公差 d2,a 2 是 a1 与 a4 的等比中项()求数列a n的通项公式;()若数列b n满足: ,求数列b n的通项公式;()令 (nN*) ,求数列c n的前 n 项和 Tn19已知椭圆 C: + 1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角

    8、形的面积为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设 F1,F 2 是椭圆 C 的左右焦点,若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1 和 F2,求这个平行四边形的面积最大值第 5 页(共 23 页)20已知 f(x) mxalnx m,g(x) ,其中 m,a 均为实数,(1)求 g(x)的极值;(2)设 m1,a0,求证对|恒成立;(3)设 a2,若对给定的 x0(0,e,在区间(0,e上总存在 t1,t 2(t 1t 2)使得f(t 1)f(t 2)g(x 0)成立,求 m 的取值范围第 6 页(共 23 页)2019 年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择

    9、题1 (3 分)已知 i 是虚数单位, xR,复数 z(x+i) (2+i)为纯虚数,则 2xi 的模等于(  )A1 B C D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为 0 且虚部不为 0 求得 x,代入2xi,再由复数模的计算公式求解【解答】解:z(x+i) (2+i )(2x1)+(x+2)i 为纯虚数, ,即 x 2xi1i,则 2xi 的模等于 故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题2 (3 分)已知 x,y 满足不等式组 ,则 zx+3y 的最小值等于(  )A3 B6 C9 D12【分析】画出满

    10、足条件的平面区域,将直线变形为 y x+ ,通过图象读出即可【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:,由 zx +3y 得:y x+ ,第 7 页(共 23 页)显然直线过(3,0)时,z 最小,z 的最小值是 3,故选:A【点评】本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,是一道基础题3 (3 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是(  )A3 B4 C5 D6【分析】算法的功能是求满足 P1+3+(2n1)20 的最小 n 值,利用等差数列的前 n 项和公式求得 P,根据 P20,确定最小的 n 值【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求满足 P1+3+(2n1)

    11、20 的最小n 值,P1+3+(2n1) nn 220,n 5,故输出的 n5故选:C【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键4 (3 分)设 xR,则“1x2”是“| x2|1”的(   )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求解:|x 2|1,得出“1x2” ,根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解:|x 2|1,第 8 页(共 23 页)1x3,“1x2”根据充分必要条件的定义可得出:“1x2”是“| x2|1”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易

    12、题5 (3 分)已知偶函数 f(x )在0 ,2上递减,试比 af(1) ,bf( ) ,cf(log 2 )大小(    )Aabc Bacb Cbac Dc ab【分析】由对数的定义,可得 bf(2) ,c f( ) f( ) 再结合函数函数f(x)在0 ,2上递减,即可得到 a、b、c 的大小关系【解答】解: ,f(x)在0 , 2上递减,f( )f(1)f(2)又f(x)是偶函数, f( )f ( ) f(1) ,即 cab故选:D【点评】本题给出偶函数在0,2 上递减,要求我们比较三个函数值的大小,考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识,属于基础题6 (3

    13、 分)为了得到函数 y3cos2x 图象,只需把函数 图象上所有点(  )第 9 页(共 23 页)A向右平行移动 个单位长度B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度D向左平行移动 个单位长度【分析】由题意利用诱导公式,函数 yAsin ( x+)的图象变换规律,得出结论【解答】解:把函数 图象上所有点向左平行移动 个单位长度,可得函数 y3cos2x3sin(2x + )图象,故选:D【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数 yAsin (x+)的图象变换规律,统一这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题7 (3 分)已知 F1、F 2 分别是双曲线 1(a0,b

    14、0)的左、右焦点,过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )A (1, ) B ( ,+) C ( ,2) D (2,+)【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线,与另一条渐近线联立即可得到交点 M 的坐标,再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出【解答】解:双曲线 1 的渐近线方程为 y x,不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y (xc) ,与 y x 联立,可得交点 M( , ) ,点 M 在以线段 F1F2

    15、 为直径的圆外,|OM| | OF2|,即有 c 2,b 23a 2,c 2a 23a 2,即 c2a第 10 页(共 23 页)则 e 2双曲线离心率的取值范围是(2,+) 故选:D【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键8 (3 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)2f(x) ,当 x0,2)时,f(x),若当 x4,2)时,不等式 f(x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是(  )A2,3 B1,3 C1 ,4 D2 ,4【分析】根据条件,只要求出函数 f(x )在 x4,2)上的最小值即

    16、可得到结论【解答】解:当 x0,1)时,f (x)x 2x ,0 ,当 x1,2)时, f(x)(0.5) |x1.5| 1, ,当 x0,2)时, f(x)的最小值为1,又函数 f(x)满足 f(x +2) 2f(x) ,当 x 2,0)时, f(x)的最小值为 ,当 x 4, 2)时,f(x)的最小值为 ,若 x 4, 2时,f(x ) t+ 恒成立, t+ 恒成立即 t24t+30,即(t3) (t1)0,即 1t3,即 t1,3 ,故选:B【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,一元二次不等式的解法,难度较大二、填空题第 11 页(共 23 页)9 (3 分)集合 A0,

    17、1,2 ,3 ,Bx|x 22x0 ,则 AB 0 ,1,2 【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此能求出 AB【解答】解:集合 A0, 1,2,3 ,B x|x22x 0x|0x 2 ,AB0,1,2故答案为:0,1,2【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题10 (3 分)若( ) n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64,则展开式中的常数项为 15 (用数字作答)【分析】由已知求得 n,写出二项展开式的通项,由 x 得指数为 0 求得 r 值,则答案可求【解答】解:由题意,得 2n64,即 n6 ,其通项公式为令 ,得 r2展开式

    18、中的常数项为 故答案为:15【点评】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题11 (3 分)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,且底面是正三角形如果三棱柱的体积为 ,圆柱的底面直径与母线长相等,则圆柱的侧面积为 16 【分析】根据已知条件求出底面半径,同时得到圆柱的母线长,进而得到圆柱的侧面第 12 页(共 23 页)积【解答】解:设圆柱的底面半径为 r,则其高为 2r三棱柱的底面是正三角形,内接于圆,如图:连接 OA,OB ,过 O 作 OD 垂直于 AB,垂足为 D,因为三角形 ABC 为等边三角形,所以OAB30,在直角三角形中,ADOA cos3

    19、0 ,AB r,三棱柱的体积为 12 解得 r2,所以圆柱的侧面积为:2r 2r2 2416故填:16【点评】本题考察圆柱侧面积的简单计算,属于基础题12 (3 分)某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是 12 (用数字作答)【分析】安排甲工程放在第一位置时,乙丙与剩下的两个工程共有 种方法,同理甲在第二位置共有 22 种方法,甲在第三位置时,共有 2 种方法利用加法原理即可得出【解答】解:安排甲工程放在第一位置时,乙丙与剩下的两个工程共有 种方法,同理甲在第二位置共有 22 种方法,甲

    20、在第三位置时,共有 2 种方法由加法原理可得: +4+212 种故答案为:12【点评】本题考查了排列与乘法原理,优先安排除了甲乙丙 3 个工程后剩下的 2 个工程的方案是解题的关键,属于中档题13 (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知AB 8,AD5, 3 , 2,则 的值是  22 第 13 页(共 23 页)【分析】由 3 ,可得 + , ,进而由 AB8,AD5,3 , 2,构造方程,进而可得答案【解答】解: 3 , + , ,又AB8,AD5, ( + )( )| |2 | |225 122,故 22,故答案为:22【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平

    21、面向量数量积的运算,其中根据已知得到 + , ,是解答的关键14 (3 分)若实数 x,y 满足 2cos2(x+y1) ,则 xy 的最小值为    【分析】配方可得 2cos2(x+y1) (x y+1)+ ,由基本不等式可得(x+y +1)+ 2,或(xy+1)+ 2,进而可得cos(x+y1)1,xy ,由此可得 xy 的表达式,取 k0 可得最值【解答】解: ,2cos 2(x+ y1)2cos 2(x+ y1) ,第 14 页(共 23 页)故 2cos2(x+ y1) (xy+1)+ ,由基本不等式可得(xy +1)+ 2,或(xy +1)+ 2,2cos 2

    22、(x+ y1)2,由三角函数的有界性可得 2cos2(x+y1)2,故 cos2(x+ y1)1,即 cos(x+y1)1,此时 xy+11,即 xyx+y1k,kZ,故 x+y2x k+1,解得 x ,故 xyxx ,当 k0 时,xy 的最小值 ,故答案为:【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,余弦函数的单调性,得出cos(x+y1)1 是解决问题的关键,属中档题三、解答题15在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c, f(x )2sin (xA)cosx+sin(B +C) (xR) ,函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称()当 x( 0, )时,求 f(x

    23、)的值域;()若 a7 且 sinB+sinC ,求ABC 的面积【分析】 ()运用两角差的正弦公式和诱导公式,结合二倍角公式,化简 f(x) ,再由对称性,计算可得 A,再由 x 的范围,结合正弦函数的图象和性质,即可得到值域;()运用正弦定理和余弦定理,可得 bc40,再由面积公式即可计算得到【解答】解:()f(x )2sin(xA)cosx+sin (B+ C)2(sinxcos A cosxsinA)cosx +sinA2sinx cosxcosA2cos 2xsinA+sinAsin2x cosAcos2xsinAsin(2xA) ,由于函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称,则

    24、f( )0,即有 sin( A)0,由 0A ,则 A ,则 f(x)sin(2x ) ,由于 x(0, ) ,则 2x ( , ) ,第 15 页(共 23 页)即有 sin(2x )1则值域为( ,1;()由正弦定理可得 ,则 sinB b,sinC c,sinB+sinC (b+c) ,即 b+c13,由余弦定理可得 a2b 2+c22bccosA,即 49b 2+c2bc (b+ c) 23bc ,即有 bc40,则ABC 的面积为 S bcsinA 40 10 【点评】本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用,考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用,考查正弦函数的图象和性质

    25、,考查运算能力,属于中档题16某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在50, 100内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定:A、B 、C 三级为合格等级,D 为不合格等级百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50,60) ,60,70) ,70,80) ,80 ,90) ,90 ,100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示,样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示(

    26、I)求 n 和频率分布直方图中的 x,y 的值;()根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生中任选 3 人,求至少有 1 人成绩是合格等级的概率;()在选取的样本中,从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研,记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数,求随机变量 的分布列及数学期望第 16 页(共 23 页)【分析】 (I)结合图形求出 n 的值,即可求出频率分布直方图中的 x,y 的值;()找出成绩是合格等级人数,进而求出抽取 50 人成绩合格等级的频率,即可求出该校高一学生中任选 3 人,求至少有 1 人成绩是合格等级的概

    27、率;()找出 C 等级学生人数, A 等级学生人数,确定出 的取值,进而求出 P()的值,确定出 的分布,以及 E 的值【解答】解:(I)由题意得:样本容量n 50,x 0.004,y 0.018;()成绩是合格等级人数为(10.1)5045 人,抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 ,设该校高一学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是合格等级的事件为 A,则 P(A)1 (1 ) 2 ;()由题意得:C 等级的学生人数为 0.18509 人,A 等级的人数为 3 人,故 的取值为 0,1,2,3,P(0) ,P(1) ,P(2) ,P(3) , 的分布为 第 17 页(共 23 页) &

    28、nbsp;0  1 2 3 P     则 E0 +1 +2 +3 【点评】此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率,以及频率分布直方图,弄清图形的数据是解本题的关键17如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB AD,ABCD,AB 2AD2CD2,PC 4,E 为线段 PB 上一点(1)求证:平面 EAC平面 PBC;(2)若二面角 PACE 的余弦值为 ,求 的值【分析】 (1)推导出 ACPC,ACBC,从而 AC平面 PBC,由此能证明平面 EAC平面 PBC(2)以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为

    29、 y 轴,CP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果【解答】证明:(1)在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,ABAD ,ABCD,AB2AD2CD,PC 4,E 为线段 PB 上一点ACPC,ACBC ,AC 2+BC2AB 2,ACBC,PCBCC,AC平面 PBC,AC平面 EAC,平面 EAC平面 PBC解:(2)以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为 y 轴,CP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0, ,0) ,B( ,0,0) ,P(0,0,4) ,第 18 页(共 23 页)设 E(a,b,c ) , , (01)

    30、,则(a ,b,c)( ,0,4) ,E( ,0,4) ,平面 PAC 的法向量 (1,0,0) ,设平面 ACE 的法向量 (x,y,z) ,(0, ,0) , ( ,0,4) ,则 ,取 z1,得 ( ,0,1) ,二面角 PACE 的余弦值为 ,|cos | ,由 01,解得 的值为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足二面角的两线段的比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题18在等差数列a n中,已知公差 d2,a 2 是 a1 与 a4 的等比中项()求数列a n的通项公式;()若数列b n满足: ,求数列b n的

    31、通项公式;()令 (nN*) ,求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 ()运用等差数列a n的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项,可得所求通项公式;第 19 页(共 23 页)()令 n1 可得数列 b1,n2 时,将 n 换为 n1,作差可得所求通项公式;()求得 n(3 n+1) ,运用数列的分组求和和错位相减法,结合等差数列和等比数列的求和公式,即可得到所求和【解答】解:()等差数列a n的公差 d2,a 2 是 a1 与 a4 的等比中项,可得 a22a 1a4,即(a 1+2) 2a 1(a 1+6) ,解得 a12,则 ana 1+(n1)d2+2 (n1)2n;()数

    32、列b n满足: ,可得 a1 ,即 b18;n2 时,a n1 + + ,与 ,相减可得 2 ,即有 bn2(3 n+1) ,上式对 n1 也成立,可得 bn2(3 n+1) ,nN*;() n(3 n+1) ,则前 n 项和 Tn(13+2 32+n3n)+(1+2+n) ,设 Sn13+23 2+n3n,3 Sn13 2+233+n3n+1,相减可得2S n3+3 2+3nn3 n+1 n3 n+1,化简可得 Sn ,则 Tn + n(n+1 ) 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:分组求和和错位相减法,考查化简整理的运算能力,属于中档题19已

    33、知椭圆 C: + 1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,第 20 页(共 23 页)且该三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设 F1,F 2 是椭圆 C 的左右焦点,若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1 和 F2,求这个平行四边形的面积最大值【分析】 (1)由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程(2)设过椭圆右焦点 F2 的直线 l:xty+1 与椭圆交于 A,B 两点,由 ,得:(3t 2+4) y2+6ty90,由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性,能

    34、求出平行四边形面积的最大值【解答】20 (本小题满分 12 分)解:(1)椭圆 C: + 1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为 ,依题意 ,解得 a2,b ,c1,椭圆 C 的方程为: (5 分)(2)设过椭圆右焦点 F2 的直线 l:xty+1 与椭圆交于 A,B 两点,则 ,整理,得:(3t 2+4)y 2+6ty90,由韦达定理,得: , ,|y 1y 2| ,第 21 页(共 23 页) ,椭圆 C 的内接平行四边形面积为 S4S OAB ,令 m 1,则 Sf(m ) ,注意到 Sf(m)在1,+)上单调递减,S maxf(1)6,当且仅当 m1,即

    35、 t0 时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为 6(12 分)【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查平行四边形的面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性的合理运用20已知 f(x) mxalnx m,g(x) ,其中 m,a 均为实数,(1)求 g(x)的极值;(2)设 m1,a0,求证对|恒成立;(3)设 a2,若对给定的 x0(0,e,在区间(0,e上总存在 t1,t 2(t 1t 2)使得f(t 1)f(t 2)g(x 0)成立,求 m 的取值范围【分析】 (1)求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,然后求解

    36、极值(2)通过 m1,a0,化简 f(x)x1,利用函数的单调性,转化原不等式转化,构造函数 ,利用新函数的导数的单调性,证不等式成立(3)由(1)得 g(x)的最大值,求出函数 f(x)的导数,判断 m0,不满足题意;当 m0 时,要t 1,t 2 使得 f(t 1)f (t 2) ,f (x)的极值点必在区间(0,e )内,求出m 的范围,当 ,利用 g(x)在(0,e)上的值域包含于 f(x)在上的值域,推出关系式,通过构造函数 w(x)2e xx,通过导数第 22 页(共 23 页)求解函数的最值,然后推出 【解答】解:(1) , ,(,1), (1,+),g(x)极大值 g(1)1,

    37、无极小值;(4 分)(2)m1,a0,f(x)x1,在3,4上 是增函数 ,在3,4 上是增函数设 3x 1x 24,则原不等式转化为即 (6 分)令 ,即证x 1x 2,h(x 2)h(x 1) ,即 h(x )在3 ,4h(x)1e x0 在3 ,4 恒成立即 h(x )在3 ,4,即所证不等式成立(9 分)(3)由(1)得 g(x)在(0,1)(1,e),g(x ) maxg(1)1所以,g(x) (0,1又 不符合题意当 m0 时,要t 1,t 2 使得 f(t 1)f (t 2) ,那么由题意知 f(x )的极值点必在区间(0,e)内,即得 ,且函数 f(x )在由题意得 g(x)在(0,e )上的值域包含于 f(x)在 上的值域, 内, ,下面证 时,f(t)1,取 te m ,先证 令 w(x )2e xx, 内恒成立,w(x), ,2e mm 0,第 23 页(共 23 页)再证 f(e m ) 1, , (14 分)【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的极值以及函数的单调性的判断与应用,新函数以及构造法的应用,考查综合分析问题解决问题的能力


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