1、2019 年山东省菏泽市曹县中考数学三模试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置 ）1 （3 分）计算（a） 3a 结果正确的是（ ）Aa 2 Ba 2 Ca 3 Da 42 （3 分）如图，数轴上有三个点 A、B、C ，若点 A 与 B 表示的数互为相反数，则点 C 表示的数是（ ）A1 B1 C2 D23 （3 分）如图，将一个含有 45角的直角三角板摆放在矩形上，若135，则2 的度数为（ ）A70 B75 C80 D854 （3 分）关于二次函数 y2x 2
2、+4x1，下列说法正确的是（ ）A图象与 y 轴的交点坐标为（0，1）B图象的对称轴在 y 轴的右侧C当 x0 时， y 的值随 x 值的增大而减小Dy 的最小值为35 （3 分）如图，将ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若ABD48， CFD40，则E 为（ ）A102 B112 C122 D926 （3 分）若直线 ykx+k1 经过点（m，n+3）和（m+1，2n1） ，且 0k2，则 n 的取值范围是（ ）A0n2 B0n4 C2n6 D4n67 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB4，BC6，ABBC，BC CD，E 为 AD 的中点
3、，F 为线段 BE 上的点，且 FE BE，则点 F 到边 CD 的距离是（ ）A3 B C4 D8 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从点 A 出发，沿正方形的边顺时针方向运动一周，则APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 间的函数关系图象大致是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内， ）9 （3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围为 10 （3 分）如图，ABC 中，ACB 90，B50，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到ABC，点 B恰好落在线段 AB 上，AC
4、、AB相交于 O，则COA的度数为 11 （3 分）观察下列关于自然数的式子：41 21 2，42 23 2，43 25 2，根据上述规律，则第 2019 个式子的值为 12 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A、C 、D，与 BC 相交于点 E，连接AC、AE 若 D78，则EAC 13 （3 分）如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1 （x0）及y2 （x0）的图象分别交于点 A，B，连接 OA， OB，已知OAB 的面积为 3，则k1k 2 14 （3 分）如图，直线 y x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB
5、 上一点，四边形 OEDC 是菱形，则OAE 的面积为 三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）15 （6 分）计算：16 （6 分）解不等式组17 （6 分）如图，ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，求证：ADECBF18 （6 分）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯 AB 的长为 6 m，坡角 ABE45，改造后的斜坡自动扶梯坡角ACB15 ，求改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长， （精确到 0.1m，参考数据；sin150.26，cos150.97，tan150，27）19 （
6、7 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，（1）若降价 a 元，则平均每天销售数量为 件（用含 a 的代数式表示）：（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？20 （7 分）如图，反比例函数 y （x0）的图象上一点 A（m ，4） ，过点 A 作 ABx轴于 B， CDAB，交 x 轴于 C，交反比例函数图象于 D，BC2，CD （1）求反比例函数的表达式；（2）若点 P 是 y 轴上一动
7、点，求 PA+PB 的最小值21 （10 分）某市将开展演讲比赛活动，某校对参加选拔的学生的成绩按 A、B、C、D 四个等级进行统计，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图，成绩等级 频数 频率A 4 nB m 0.51CD 15（1）求 m、n 的值；（2）求“C 等级”所对应的扇形圆心角的度数；（3）已知成绩等级为 A 的 4 名学生中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名学生代表学校参加全市比赛，求出恰好选中一男生和一女生的概率22 （10 分）如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在O 上
8、（1）求证：AEAB （2）若CAB90，cosADB ，BE 2，求 BC 的长23 （10 分）在ABC 中，ABC 90（1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为点 M，N，求证：ABM BCN；（2）如图 2，P 是 BC 边上一点，BAP C ，tanPAC ，BP2cm ，求 CP的长24 （10 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0） A（8，4） ，与 x 轴交于另一点B，且对称轴是直线 x3（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当 ANM 面积最大时，求 M 的坐标；（3）P 是
9、x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于 C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标2019 年山东省菏泽市曹县中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置 ）1 （3 分）计算（a） 3a 结果正确的是（ ）Aa 2 Ba 2 Ca 3 Da 4【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案【解答】解：（a） 3aa 3aa 3
10、1 a 2，故选：B【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键2 （3 分）如图，数轴上有三个点 A、B、C ，若点 A 与 B 表示的数互为相反数，则点 C 表示的数是（ ）A1 B1 C2 D2【分析】首先确定原点位置，进而可得 C 点对应的数【解答】解：点 A、B 表示的数互为相反数，原点在线段 AB 的中点处，点 C 对应的数是1故选：A【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置3 （3 分）如图，将一个含有 45角的直角三角板摆放在矩形上，若135，则2 的度数为（ ）A70 B75 C80 D85【分析】直接利用三角形外角的性质结合
11、平行线的性质得出答案【解答】解：135，445，31+480，矩形对边平行，2380故选：C【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质，正确得出3 的度数是解题关键4 （3 分）关于二次函数 y2x 2+4x1，下列说法正确的是（ ）A图象与 y 轴的交点坐标为（0，1）B图象的对称轴在 y 轴的右侧C当 x0 时， y 的值随 x 值的增大而减小Dy 的最小值为3【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题【解答】解：y2x 2+4x 12（x+1） 23，当 x0 时，y 1，故选项 A 错误，该函数的对称轴是直线 x1，故选项 B 错误，
12、当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误，当 x1 时，y 取得最小值，此时 y3，故选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答5 （3 分）如图，将ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若ABD48， CFD40，则E 为（ ）A102 B112 C122 D92【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADBBDFDBC，由三角形的外角性质求出BDFDBC DFC20，再由三角形内角和定理求出A，即可得到结果【解答】解：ADBC，ADBDBC，由折叠可得A
13、DBBDF ，DBCBDF，又DFC40，DBCBDFADB 20，又ABD48，ABD 中，A 1802048112，EA 112，故选：B【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB 的度数是解决问题的关键6 （3 分）若直线 ykx+k1 经过点（m，n+3）和（m+1，2n1） ，且 0k2，则 n 的取值范围是（ ）A0n2 B0n4 C2n6 D4n6【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 n+3km+k1，2n1k（m +1）+k1，二者做差后可得出 nk+4，结合 0k2 即可得出
14、 n 的取值范围【解答】解：直线 ykx+k1 经过点（m，n+3）和（m+1，2n1） ，n+3km+k1，2n1k（m +1）+k1，nk+4又0k2，4k+46，即 4n6故选：D【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征找出 nk+4 是解题的关键7 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB4，BC6，ABBC，BC CD，E 为 AD 的中点，F 为线段 BE 上的点，且 FE BE，则点 F 到边 CD 的距离是（ ）A3 B C4 D【分析】过 E 作 EGCD 于 G，过 F 作 FHCD 于 H，过 E 作 EQBC 于
15、Q，依据平行线分线段成比例定理，即可得到 HPCQ3，FP BQ1，进而得出FH1+34【解答】解：如图所示，过 E 作 EGCD 于 G，过 F 作 FHCD 于 H，过 E 作EQBC 于 Q，则 EGFH BC ，AB EQCD ，四边形 CHPQ 是矩形，ABEQ CD， ，E 是 AD 的中点，BQCQ3，HPCQ3，FPBQ ， ，FE BE，FP BQ1，FH1+3 4故选：C【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例8 （3 分）如图，
16、正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从点 A 出发，沿正方形的边顺时针方向运动一周，则APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 间的函数关系图象大致是（ ）A BC D【分析】分 P 在 AB、BC、CD、AD 上四种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式，确定出大致图象即可【解答】解：当 P 在 AB 边上运动时，y 4x2x；当 P 在 BC 边上运动时，y 4（8x）2x16，当 P 在 CD 边上运动时，y 4（x24）2x 16，当 P 在 AD 边上运动时， y 4（44x）322x大致图象为： 故选：B【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象
17、，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内， ）9 （3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围为 x 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：根据题意得，24x0，解得 x 故答案为：x 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数10 （3 分）如图，ABC 中，ACB 90，B50，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到ABC，点 B恰好落在线段 AB 上，AC、AB相交于 O，则COA的
18、度数为 60 【分析】由三角形的内角和为 180可得出A40，由旋转的性质可得出BCBC，从而得出BBBC 50，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论【解答】解：在三角形 ABC 中，ACB 90，B50，A180ACBB40由旋转的性质可知：BCBC，BBB C50又BBC A+ACB40+ACB ，ACB10，COAAOBOBC+ACBB+ACB60故答案为：60【点评】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出ACB10本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键11 （3 分）观察下列关
19、于自然数的式子：41 21 2，42 23 2，43 25 2，根据上述规律，则第 2019 个式子的值为 8075 【分析】由三个等式可得，减数是从 1 开始连续奇数的平方，被减数是从 1 开始连续自然数的平方的 4 倍，由此规律得出答案即可【解答】解：41 21 24223 24325 24n2（2n1） 24n1，所以第 2019 个式子的值是：4201918075故答案为：8075【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题12 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A、C 、D，与 BC 相交于点 E，连接AC、AE 若 D78，则EAC
20、27 【分析】根据菱形的性质得到ACB DCB （180D）51，根据圆内接四边形的性质得到AEBD78，由三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，D 78，ACB DCB （180D）51，四边形 AECD 是圆内接四边形，AEB D 78，EACAEBACE27，故答案为：27【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键13 （3 分）如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1 （x0）及y2 （x0）的图象分别交于点 A，B，连接 OA， OB，已知OAB 的面积为 3，则k1k 2 6 【分析】
21、由反比例函数的图象过第一象限可得出 k10，k 20，再由反比例函数系数 k的几何意义即可得出 SOAP k1，S OBP k2，根据OAB 的面积为 2 结合三角形之间的关系即可得出结论【解答】解：反比例函数 y1 （x0）及 y2 （ x0）的图象均在第一象限内，k 10，k 20APx 轴，S OAP k1，S OBP k2S OAB S OAP S OBP （k 1k 2）3，解得：k 1k 26故答案为：6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是得出 SOAB （k 1k 2） 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反
22、比例函数系数 k 的几何意义用系数 k 来表示出三角形的面积是关键14 （3 分）如图，直线 y x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB 上一点，四边形 OEDC 是菱形，则OAE 的面积为 2 【分析】延长 DE 交 OA 于 F，如图，先利用一次函数解析式确定 B（0，4） ，A（4 ，0） ，利用三角函数得到OBA60，接着根据菱形的性质判定BCD 为等边三角形，则BCDCOE60，所以EOF30，则 EF OE1，然后根据三角形面积公式计算【解答】解：延长 DE 交 OA 于 F，如图，当 x0 时，y x+44 ，则 B（0，4） ，当
23、y0 时， x+40，解得 x4 ，则 A（4 ， 0） ，在 Rt AOB 中，tan OBA ，OBA60，C 是 OB 的中点，OCCB2，四边形 OEDC 是菱形，CDBCDECE2，CDOE，BCD 为等边三角形，BCD60，COE60，EOF30，EF OE1，OAE 的面积 4 12 故答案为 2 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ykx +b， （k 0，且k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（ ，0） ；与 y 轴的交点坐标是（0，b） 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykx +b也考查了菱形的性质三、解答题（本题共 78 分，
24、把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）15 （6 分）计算：【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算【解答】解：原式（ ） 2 4+ 1 2+ 16 5 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍16 （6 分）解不等式组【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式
25、的解集； 利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到【解答】解：解不等式 ，得 x ，解不等式 ，得 x ，所以不等式组的解集为 x 【点评】本题考查了解不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，17 （6 分）如图，ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，求证：ADECBF【分析】先利用平行四边形的性质证得 ADCB，AC，ABCD，得 AECF，证得CFBAED 后即可得到ADECBF【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形AC，ADCB，AB CD，又点 E，F 分别是 AB，CD 的中点AECF AB CD，CFBAED
26、（ASA） ADECBF【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型18 （6 分）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯 AB 的长为 6 m，坡角 ABE45，改造后的斜坡自动扶梯坡角ACB15 ，求改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长， （精确到 0.1m，参考数据；sin150.26，cos150.97，tan150，27）【分析】先在 RtABD 中，用三角函数求出 AD，最后在 RtACD 中用三角函数即可得出结论【解答】解：如图，过点 A 作 ADCE 于点
27、 D，在 Rt ABD 中，ABD45，AB6 m，ADABsin456 6（m ） 在 Rt ACD 中， ACD15 ，sin ACD ，AC 23.1（m） ，即：改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 23.1 米【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出 AD 是解本题的关键19 （7 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，（1）若降价 a 元，则平均每天销售数量为 2a+20
28、件（用含 a 的代数式表示）：（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？【分析】 （1）根据“平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，若降价 a 元” ，列出平均每天销售的数量即可，（2）设每件商品降价 x 元，根据“平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，每件盈利不少于 25 元”列出关于 x 的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于 25 元的答案即可【解答】解：（1）根据题意得：若降价 a 元，则多售出 2a 件，平均每天销售数量为：2a+20
29、，故答案为：2a+20，（2）设每件商品降价 x 元，根据题意得：（40x） （20+2x ）1200，解得：x 110，x 220，40103025， （符合题意） ，40202025， （舍去） ，答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键20 （7 分）如图，反比例函数 y （x0）的图象上一点 A（m ，4） ，过点 A 作 ABx轴于 B， CDAB，交 x 轴于 C，交反比例函数图象于 D，BC2，CD （1）求反比例函数的表达式；（2）若点 P 是 y 轴上一动点，求 PA
30、+PB 的最小值【分析】 （1）可得点 D 的坐标为：（ m+2， ） ，点 A（m，4） ，即可得方程4m （m+2） ，继而求得答案；（2）作点 A 关于 y 轴的对称点 E，连接 BF 交 y 轴于点 P，可求出 BF 长即可【解答】解：（1）CDy 轴，CD ，点 D 的坐标为：（m+2， ） ，A，D 在反比例函数 y （x0）的图象上，4m （m+2） ，解得：m1，点 A 的坐标为（1，4） ，k4m4，反比例函数的解析式为：y ；（2）过点 A 作 AEy 轴于点 E，并延长 AE 到 F，使 AEFE1，连接 BF 交 y 轴于点P，则 PA+PB 的值最小PA+PBPF+
31、PBBF 2 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质注意准确表示出点 D 的坐标和利用轴对称正确找到点 P 的位置是关键21 （10 分）某市将开展演讲比赛活动，某校对参加选拔的学生的成绩按 A、B、C、D 四个等级进行统计，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图，成绩等级 频数 频率A 4 nB m 0.51CD 15（1）求 m、n 的值；（2）求“C 等级”所对应的扇形圆心角的度数；（3）已知成绩等级为 A 的 4 名学生中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名学生代表学校参加全市比赛，求出恰好选中一男生和一女生的概率【分析】 （1）先求出样本容量，
32、再根据频率频数总人数可得答案；（2）先求出 C 等级人数，再用 360乘以 C 等级人数所占比例即可得；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）样本容量为 1515%100（名） ，m1000.5151（名） ， n41000.04；（2）C 等级人数为 1004 511530（名） ，“C 等级”所对应的扇形圆心角的度数为 360 108；（3）列表如下：男 女 1 女 2 女 3男 （女，男） （女，男） （女，男）女 1 （男，女） （女，女） （女，女）女 2 （男，女） （女，女） （女，女）女 3 （男，女） （女，女）
33、（女，女） 共有 12 种等可能的结果，选中 1 名男生和 1 名女生结果的有 6 种P（选中 1 名男生和 1 名女生） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22 （10 分）如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在O 上（1）求证：AEAB （2）若CAB90，cosADB ，BE 2，求 BC 的长【分析】 （1）由折叠得出AEDACD、AEAC，结合ABDAED 知ABDACD，从而得出 ABAC，据此得证；（2）作 AHBE ，由 ABAE 且 BE2 知
34、 BHEH1，根据 ABEAEBADB知 cosABEcosADB ，据此得 ACAB3，利用勾股定理可得答案【解答】解：（1）由折叠的性质可知，ADEADC，AEDACD，AE AC，ABDAED，ABDACD，ABAC，AEAB；（2）如图，过 A 作 AHBE 于点 H，ABAE，BE2，BHEH 1，ABE AEBADB，cos ADB ，cosABEcosADB ， ACAB3，BAC90，ACAB ，BC3 【点评】本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点23 （10 分）在ABC 中，ABC 90（1）如图 1，
35、分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为点 M，N，求证：ABM BCN；（2）如图 2，P 是 BC 边上一点，BAP C ，tanPAC ，BP2cm ，求 CP的长【分析】 （1）利用相似三角形的判定易证ABMBCN；（2）过 P 作 PMAP，交 AC 于 M，过 M 作 MNPC 于 N，先证PMNABP，求出 PN 与 AB 的比，设 PN2t ，则 AB t，推出 CNPN2t ，再证ABPCBA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出 t 的值，进一步求出 CP 的值【解答】 （1）证明：AMMN，CNMN，MN90MAB +ABM90，ABC90，ABM +C
36、BN90，MAB CBN，ABM BCN；（2）解：如图 2，过 P 作 PMAP ，交 AC 于 M，过 M 作 MNPC 于 N，则APB +MPN 90，APB+ BAP90，MPNBAP，又BN90，PMNABP， tanPAC ，设 PN2t，则 AB t，BAP MPN，BAP C，MPCC，CNPN2 t，BB 90，BAPC，ABP CBA， ，（ t） 22（2+4 t） ，解得，x 12，x 2 （舍去） ，PCCN+PN4t428【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质等，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质24 （10 分）如图，已知二
37、次函数的图象过点 O（0，0） A（8，4） ，与 x 轴交于另一点B，且对称轴是直线 x3（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当 ANM 面积最大时，求 M 的坐标；（3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于 C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标【分析】 （1）先利用抛物线的对称性确定 B（6，0） ，然后设交点式求抛物线解析式；（2）设 M（t，0） ，先其求出直线 OA 的解析式为 y x，直线 AB 的解析式为y2x12，直线
38、MN 的解析式为 y2x2t，再通过解方程组 得N（ t， t） ，接着利用三角形面积公式，利用 SAMN S AOM S NOM 得到 SAMN 4t t t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设 Q（m， m2 m） ，根据相似三角形的判定方法，当 时，PQO COA，则 | m2 m|2| m|；当 时，PQOCAO，则| m2 m| |m|，然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点坐标【解答】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线 x3，B 点坐标为（6，0） ，设抛物线解析式为 yax （x 6） ，把 A（8，4）代入得 a824，解得 a ，抛物线解析式为 y x（
39、x6） ，即 y x2 x；（2）设 M（t，0） ，易得直线 OA 的解析式为 y x，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 B（6，0） ，A（8，4）代入得 ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y2x12，MNAB，设直线 MN 的解析式为 y2x+n，把 M（t，0）代入得 2t+n0 ，解得 n2t ，直线 MN 的解析式为 y2x2t ，解方程组 得 ，则 N（ t， t） ，S AMN S AOM S NOM 4t t t t2+2t （t3） 2+3，当 t3 时，S AMN 有最大值 3，此时 M 点坐标为（3，0） ；（3）设 Q（m， m2 m） ，OPQ ACO ，当
40、 时，PQO COA，即 ，PQ2PO ，即| m2 m|2|m |，解方程 m2 m2m 得 m10（舍去） ，m 214，此时 P 点坐标为（14，0） ；解方程 m2 m2m 得 m10（舍去） ，m 22，此时 P 点坐标为（2，0） ；当 时，PQO CAO，即 ，PQ PO，即| m2 m| |m|，解方程 m2 m m 得 m10（舍去） ，m 28，此时 P 点坐标为（8，0） ；解方程 m2 m m 得 m10（舍去） ，m 24，此时 P 点坐标为（4，0） ；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）或（8，0） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题
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