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    2019年天津市南开区高考数学二模试卷(文科)含解析

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    2019年天津市南开区高考数学二模试卷(文科)含解析

    1、2019 年天津市南开区高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设全集为 R,若集合 Ax|(x +2) (x 3)0 ,集合 Bx|x1,则( RA)B(  )A3,+ ) B (1,3 C (1,3) D (2,+)2 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2x+4y 的最小值是(  )A6 B10 C5 D103 (5 分)如图是一个算法流程图,若输入 n 的值是 13,输出 S 的值是 46,则 a 的取值范围是(  )A9a10 B

    2、9a10 C10a11 D8a94 (5 分)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异” ,意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积横向等,则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体,p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒相等根据祖暅原理可知,p 是 q 的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 (5 分)已知 a ,blog 2 ,c ,则(  )Aabc Bacb Ccab Dc ba6 (5 分)设 f(x )sin3x cos3x,把 yf (x)的图象向左平移 (0)个单位长度第 2 页(共 21 页)后,恰

    3、好得到函数 g(x)sin3 x+cos3x 的图象,则 的值可以为(  )A B C D7 (5 分)已知 F1,F 2 分别双曲线 3x2y 23a 2(a0)的左右焦点,是 P 抛物线y28ax 与双曲线的一个交点,若| PF1|+|PF2|12,则抛物线的准线方程为(  )Ax4 Bx3 Cx2 Dx 18 (5 分)已知函数 ,若关于 x 的方程|f(x)a|+|f(x)a1| 1有且仅有两个不同的整数解,则实数 a 的取值范围是(  )A , B , C 1, D0 ,3二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9 (5 分)已知复

    4、数 ,i 为虚数单位,则| z|2     10 (5 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,若 nN*,a n203n,则 Sn 的最大值为     11 (5 分)球 O 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球,若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的表面积为 S1,球 O 的表面积为 S2,则     12 (5 分)已知圆 C:(x 3) 2+(y +1) 24 与直线 l: x+y20 交于 M、N 两点,则|MN|       13 (5 分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABD

    5、C,AC 与 BD 交于点 M,AB 2CD 4若 1,则 cosBMC     14 (5 分)已知函数 ,其中 e 为自然对数的底数,若 f(2a 2)+f(a3)0,则实数 a 的取值范围为     三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (13 分)如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75(1)求 x,y 的值;(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽

    6、到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;第 3 页(共 21 页)(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) 16 (13 分)在ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若b3,c 4,C 2B,且 a b(1)求 cosB 及 a 的值;(2)求 的值17 (13 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB AD,ABCD,PCAB 2AD 2CD2,E 是 PB 的中点(1)求证:平面 EAC平面 PBC;(2)求二面角 PACE 的余弦值;(3)直线 PB 上是否存在一点 F,使得 PD平面 AC

    7、F,若存在,求出 PF 的长,若不存在,请说明理由18 (13 分)已知数列a n的前 n 项和 Sna n( ) n1 +2(nN *) ,数列 bn满足bn2 nan()求证数列b n是等差数列,并求数列a n的通项公式;()设 cnlog 2 ,数列 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn (nN *)的n 的最大值19 (14 分)已知椭圆 的左顶点为 A,右焦点为 F(c,0) ,直线第 4 页(共 21 页)l: 与 x 轴相交于点 T,且 F 是 AT 的中点(1)求椭圆的离心率;(2)过点 T 的直线与椭圆相交于 M、N 两点,M 、N 都在 x 轴上方,并且 M 在 N、T之间

    8、,且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍记 NFM、 NFA 的面积分别为 S1、S 2,求 ;若原点 O 到直线 TN 的距离为 ,求椭圆方程20 (14 分)已知函数 f(x )ax 2+(b+1)x+2(a0)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0函数(1)试用含 a 的代数式表示 b;(2)求 g(x)的单调区间;(3)令 a1,设函数 g(x)在 x1、x 2(x 1x 2)处取得极值,记点 A(x 1,g(x 1) ) ,B(x 2, g(x 2) ) ,证明:线段 AB 与曲线 g(x)存在异于 A,B 的公共点第 5 页(共 21 页)2019 年天津

    9、市南开区高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设全集为 R,若集合 Ax|(x +2) (x 3)0 ,集合 Bx|x1,则( RA)B(  )A3,+ ) B (1,3 C (1,3) D (2,+)【分析】求出集合的等价条件,结合补集并集定义进行计算即可【解答】解:Ax| (x +2) (x 3)0 x|x3 或 x2, RAx|2x3,则( RA)Bx |x2(2,+) ,故选:D【点评】本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件,结合补集并集

    10、的定义是解决本题的关键比较基础2 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2x+4y 的最小值是(  )A6 B10 C5 D10【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,联立 ,解得 A(3,3) ,化目标函数 z2x+4y 为 y ,由图可知,当直线 y 过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为6故选:A第 6 页(共 21 页)【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题3 (5 分)如图是一个算法流程图

    11、,若输入 n 的值是 13,输出 S 的值是 46,则 a 的取值范围是(  )A9a10 B9a10 C10a11 D8a9【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:依次运行流程图,结果如下:n13,S0满足判断框内的条件 na,S13,n12满足判断框内的条件 na,S25,n11满足判断框内的条件 na,S36,n10满足判断框内的条件 na,S46,n9此时,不满足判断框内的条件 na,退出循环,所以 a 的取值范围是 9a10故选:B【点评】本题考查了程序框图的应

    12、用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得第 7 页(共 21 页)出正确的结论,是基础题4 (5 分)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异” ,意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积横向等,则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体,p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒相等根据祖暅原理可知,p 是 q 的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用祖暅原理可得:A、B 在等高处的截面积恒相等” ,可得:A、B 的体积相等即可判断出 p 与 q 的关系【解答】解:设 A、B 为两个同高的几何体,p:A、B 的体积

    13、不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒相等由“A、B 在等高处的截面积恒相等” ,由祖暅原理,可得:A、B 的体积相等因此可得:A、B 的体积不相等,必然:A、B 在等高处的截面积不恒相等即 pq,反之不成立p 是 q 的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题5 (5 分)已知 a ,blog 2 ,c ,则(  )Aabc Bacb Ccab Dc ba【分析】利用指数式的运算性质得到 0a1,由对数的运算性质得到 b0,c1,则答案可求【解答】解:0a 2 01,blog 2 log 210,c log 23l

    14、og 221,cab故选:C【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,第 8 页(共 21 页)有时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题6 (5 分)设 f(x )sin3x cos3x,把 yf (x)的图象向左平移 (0)个单位长度后,恰好得到函数 g(x )sin3 x+cos3x 的图象,则 的值可以为(  )A B C D【分析】三角函数图象的平移及诱导公式,两角和与差的正,余公式逐一检验即可得解【解答】解:将 yf(x)的图象向左平移 ( 0)个单位长度得:g(x)sin3 ( x+)cos3( x+)sin (3

    15、x+3)cos(3x+3) ,当 时,g(x )sin3x+cos3x,不合题意,当 时,g(x ) cos3x,不合题意,当 时,g(x )sin3 xcos3x,不合题意,当 时,g(x )sin3x+cos3x ,满足题意,综合得:选项 D 满足题意,故选:D【点评】本题考查了三角函数图象的平移及诱导公式,属中档题7 (5 分)已知 F1,F 2 分别双曲线 3x2y 23a 2(a0)的左右焦点,是 P 抛物线y28ax 与双曲线的一个交点,若| PF1|+|PF2|12,则抛物线的准线方程为(  )Ax4 Bx3 Cx2 Dx 1【分析】求出 P 点坐标,计算|PF 1|,

    16、|PF 2|,列方程计算 a 的值即可得出答案【解答】解:双曲线的标准方程为 1,双曲线的右焦点 F2(2a,0)为抛物线 y28ax 的焦点,联立方程组 ,消元可得 3x28ax3a 20,解得 x3a 或 x (舍) 不妨设 P 在第一象限,则 P(3a,2 a) ,又 F1(2a,0) ,|PF 1| 7a,|PF 2|3a+2a5a,|PF 1|+|PF2|12a12,即 a1抛物线的准线方程为 x2故选:C第 9 页(共 21 页)【点评】本题考查了双曲线、抛物线的性质,属于中档题8 (5 分)已知函数 ,若关于 x 的方程|f(x)a|+|f(x)a1| 1有且仅有两个不同的整数解

    17、,则实数 a 的取值范围是(  )A , B , C 1, D0 ,3【分析】结合绝对值的应用,方程当且仅当 f(x )a0,且 f(x)a10 成立,即 af(x) a+1 的整数解只有两个,利用数形结合建立不等式关系进行求解即可【解答】解:要使方程|f(x)a|+| f(x)a1| 1 则当且仅当 f(x)a0,且f(x)a1 0 时,方程等价为 f(x )af(x)+a+11,即 f(x)a,且 f(x )a+1,得 af (x)a+1,即 f(x)的图象夹在平行直线 ya 和 ya+1 之间的部分只有两个整数解作出函数 f(x)的图象如图:f(0)1,f(1)0,f(1) ,

    18、f (2) ,要使 af(x )a+1 的整数解只有两个,则其中一个整数解为 x0,另外一个整数解为1,即满足 ,得 ,即 a ,即实数 a 的取值范围是 , ) ,故选:A第 10 页(共 21 页)【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据绝对值的应用寻找,方程成立的条件,利用数形结合是解决本题的关键综合性较强,有一定的难度二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9 (5 分)已知复数 ,i 为虚数单位,则| z|2    【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解【解答】解: ,|z| 2 故答案为: 【点评】本题考查复数代

    19、数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题10 (5 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,若 nN*,a n203n,则 Sn 的最大值为 57 【分析】令 an203n0,解得 n 6+ 可得 Sn 的最大值S 6【解答】解:令 an203n0,解得 n 6+ 则 Sn 的最大值为 S6 57故答案为:57【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11 (5 分)球 O 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球,若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的表第 11 页(共 21 页)面积为 S1,球 O 的表面

    20、积为 S2,则    【分析】设棱长为 a,易得正方体表面积,结合正方体外接球直径为其体对角线长可得球的表面积,得解【解答】解:设正方体棱长为 a,则正方体表面积为:S 16a 2,球 O 的半径为: ,3a 2,即 , 故答案为: 【点评】此题考查了正方体表面积和正方体外接球问题,难度不大12 (5 分)已知圆 C:(x 3) 2+(y +1) 24 与直线 l: x+y20 交于 M、N 两点,则|MN|  4 【分析】根据题意,由圆的方程分析圆的圆心与半径,分析可得圆心 C 在直线 l 上,则|MN|2 r,即可得答案【解答】解:根据题意,圆 C:(x 3)

    21、 2+(y +1) 24,圆心为(3,1) ,半径r2,直线 l 的方程为 x+y20,圆心 C 在直线 l 上,则| MN|2r 4;故答案为:4【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及直线与圆相交时弦长的计算,属于基础题13 (5 分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AC 与 BD 交于点 M,AB 2CD 4若 1,则 cosBMC    【分析】由题意画出图形,结合MCD MAB,可设 MDMCm,则第 12 页(共 21 页)ACBD3m,由 1,求得 cos ,在CMD 中,利用余弦定理求出 m2,进一步求得 cosCMD,则答案可求【解答】解:如图,

    22、由题意可知,MCD MABAB2CD4,AM2MC,BM 2MD,设 MD MC m,则 ACBD3m,由 1,得 9m2cosCMD1,cos ,在CMD 中,有 22m 2+m22m 2cosCMD ,即 ,解得: cosCMD 则 cosBMC cos( BMD)cosCMD 故答案为: 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,训练了利用数量积求斜率的夹角,是中档题14 (5 分)已知函数 ,其中 e 为自然对数的底数,若 f(2a 2)+f(a3)0,则实数 a 的取值范围为 ( )   【分析】先对函数求导,结合导数可判断函数的单调性,进而结合函数的奇偶性即可求解【解答】解:

    23、 ,f(x)e x e x+2sinxf(x ) ,第 13 页(共 21 页)f(x) 2 0f(x)在 R 上单调递增且为奇函数由 f(2a 2)+f(a3)0,可得 f(2a 2)f (a3)f(3a) ,2a 2a+3,解可得, ,故答案为:( ,1) 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的 单调性,进而求解不等式,解题的关键是灵活利用导数知识三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (13 分)如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平

    24、均数是 75(1)求 x,y 的值;(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) 【分析】 (1)按大小数列排列得出 x 值,运用平均数公式求解 y,(2)判断甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3412,列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88种数为 3+1+15,运用古典概率求解(3)求解甲的平均数,方差,一点平均数,方差,比较方差越小者越稳定,越大,波动性越大得出结论:甲队的方差小于乙队的

    25、方差,所以甲队成绩较为稳定【解答】解:(1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71,第 14 页(共 21 页)65,64,所以 x6,因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5,7,7,19,和为 41,所以 y3,(2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88;乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89,甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3412,其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80,80;82,80;88,80;88,86;8

    26、8,88种数为 3+1+15,所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p ,(3)因为甲的平均数为: (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)75,所以甲的方差 S2 甲 (64 75) 2+(6575) 2+2(7175) 2+2(7675)2+(7775) 2+(8075) 2+(8275) 2+(8875) 250.2,又乙的方差 S2 乙 (56 75) 2+2(6875) 2+(7075) 2+(7275)2+(7375) 2+(8075) 2+(8675) 2+(8875) 2+(8975) 2100.8,因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定

    27、【点评】本题考察了茎叶图的运用,求解方差,进行数据的分析解决实际问题,考察了计算能力,准确度16 (13 分)在ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若b3,c 4,C 2B,且 a b(1)求 cosB 及 a 的值;第 15 页(共 21 页)(2)求 的值【分析】 (1)由正弦定理,二倍角的正弦函数公式可求 cosB 的值,由余弦定理可得 a的值(2)利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值,利用二倍角公式可求 sin2B,cos2 B的值,根据两角和的余弦函数公式可求 cos(2B+ )的值【解答】 (本题满分为 13 分)解:(1)在ABC 中,由正弦定理

    28、 ,可得: ,2 分C2B, ,解得:cosB ,4 分在ABC 中,由余弦定理 b2a 2+c22accos B,可得:a 2 a+70,解得 a3,或a ,ab,a 7 分(2)cosB ,可得 sinB ,sin2B2sinBcosB ,cos2 B2cos 2B1 , 11 分cos(2B + ) cos2B sin2B 13 分【点评】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式,两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题17 (13 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,ABCD 是直角梯

    29、形,AB AD,ABCD,PCAB 2AD 2CD2,E 是 PB 的中点(1)求证:平面 EAC平面 PBC;(2)求二面角 PACE 的余弦值;(3)直线 PB 上是否存在一点 F,使得 PD平面 ACF,若存在,求出 PF 的长,若不存在,请说明理由第 16 页(共 21 页)【分析】 (1)根据直角梯形可得 ACBC ,再根据 ACPC 即可得出 AC平面 PBC,于是平面 EAC平面 PBC;(2)PCE 为所求二面角的平面角,利用余弦定理计算 cosPCE;(3)连接 BD 交 AC 于 O,过 O 作 OFPD ,可得 PD 平面 ACF,利用相似三角形即可得出 PF 的长【解答

    30、】 (I)证明:四边形 ABCD 是直角梯形,AB2CD2AD 2,ACBC ,ACBC,PC平面 ABCD,AC平面 ABCD,PCAC,又 PCBCC,AC平面 PBC,又 AC平面 EAC,平面 EAC平面 PBC(II)由(I)可知 AC平面 PBC,ACPC,ACCE,PCE 为二面角 PACE 的平面角,PC2,BC ,CEPE PB ,cosPCE 二面角 PACE 的余弦值为 (III)连接 BD 交 AC 于 O,过 O 作 OFPD 交 PB 于 F,连接 AF,CF则 PD平面 ACFABCD, ,又 OFPD , 2,PF PB 第 17 页(共 21 页)【点评】本题

    31、考查了面面垂直的判定,线面平行的判定,考查二面角的计算,属于中档题18 (13 分)已知数列a n的前 n 项和 Sna n( ) n1 +2(nN *) ,数列 bn满足bn2 nan()求证数列b n是等差数列,并求数列a n的通项公式;()设 cnlog 2 ,数列 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn (nN *)的n 的最大值【分析】 ()利用“当 n2 时,a nS nS n1 ”及其等差数列的通项公式即可得出()先求通项,再利用裂项法求和,进而解不等式,即可求得正整数 n 的最大值【解答】 ()证明:S na n( ) n1 +2(n N+) ,当 n2 时,Sn1 a n1 (

    32、 ) n2 +2(n N+) ,a nS nS n1 a n+an1 +( ) n1 ,化为 2nan2 n1 an1 +1b n2 nanb nb n1 +1,即当 n2 时,b nb n1 1令 n1,可得 S1a 11+2a 1,即 a1 又 b12a 11,数列b n是首项和公差均为 1 的等差数列于是 bn1+(n1)1n2 nan,a n ()解:c nlog 2 n, ,T n(1 )+ ( )+ ( )1+ ,第 18 页(共 21 页)由 Tn ,得 1+ ,即 + ,f(n) + 单调递减, f(4) ,f(5) ,n 的最大值为 4【点评】本题综合考查了“当 n2 时,a

    33、 nS nS n1 ”及其等差数列的通项公式、 “裂项法”等基础知识与基本方法,考查恒成立问题,正确求通项与数列的和是关键19 (14 分)已知椭圆 的左顶点为 A,右焦点为 F(c,0) ,直线l: 与 x 轴相交于点 T,且 F 是 AT 的中点(1)求椭圆的离心率;(2)过点 T 的直线与椭圆相交于 M、N 两点,M 、N 都在 x 轴上方,并且 M 在 N、T之间,且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍记 NFM、 NFA 的面积分别为 S1、S 2,求 ;若原点 O 到直线 TN 的距离为 ,求椭圆方程【分析】 (1)由题意列关于 a,c 的方程,求解即可得到

    34、椭圆的离心率;(2) 过 M, N 作直线 l 的垂线,垂足分别为 M1,N 1,由 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍结合三角形底面积公式计算即可得到所求比值;设 F(c,0) ,则椭圆方程为 ,运用点差法求得直线 MN 的斜率和方程,运用点到直线的距离公式求解 c,计算即可得到所求椭圆方程【解答】解:(1)由 F 是 AT 的中点,可得a+ 2c,即(a2c) (a+c )0,又 a、c 0,则 a2c,可得 e ;(2) 过 M, N 作直线 l 的垂线,垂足分别为 M1,N 1,由 NN12MM 1,得 M 是 NT 的中点,可得 ,第 19 页(共 21 页)

    35、又 F 是 AT 中点,即有 SANF S TNF ,故 ;设 F(c,0) ,则椭圆方程为 ,由知 M 是 N,T 的中点,不妨设 M(x 0,y 0) ,则 N(2x 04c,2y 0) ,又 M,N 都在椭圆上,即有 ,即 ,两式相减得: ,解得 ,可得 ,故直线 MN 的斜率为 k ,直线 MN 的方程为 y (x4c ) ,即 x+6y4 c0,原点 O 到直线 TN 的距离为 d ,依题意 ,解得 c ,故椭圆方程为 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算能力,属于难题第 20 页(共 21 页)20 (14 分)已知函数 f(x )ax 2+(

    36、b+1)x+2(a0)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0函数(1)试用含 a 的代数式表示 b;(2)求 g(x)的单调区间;(3)令 a1,设函数 g(x)在 x1、x 2(x 1x 2)处取得极值,记点 A(x 1,g(x 1) ) ,B(x 2, g(x 2) ) ,证明:线段 AB 与曲线 g(x)存在异于 A,B 的公共点【分析】 (1)求导后利用 f'( 1)0,即可;(2)求导后分 a1,a1 和 a1 三种情况求出单调区间即可;(3)由 g(x)的极值得到 A,B 两点的坐标,进一步得到直线 AB 的方程,联立方程求解即可【解答】解:(1)由 f(x )ax 2+

    37、(b+1)x+2(a0) ,得f'(x)2ax+ b+1,f(x)在点( 1,f(1) )处的切线斜率为 0,f'(1)2a+ b+10,b2a1;(2)由(1)得 g(x) ,则g'(x) x2+2ax+(2a1)(x+1) (x +2a1) ,令 g'(x )0,则 x1 或 x12a,当 a 1 时, 12a1,当 x(12a, 1)时,g'(x)0,此时 g(x)递减;当 x(, 12a)(1,+)时,g' (x )0,此时 g(x)在(,12a)和(1,+)上递增;当 a 1 时, 12a1,此时 g'(x)0 恒成立,且仅有

    38、x1 时 g'(x)0,g(x)在 R 上单调递增;当 a 1 时, 12a1,同理可得 g(x)的增区间为(,1)和(12a,+) ,单调减区间为(1,12a) ;综上,当 a1 时,f(x )的单调减区间为(12a,1) ,单调增区间为(,12a)和(1,+) ;当 a1 时,f(x )的单调增区间为 R;当 a1 时,f(x )的单调减区间为(1,12a) ,单调增区间为(,1)和第 21 页(共 21 页)(12a,+) ;(3)当 a1 时,g(x) ,令 g'(x )0,则 x1 或 x3,由(2)得 g(x)的单调增区间为(,1)和(3,+) ,单调减区间为(1,3) ,函数 g(x)在1 和 3 处取得极值,A(1, ) ,B(3,9) ,直线 AB 的方程为 y ,由 得 x33x 2x +30,令 F(x )x 33x 2x+30,易得 F(0)30,F(2)30,而 F(x )的图象在( 0,2)内是一条连续不断的曲线,故 F(x )在( 0,2)内存在零点 x0,即线段 AB 与曲线 g(x )有异于 A,B 的公共点【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间和极值,考查了分类讨论思想和计,属难题


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