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    2019年天津市河北区高考数学二模试卷(文科)含解析

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    2019年天津市河北区高考数学二模试卷(文科)含解析

    1、2019 年天津市河北区高考数学二模试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 A0,1, 2,3,4,5,6 ,Bx|x 2n,nA,则 AB(  )A0 ,2,4 B2 ,4,6C0,2,4,6 D0 ,2, 4,6,8,10,122 (5 分)若复数 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为(  )A1 B C0 D13 (5 分)命题 p:“x (,0) ,3 x4 x”的否定 p 为(  )Ax( ,0) ,3 x4 xBx(,0) ,3 x4 xCD4 (5 分)已知 ,则 a,b,c 的大

    2、小关系为(  )Aabc Bbac Ccab Dac b5 (5 分)已知双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为(  )A BC D6 (5 分)已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形,且 AB平面BCD,AB BDCD 2,若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为(  )A3 B2 C D127 (5 分)已知函数 ,xR,给出下列四个命题:函数 f(x)的最小正周期为 2;第 2 页(共 21 页)函数 f(x)的最大值为 1;函数

    3、f(x)在 上单调递增;将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到的函数解析式为 g(x)sin2x其中正确命题的个数是(  )A1 B2 C3 D48 (5 分)已知函数 f(x )e xa|x| 有三个零点,则实数 a 的取值范围为(  )A (,0) B (0,1) C (0,e) D (e ,+ )二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9 (5 分)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社

    4、区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 的值为      10 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为     11 (5 分)若实数 x,y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为     12 (5 分)已知直线 i 的方程为 xy+10,圆 C 的方程为 x2+y2+2y30,则直线被圆所截得的弦长为     13 (5 分)已知首项与公比相等的等比数列a n中,若 m,nN *,满足 ,则第 3 页(共 21 页)的最小值为 &n

    5、bsp;   14 (5 分)在正方形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,CD 的中点,若 ,则实数 +的值为     三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15 (13 分)一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球,这 4 个球除号码外完全相同,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为 X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 Y(1)列出所有可能结果(2)求事件 A“取出球的号码之和小于 4”的概率(3)求事件 B“编号 XY”的概率16 (13 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边

    6、分别为 a,b,c,满足()求角 A 的值;()若 a3,b2 ,求 sin(2B+A)的值17 (13 分)如图,四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形,AA 1底面ABCD, BAD120,AB 2,E,F 分别为 CD,AA 1 的中点()求证:DF平面 B1AE;()求证:平面 B1AE平面 A1B1BA;()若 A1A2,求异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值18 (13 分)已知数列a n满足 a12, ,设 bn()求 b1,b 2,b 3 的值;第 4 页(共 21 页)()证明数列b n是等差数到;()设 ,求数列c n的前 n 项和 Tn(n N*) 19

    7、(14 分)已知椭圆 过点 P(2,1) ()求椭圆 C 的方程,并求其离心率;()过点 P 作 x 轴的垂线 l,设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上(点 A 不在直线l 上) ,点 A 关于 l 的对称点为 A',直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点,判断直线AB 与直线 OP 的位置关系,并说明理由20 (14 分)已知函数 f(x )x 33ax+e,g(x)1lnx,其中 e 为自然对数的底数()当 时,求曲线 yf (x)在点(1,f(1) )处的切线方程;()求函数 f(x )的单调区间;()用 maxm,n表示 m,n 中的较大者,记函数 h

    8、(x )maxf(x) ,g(x)(x0) 若函数 h(x )在(0,+)内恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围第 5 页(共 21 页)2019 年天津市河北区高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 A0,1, 2,3,4,5,6 ,Bx|x 2n,nA,则 AB(  )A0 ,2,4 B2 ,4,6C0,2,4,6 D0 ,2, 4,6,8,10,12【分析】先求出集合 A,B,由此能求出 AB【解答】解:集合 A0, 1,2,3,4,5,6 ,B x|x2n,nA0,2,4,6,8,10

    9、,12,AB0,2,4,6故选:C【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是基础题2 (5 分)若复数 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为(  )A1 B C0 D1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解: 为纯虚数, ,即 a1故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3 (5 分)命题 p:“x (,0) ,3 x4 x”的否定 p 为(  )Ax( ,0) ,3 x4 xBx(,0) ,3 x4 xCD【分析】根据全称命题的

    10、否定是特称命题进行判断【解答】解:命题是全称命题,则p: ,第 6 页(共 21 页)故选:C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础4 (5 分)已知 ,则 a,b,c 的大小关系为(  )Aabc Bbac Ccab Dac b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解: ,0a( ) ( ) 01,blog 23log 49clog 47 log441,a,b,c 的大小关系为 acb故选:D【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力

    11、,考查函数与方程思想,是基础题5 (5 分)已知双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为(  )A BC D【分析】根据题意,点(3,4)到原点的距离等于半焦距,可得 a2+b225由点(3,4)在双曲线的渐近线上,得到 ,两式联解得出 a3 且 b4,即可得到所求双曲线的方程【解答】解:点(3,4)在以|F 1F2|为直径的圆上,c5,可得 a2+b225又点(3,4)在双曲线的渐近线 y x 上,第 7 页(共 21 页) ,联解,得 a3 且 b4,可得双曲线的方程 1故选:C【点

    12、评】本题给出双曲线满足的条件,求双曲线的方程,考查了双曲线的标准方程与简单几何性质,主要是渐近线方程的运用,属于中档题6 (5 分)已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形,且 AB平面BCD,AB BDCD 2,若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为(  )A3 B2 C D12【分析】将四个面都为直角三角形的四面体放到长方体中,根据 ABBDCD2,求解长方体对角线,可得球 O 的半径,从而求解球 O 的表面积【解答】解:由题意,四面体有四个面都为直角三角形,四面体放到长方体中,AB平面 BCD,ABBD CD 2,可得长方体的对角线为 球 O 的半径

    13、 R 球 O 的表面积 S4R 212故选:D【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法,考查分割补形法,是中档题7 (5 分)已知函数 ,xR,给出下列四个命题:函数 f(x)的最小正周期为 2;函数 f(x)的最大值为 1;第 8 页(共 21 页)函数 f(x)在 上单调递增;将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到的函数解析式为 g(x)sin2x其中正确命题的个数是(  )A1 B2 C3 D4【分析】化函数 f(x )为正弦型函数,再求它的最小正周期、最值,判断函数的单调性与单调区间,以及结合函数图象平移法则,判断命题真假性即可【解答】解:函数 sin(2x

    14、) ,对于 ,函数 f(x )的最小正周期为 T ,错误;对于 ,2x +2k,k Z 时,函数 f(x)取得最大值为 1,正确;对于 ,x , 时, 2x , ,函数 f(x)在 上先递减后递增, 错误;对于 ,将函数 f(x )的图象向左平移 个单位长度,得 yf(x+ )sin2(x+ ) sin2 x,即得到 g(x)sin2x 的图象,正确;综上,其中正确命题的序号是,共 2 个故选:B【点评】本题考查了三角函数的化简与平移应用问题,也考查了函数的图象与性质的应用问题,是中档题8 (5 分)已知函数 f(x )e xa|x| 有三个零点,则实数 a 的取值范围为(  )A

    15、(,0) B (0,1) C (0,e) D (e ,+ )【分析】根据题意,分析可得 x0 时,函数 f(x)e xa|x| 有一个零点,则当 x0 时,函数 f(x)e xa|x|有 2 个零点;当 x0 时,函数 f(x)e xa|x|e xax,对其求导分析可得在(0,lna)上, f(x)0,函数 f(x)为减函数,在( lna,+)上,f(x)0,函数 f(x )为增函数,即可得其最小值,分析可得必有 f(x )minaalna0,解可得 a 的取值范围,综合可得答案【解答】解:函数 f(x )e xa|x| 有三个零点,则函数 ye x 与 ya|x|有 3 个不同的交点,第 9

    16、 页(共 21 页)则必有 a0,图象如图:当 x0 时,函数 ye x 与 ya |x|有 1 个交点,即 x0 时,函数 f(x)e x a|x|有一个零点,若函数函数 f(x )e xa|x|有三个零点,则当 x0 时,函数 f(x)e xa|x|e xax有 2 个零点;当 x0 时,f( x)e xa| x|e xax,其导数 f(x )e xa,令 f(x)e xa0 可得,xlna ,分析可得:在(0,lna)上, f(x)0,函数 f(x)为减函数,在(lna,+)上, f(x)0,函数 f(x)为增函数,当 xlna 时, f(x )e xax 有最小值,即 f(x) min

    17、f ( lna)aalna,若(0,+)上,函数 f(x )e xa| x|e xax 有 2 个零点,必有 f(x)minaalna0,解可得 a e,综合可得:a 的取值范围为(e,+) ;故选:D【点评】本题考查函数的零点判定定理,涉及函数的图象,关键是分析函数 ye x 与ya|x |的交点情况二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9 (5 分)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,

    18、21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 的值为  808 第 10 页(共 21 页)【分析】抽样比为 ,而样本容量为 12+21+25+43101,所以 ,可得N,【解答】解:依题意,抽样比为 ,又因为样本容量 n12+21+25+43101,所以 ,解得 N 808故填:808【点评】本题考查了分层抽样,解决分层抽样时要注意分层抽样是等比例抽样,各层的抽样比相同本题属于基础题10 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 4 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解:S0,S50 是,S 36,i2,S36,S50 是,S36+ 36+12

    19、48,i3,S48,S50 是,S48+ 48+654,i4,S54,S50 否,输出 i4,故答案为:4【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件进行模拟运算是解决本题的关键第 11 页(共 21 页)11 (5 分)若实数 x,y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为 6 【分析】作出不等式组对于的平面区域,利用数形结合即可得到结论【解答】解:作出实数 x,y 满足条件 对于的平面区域如图:由 z2x+2y,则 yx + z,平移直线 yx + z,由图象可知当直线 yx + z,经过点 A 时,直线 yx + z 的截距最小,此时 z 最小,无最大值由 ,解得 A(3,0)

    20、,此时 zmin23+2 06,故答案为:6【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键12 (5 分)已知直线 i 的方程为 xy+10,圆 C 的方程为 x2+y2+2y30,则直线被圆所截得的弦长为 2   【分析】求出圆 C 的半径和圆心到直线的距离,利用垂径定理求出弦长;【解答】解:将圆 C 化为标准方程得 x2+(y +1) 24圆 C 的圆心为(0,1) ,半径 r2直线 i 的方程为 xy+10,第 12 页(共 21 页)圆心到直线 xy +10 的距离 d 直线被圆所截得的弦长为 2 2 故答案为:2 【点评】本题考查了直

    21、线与圆的位置关系,圆的性质得应用,属于基础题13 (5 分)已知首项与公比相等的等比数列a n中,若 m,nN *,满足 ,则的最小值为 1 【分析】首项与公比 q 相等的等比数列a n,运用等比数列的通项公式可得 m+2n8,由基本不等式和“1”的代换,化简整理,可得所求最小值【解答】解:首项与公比 q 相等的等比数列a n,即为 qmq2n q8,即为 m+2n8,则 (m+2n) ( ) (4+ + ) (4+2 )1当且仅当 m4,n2,取得最小值 1故答案为:1【点评】本题考查等比数列的通项公式和基本不等式的运用,注意“1”的代换,以及等号成立的条件,考查运算能力,属于中档题14 (

    22、5 分)在正方形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,CD 的中点,若 ,则实数 +的值为    【分析】以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立坐标系,列关于 , 的二元一次方程组即可得到 , 的值【解答】解:如图,以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立坐标系,则 A(0,0) ,M(1, ) ,N( ,1) ,C(1,1) ,所以 (1,1) , (1, ) , ( ,1) ,第 13 页(共 21 页),即(1,1) + ,所以 ,解得,所以 ,故填: 【点评】本题考查了向量的分解,可以转化为向量的

    23、坐标运算来处理本题属于基础题三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15 (13 分)一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球,这 4 个球除号码外完全相同,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为 X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 Y(1)列出所有可能结果(2)求事件 A“取出球的号码之和小于 4”的概率(3)求事件 B“编号 XY”的概率【分析】 (1)用列举法求得所有可能的结果共有 16 个(2)用列举法求得事件“取出球的号码之和小于 4”包含的结果有 3 个,由此求得“取出球的号码之和小于 4”的概率(3)用列

    24、举法求得事件 B“编号 XY”包含的结果有 6 个,由此求得事件 B“编号 XY ”的概率【解答】解:(1)所有可能的结果共有(1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,1) 、(2,2) 、 (2,3) 、 (2,4) 、第 14 页(共 21 页)(3,1) 、 (3,2) 、 (3,3) 、 (3,4) 、 (4,1) 、 (4,2) 、 (4,3) 、 (4,4) ,共计 16 个(2)事件“取出球的号码之和小于 4”包含的结果有(1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) ,共计3 个,故“取出球的号码之和小于 4”的概率为 (3)事件 B“编号 XY”包含的

    25、结果有 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,3) 、(2,4) 、 (3,4) ,共计 6 个,故事件 B“编号 XY”的概率为 【点评】本题考主要查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题16 (13 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足()求角 A 的值;()若 a3,b2 ,求 sin(2B+A)的值【分析】 ()由正弦定理化简已知可得 b2+c2a 2bc,由余弦定理 cosA 的值,结合范围 0A,可求 A 的值()由正弦定理可求 sinB,利用同角三角函数基

    26、本关系式可求 cosB 的值,根据二倍角公式可求 sin2B,cos2B 的值,利用两角和的正弦函数公式即可求解【解答】 (本小题满分 13 分)解:() ,由正弦定理得, (2 分)化简得,b 2+c2a 2bc (3 分)由余弦定理得, (5 分)又 0A, (6 分)()由()知, ,又 a3, ,第 15 页(共 21 页)sinB (8 分)又 ba,cosB (9 分)sin2B2sinBcosB ,(10 分)cos2B12sin 2B ,(11 分)sin(2B+A )sin(2B+ )sin2Bcos +cos2Bsin (13 分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,

    27、同角三角函数基本关系式,二倍角公式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题17 (13 分)如图,四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形,AA 1底面ABCD, BAD120,AB 2,E,F 分别为 CD,AA 1 的中点()求证:DF平面 B1AE;()求证:平面 B1AE平面 A1B1BA;()若 A1A2,求异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值【分析】 (I)取 AB1 的中点 G,连接 FG,EG,通过证明四边形 FGED 是平行四边形可得 DFEG ,故 DF平面 B1AE;(II)证明 AEAB,AE AA 1 得出 AE

    28、平面 ABB1A1,故而可得平面 B1AE平面A1B1BA;(III)计算 B 1EG 的边长,利用余弦定理求出 cosB 1EG 即可【解答】证明:()取 AB1 的中点 G,连接 FG,EG,F,G 分别是 AA1,AB 1 的中点,第 16 页(共 21 页)GFA 1B1,GF A1B1,又 DEA 1B1,DE A1B1,FGDE ,FGDE四边形 DEGF 是平行四边形DFEG 又 DF平面 B1AE,EG平面 B1AE,DF平面 B1AE解:()在菱形 ABCD 中,BAD120,ADC60ACD 是等边三角形AECD又 CDAB,AEAB,AA 1平面 ABCD,AE平面 AB

    29、CD,AA 1AE又 ABAA 1A,AE平面 A1B1BA,又 AE平面 B1AE,平面 B1AE 平面 A1B1BA()由()知,DFEG,则B 1EG(或其补角)是异面直线 B1E 与 DF 所成的角ABBB 1AA 12,AB 12 ,故 B1G ,AF1,AD 2,DF ,又 AE ,BE ,B 1E ,在B 1EG 中, 异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值为 第 17 页(共 21 页)【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定,考查异面直线多成交的计算,属于中档题18 (13 分)已知数列a n满足 a12, ,设 bn()求 b1,b 2,b 3 的值;()证明数列b

    30、n是等差数到;()设 ,求数列c n的前 n 项和 Tn(n N*) 【分析】 ()将 n1 代入得 a29将 n2 代入得 a320,由此能求出 b1,b 2,b 3的值()将(n+2)a n(n+1 )a n+12(n 2+3n+2) ,两边同时除以(n+1) (n+2) ,得由此能证明数列b n是以 1 为首项,2 为公差的等差数列()由 bn1+2(n1)2n1得 设,利用错位相减法求出 Pn6+(2n3)2n+1,由此能求出 Tn【解答】 (本小题满分 13 分)解:()将 n1 代入得 3a12a 212,又 a12,a 29将 n2 代入得 4a23a 324,a 320从而 b

    31、11,b 23,b 35 (3 分)证明:()由已知,将(n+2)a n(n+1)a n+12(n 2+3n+2) ,两边同时除以(n+1) (n+2 ) ,得 (4 分)第 18 页(共 21 页) ,即 bn+1b n2 (5 分)数列b n是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 (6 分)解:()由()可得 bn1+2(n1)2n1 , (7 分)设 ,两式相减得, (9 分)2+2 (2n1)2 n+1(10 分)6(2n3)2 n+1,化简得 Pn6+(2n3)2 n+1(11 分)设 Sn1+3+5+(2n1) n 2(12 分)T n6+(2n3)2 n+1+n2(13 分)【点

    32、评】本题考查数列的前 3 项的求法,考查等差数列的证明,考查数列的前 n 项和的求法,考查等差数列、错位相减法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题19 (14 分)已知椭圆 过点 P(2,1) ()求椭圆 C 的方程,并求其离心率;()过点 P 作 x 轴的垂线 l,设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上(点 A 不在直线l 上) ,点 A 关于 l 的对称点为 A',直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点,判断直线AB 与直线 OP 的位置关系,并说明理由【分析】 ()将点 P 代入椭圆方程,求出 a,结合离心率公式即可求得椭圆的离心率;()设直线 PA:y

    33、 1k ( x2) ,PB:y1k (x2) ,设点 A 的坐标为(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,分别求出 x1x 2,y 1y 2,根据斜率公式,以及两直线的位置关系与斜率的关系第 19 页(共 21 页)【解答】解:()由椭圆方程椭圆  过点 P(2,1) ,可得 a28所以 c2a 22826,所以椭圆 C 的方程为 + 1,离心率 e ,()直线 AB 与直线 OP 平行证明如下:设直线 PA:y1k (x2) ,PB:y1k (x2) ,设点 A 的坐标为(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) ,由 得(4k 2+1)x 2+8k(12k )x+16k

    34、216k40,2x 1 ,x 1同理 x2 ,所以 x1x 2 ,由 y1kx 12k+1 ,y 2kx 1+2k+1有 y1y 2k( x1+x2)4k ,因为 A 在第四象限,所以 k0,且 A 不在直线 OP 上k AB ,又 kOP ,故 kABk OP,所以直线 AB 与直线 OP 平行【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,训练了斜率和直线平行的关系,是中档题20 (14 分)已知函数 f(x )x 33ax+e,g(x)1lnx,其中 e 为自然对数的底数第 20 页(共 21 页)()当 时,求曲线 yf (x)在点(1,f(1) )处的切线方程;()求

    35、函数 f(x )的单调区间;()用 maxm,n表示 m,n 中的较大者,记函数 h(x )maxf(x) ,g(x)(x0) 若函数 h(x )在(0,+)内恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围【分析】 (I)根据导数求出切线斜率,根据点斜式方程得出切线方程;(II)讨论 a 的范围,令 f(x)0 得出增区间,令 f(x)0 得出减区间;(III)通过讨论 a 的范围求出函数 f(x)的单调区间,结合函数的单调性以及函数的零点个数确定 a 的范围即可【解答】解:()当 a 时,f(x )x 3x+e,f'(x)3x 21f(1)e, f(1)2,曲线 yf(x)在点(1,f(1

    36、) )处的切线方程为 ye2(x1) ,即2xy2+e0()f'(x )3x 23a(1)当 a0 时,f'(x )0,函数在(,+)内单调递增(2)当 a0 时,令 f(x )0,解得 x 或 x 由 f(x)0 ,解得 x 或 ,由 f(x)0 ,解得 ,函数 f(x)的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为()函数 g(x)的定义域为(0,+) , 函数 g(x)在(0,+)内单调递减(1)当 x(0 ,e)时,g(x)g(e)0,依题意,h(x)g(x)0,不满足条件;(2)当 xe 时,g(e )0 ,f(e)e 33ae+e,若 f( e)e 33ae+ e0,即 a

    37、 ,则 e 是 h(x)的一个零点;第 21 页(共 21 页)若 f( e)e 33ae+ e0,即 a ,则 e 不是 h(x)的零点;(3)当 x(e,+)时,g(x)0,所以此时只需考虑函数 f(x)在(e,+)上零点的情况f'(x)3x 23a3e 23a,当 a e2 时,f'(x )0,f(x)在(e,+)上单调递增又 f(e)e 33ae+e ,(i)当 a 时,f(e)0,f (x)在(e,+)上无零点;(ii)当 ae 2 时,f (e)0,又 f(2e)8e 36ae+e 8e 36e 3+e0,所以此时 f(x)在( e,+)上恰有一个零点;当 a e2 时,令 f'(x )0,得 x 由 f'(x)0,得 ex ;由 f'(x)0,得 x ;所以 f(x)在( e, )上单调递减,在( ,+)上单调递增因为 f(e)e 33ae+e e 33e 3+e0,f(2a)8a 36a 2+e8a 26a 2+e2a 2+e0,所以此时 f(x)在( e,+)上恰有一个零点;综上,a ,故实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题


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