1、第 1 页，共 26 页2019 年北京市平谷区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）1. 下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. | 3 113. 某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 圆锥4. 点 A，B ，C，D，O 的位置如图所示，下列结论中，错误的是（ ）A. B. OB 平分=50 C. D. 与 互补 5. 如果 a2+2a-1=0，那么代数式（a- ）
2、 的值是（ ）4 22A. 1 B. C. D. 212 26. 如果一个正多边形的内角和是这个正多边形外角和的 2 倍，那么这个正多边形是（ ）A. 等边三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形7. 下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母 a 的值是（ ）华氏F 23 32 41 a 59摄氏C -5 0 5 10 15A. 45 B. 50 C. 53 D. 688. 伴随着经济全球化的发展，中外文化交流日趋频繁，中国以其悠久的历史文化和热情吸引了越来越多的外国游客的光临，据国家统计局统计，2007 年至 2017 年中国累计接待外国游客入境 3.1 亿人次小元制作了
3、2007 年至 2017 年外国人入境情况统计图，如图所示第 2 页，共 26 页数据来源：国家统计局，2016 年含边民入境人数根据以上信息，下列推断合理的是（ ）A. 2007 年 45 岁以上外国人入境游客约为 2611 万人次B. 外国游客入境人数逐年上升C. 每年的外国游客入境人数中， 岁游客人数占全年游客入境人数的254413D. 外国游客入境人数较前一年増涨幅度最大的是 2017 年二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）9. 若二次根式 有意义，则实数 x 的取值范围是_210. 将一矩形纸条按如图所示折叠，若1=110，则2=_11. 用一组 a，b 的值说明命题“
4、若 1，则 ab”是错误的，这组值可以是a=_，b=_ 12. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AD 和 BC交叉构成利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，这时 CD=2，则AB=_13. 掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，如图，我们可以利用树状图来分析有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，全是正面的概率是_14. 如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E若AB=10，AE=1，则弦 CD 的长是_第 3 页，共 26 页15. 2019 年 4 月 29
5、日中国北京世界园艺博览会在北京延庆开幕，大会以“绿色生活，美丽家园”为主题如图，是北京世界园艺博览会部分导游图，若国际馆的坐标为（4，2），植物馆的坐标为（-4，-1 ），则中国馆的坐标为 _16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x+1 交 y 轴于点 A1，点A2，A 3，A n在直线 l 上，点 B1，B 2，B 3，B n在 x 轴的正半轴上，若OA1B1，A 2B1B2，A 3B2B3， AnBn-1Bn依次均为等腰直角三角形，则点 B1 的坐标是_；点 Bn的坐标是_三、解答题（本大题共 12 小题，共 68.0 分）17. 计算：|-3|+ 8245(2019)
6、018. 解不等式组： 并求非负整数解2(3)423 第 4 页，共 26 页19. 下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图 1，直线 l 和 l 外一点 P求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P，作法：如图 2，（1）在直线 l 上任取一点 A；（2）连接 AP，以点 P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B（点 A，B 不重合）；（3）连接 BP，作 APB 的角平分线，交 AB 于点 H；（4）作直线 PH，交直线 l 于点 H所以直线 PH 就是所求作的垂线根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
7、（2）完成下面的证明证明：PH 平分APB，APH=_PA=_，PH直线 l 于 H（_）（填推理的依据）20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k +1）x + =0 有两个不相等的实数根142（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取最小整数时，求此时方程的解21. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AE BC 交 CB 延长线于E，CFAE 交 AD 延长线于点 F（1）求证：四边形 AECF 是矩形；（2）连接 OE，若 cosBAE= ，AB=5，求 OE 的长45第 5 页，共 26 页22. 如图，AB 是O 直径，BC AB 于点 B，点 C 是
8、射线 BC上任意一点，过点 C 作 CD 切 O 于点 D，连接 AD（1）求证：BC=CD ；（2）若 C=60，BC=3，求 AD 的长23. 如图，一次函数 y=kx+b（k0）和反比例函数 y= （x0）经过点 A（4，m）12（1）求点 A 的坐标；（2）用等式表示 k，b 之间的关系（用含 k 的代数式表示 b）；（3）连接 OA，一次函数 y=kx+b（k 0）与 x 轴交于点 B，当OAB 是等腰三角形时，直接写出点 B 的坐标第 6 页，共 26 页24. 如图，点 P 是半圆 O 中 上一动点，连接 AP，作APC=45，交弦 AB 于点 C已知 AB=6cm，设A，P 两
9、点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为 y2cm（当点 P 与点A 重合时，y 1， y2 的值为 0）小元根据学习函数的经验，分别对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 0 1.21 2.09 m 2.99 2.82 0y2/cm 0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6经测量 m 的值是_（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全
10、后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x ，y 2），并画出函数 y1，y 2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当ACP 为等腰三角形时， AP 的长度约为_cm（保留一位小数）25. 某校九年级共有学生 150 人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取 30 名学生的本学期体育测试成绩，并调取该 30 名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：a小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：第 7 页，共 26 页成绩（分） x25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.
11、5 29 29.5 30人数（人） 2 1 0 2 1 1 1 4 14b体育测试成绩的频数分布折线图如下（数据分组：x25，25x26，26x27，27x28，28x29，29x30）：c两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：学期 平均数 中位数 众数上学期 26.75 26.75 26本学期 28.50 m 30根据以上信息，回答下列问题：（1）请补全折线统计图，并标明数据；（2）请完善 c 中的统计表，m 的值是_；（3）若成绩为 26.5 分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有_名学生成绩达到优秀；（4）小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下：成绩（分）
12、x25 25x26 26x27 27x28 28x29 29x30人数（人） 6 8 3 3 4 6通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在 25x26 这一组 ”请你判断小元的说法是_（填写序号：A正确B错误），你的理由是_26. 已知：二次函数 C1：y 1=ax2+2ax+a-1（a0）（1）把二次函数 C1 的表达式化成 y=a（x -h） 2+b（a0）的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数 C1 的图象经过点 A（-3，1）求 a 的值；点 B 在二次函数 C1 的图象上，点 A，B 关于对称轴对称，连接 AB二次函数C2：y 2=kx2+kx（
13、k 0）的图象，与线段 AB 只有一个交点，求 k 的取值范围第 8 页，共 26 页27. 在等边三角形 ABC 外侧作射线 AP， BAP=，点B 关于射线 AP 的对称点为点 D，连接 CD 交 AP 于点 E（1）依据题意补全图形；（2）当 =20时， ADC=_；AEC=_；（3）连接 BE，求证：AEC =BEC；（4）当 0 60 时，用等式表示线段 AE，CD，DE 之间的数量关系，并证明28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是C 外一点，连接 CP 交C 于点 Q，点 P 关于点 Q 的对称点为 P，当点 P在线段 CQ 上时，称点 P 为C“友好点” 已知 A
14、（1，0），B（0，2），C（3，3）（1）当 O 的半径为 1 时，点 A，B，C 中是O“友好点”的是_；已知点 M 在直线 y=- x+2 上，且点 M 是33O“友好点”，求点 M 的横坐标 m 的取值范围；（2）已知点 D ，连接 BC，BD ，CD， T 的圆心为 T（t，-1），半径为(23， 0)1，若在BCD 上存在一点 N，使点 N 是 T“友好点”，求圆心 T 的横坐标 t 的取值范围第 9 页，共 26 页第 10 页，共 26 页答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是 轴对 称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合 题意；
15、 C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合 题意； D、是轴对 称 图形，不是中心对称图形，符合题意 故选：D根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合2.【答案】A【解析】解：由数轴可知，-4 a-3，b=-1 ，0c1，d=3，|a|b| ，A 正确；a-3，B 错误；a-d，C 错误；1，D 错误 ；故选：A根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的
16、总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键3.【答案】C【解析】第 11 页，共 26 页解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱 故选：C 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键4.【答案】B【解析】解：AOB=50， BOC=90，BOD=130， AOB+BOD=180，BOCO， 选项 A、C、D 都正确， 故选：B 由题意得出AOB=50， BOC=90，BOD=130，得出AOB+BOD=180即可本题考查了余角和补角；根据题意得出各个角的度数是关键5.【
17、答案】A【解析】解：（a- ）=a2+2aa2+2a-1=0，a2+2a=1，原式=1故选：A先化简，然后将 a2+2a 的值代入计算即可本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键6.【答案】C【解析】第 12 页，共 26 页解：设这个多边形的边数为 n 由题意（n-2 ）180=2360， 解得 n=6， 所以这个多边形是正六边形 故选：C 设这个多边形的边数为 n根据题意列出方程即可解决问题本题考查多边形的内角和、外角和等知识，解 题的关键是学会构建方程解决问题7.【答案】B【解析】解：由题可得，每增加 5C，华氏温度增加 9F， a=41+9=50， 故选：B 由题
18、意可知：摄氏温度每增加 5C，华氏温度增加 9F，据此可得 a 的值本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，只需仔细分析表中的数据，利用待定系数法即可解决问题8.【答案】D【解析】解：根据表中数据得，A、2007 年 45 岁以上外国人入境游客 约为 1101.2 万人次，故错误；B、外国游客入境人数从 2015 年到 2017 年逐年上升，故 错误；C、每年的外国游客入境人数中，25-44 岁游客人数大于占全年游客入境人数的 ，故错误；D、外国游客入境人数较前一年増 涨幅度最大的是 2017 年，故正确故选：D根据条形统计图中的信息判断即可第 13 页，共 26 页本题考查的是条形统计图，读
19、懂统计图，从 统计图中得到必要的信息是解决问题的关键9.【答案】x2【解析】解：由题意得：x-20， 解得：x2， 故答案为：x2根据二次根式有意义的条件可得 x-20，再解即可此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数10.【答案】40【解析】解：AB CD，2=3，1+5=180，5=180-110=70，由折叠可得， 4=5=70，3=180-70-70=40，2=40，故答案为：40 依据 ABCD，可得2=3， 1+5=180，再根据折叠可得， 4=5=70，进而得出 2=40本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，
20、同旁内角互补11.【答案】-2 -1【解析】答案不唯一，如解：当 a=-2，b=-1 时，满足 1，但 ab故答案为-2 ，-1通过 a 取-2，b 取-1 可说明命题“若 1，则 ab”是错误的本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、 论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可第 14 页，共 26 页12.【答案】6【解析】解：OA=3OD，OB=3CO ，OA：OD=BO：CO=3：1，AOB=DOC，AOBDOC， = ，AB=3CD，CD=2，AB=6，故答案为 6首先根据题意利用两组对边的比相等且夹
21、角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型13.【答案】14【解析】解：共有 4 种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，全是正面的结果数为1，所以掷一枚硬币两次，全是正面的概率为 ，故答案为：画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，全是正面的结果数，然后根据概率公式求解本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式 计算事件 A 或事件 B 的
22、概率14.【答案】6【解析】解：连接 OC，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CD=2CE，OEC=90，AB=10，AE=1，OC=5，OE=5-1=4，第 15 页，共 26 页在 RtCOE 中，CE= =3，CD=2CE=6，故答案为：6连接 OC，根据勾股定理求出 CE，根据垂径定理 计 算即可本题考查考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键15.【答案】（0，0）【解析】解：如图所示：中国馆的坐标为：（0，0），故答案为：（0，0）直接利用国际馆的坐标为（4，2），建立平面直角坐标系进而得出答案此题主要考查了坐标确定位置，正确得
23、出原点位置是解题关键16.【答案】（1，0） （2 n-1，0）【解析】解：y=x+1 与 y 轴交点 A1（0，1），OA1B1 是等腰直角三角形，OB1=1，B1（1，0）；A2B1B2，A3B2B3，AnBn-1Bn 依次均为等腰直角三角形，A2B1= =2，A2B2= =（ ）2 =（ ）3=2 ，AnBn= ，A2B1= =2，A3B2= =4，An+1Bn= ，（n 是偶数）Bn 的横坐标 是 An+1Bn-1，第 16 页，共 26 页Bn（2n-1，0）；故答案为（1，0）；（2 n-1，0）；A2B1B2，A3B2B3，AnBn-1Bn 依次均为等腰直角三角形，A 2B1=2
24、，A2B2= =（ ）2 =（ ）3=2 ，AnBn= ，可知 A2B1= =2，A3B2= =4，An+1Bn= ，（n 是偶数）根据等腰三角形的性质可知，Bn 的横坐标是 An+1Bn-1，即可求解；本题考查一次函数图象及性质，探索规律；能够根据等腰三角形的性质和一次函数的性质，判断出 Bn 的横坐标是 An+1Bn-1 是解 题的关键17.【答案】解：原式=3+2 -2 -1222=3+2 - -12 2=2+ 2【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18.【答案】解： 2(3)423 解不等式得
25、：x2 ，解不等式得：x-1 ，不等式组的解集为-1x 2，不等式组的非负整数解是 0，1，2【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键19.【答案】BPH PB 等腰三角形的三线合一【解析】第 17 页，共 26 页（1）解：如图，（2）证明：PH 平分 APB，APH=BPHPA=PB，PH直 线 l 于 H（等腰三角形的三线合一）故答案为BPH，PB，等腰三角形的三线合一（1）利用基本作图作 PH 平分 APB；（2）利用等腰三角形的三线合一证明 PHAB 即可本题考
26、查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作20.【答案】解：关于 x 的一元二次方程 x2+（k+1）x+ =0 有两个不相等的实数根，142=（k +1） 2-4 k20，14k- ；12（2）k 取最小整数，k=0，原方程可化为 x2+x=0，x1=0， x2=-1【解析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到=（k+1） 2-4 k20，然后求出两个不等式的公共部分即可；第 18 页，共 26 页（2）根据 k 取最小整数
27、，得到 k=0，列方程即可得到结论本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根21.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，CFAE，四边形 AECF 是平行四边形，AEBC，四边形 AECF 是矩形；（2）解：cosBAE= ，AB =5，45AE=4， BE=3，AB=BC=5，CE=8，AC=4 ，5AO=CO=2 ，5四边形 AECF 是矩形，OE=OA=2 5【解析】（1）根据菱形的性质得到 ADBC，推出四边形 AECF 是平行四边形，根据矩形的
28、判定定理即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到 AE=4，BE=3，根据勾股定理得到 AC=4 ，根据矩形的性质即可得到结论本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的 识别图形是解题的关键22.【答案】（1）证明：AB 是O 直径，BC AB，BC 是 O 的切线，CD 切O 于点 D，BC=CD；（2）解：连接 BD，BC=CD，C=60 ，BCD 是等边三角形，BD=BC=3，CBD=60 ，ABD=30，AB 是O 直径，ADB=90，第 19 页，共 26 页AD=BDtanABD= 3【解析】（1）根据切线的判定定理得到 BC 是 O 的切线，切线长定理证明；
29、（2）根据含 30的直角三角形的性 质、正切的定义计算即可本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、 圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键23.【答案】解：（1）反比例函数 y= （x0）经过点 A（4，m），12m= =3，124A（ 4，3）；（2）一次函数 y=kx+b（k0）经过点 A（4，3），3=4k+b，b=-4k+3；（3）A （4，3），OA= =5，42+32AOB 是等腰三角形，当 OA 是腰时，B 点的坐标为（ -5，0），（5，0），（8 ，0），当 OA 为底时，A（ 4，3），OA 的中点（2， ），直线 OA 为 y= x，32 34设过 O
30、A 的中点且存在于 OA 的直线为 y=- x+n，43把（2， ）代入得， =- +n，32 32 83n= ，256过 OA 的中点且存在于 OA 的直线为 y=- x+ ，43 256令 y=0，则 0=- x+ ，43 256解得 x= ，258B 点的坐标为（ ，0），258故 B 点的坐标为（-5，0），（ 5，0），（8，0），（ ，0）258【解析】（1）将点 A（4，m）代入 y= ，求得 m 的值即可；第 20 页，共 26 页（2）把（4，3）代入一次函数 y=kx+b 即可得到 b=-4k+3；（3）求得 OA=5，根据等腰三角形的性质即可求得本题考查一次函数和反比例函
31、数的交点问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键24.【答案】2.7 4.2 或 2.3【解析】解：（1）经测量：m=2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）当 AC=PC 时，即：y 1=y2，从图象可以看出：x=4.2；当 AP=PC 时，画出函数：y=x 的图象，图象与 y1 的交点处 x 的为 2.3；故：答案为 4.2 或 2.3（1）测量即可；（2）通过描点，画出如下图象；（3）分 AC=PC、AP=PC 两种情况，分 别求解即可第 21 页，共 26 页本题为圆的综合题，主要是研究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据
32、题设条件，找出图象对应的点的值即可25.【答案】30 120 B 虽然 25x26 这一组人数最多，但也可能出现在 x25 或29x30 这两组中【解析】解：（1）成绩为 26分的学生人数为：30-18-2-1-3-2=4，补全折线统计图如图所示；（2）中位数 为第15 个和第 16 个数据的平均数，m=30；故答案为：30；（3）150 =120 名，答：本学期九年级约有 120 名学生成绩达到优秀；故答案为：120；（4）B，理由：虽然 25x26 这一组人数最多，但也可能出现在 x25 或29x30 这两组中故答案为：B 虽然 25x26 这一组人数最多，但也可能出现在 x25 或29x
33、30 这两组中（1）计算长成绩为 26 分的学生人数，补全折线统计图即可；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）求出成绩为 26.5 分及以上的人数占调取的 30 名学生的百分数九年级的总人数即可得到结论；（4）根据众数的定义即可得到结论第 22 页，共 26 页本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键26.【答案】解：（1）y 1=ax2+2ax+a-1=a（x+1） 2-1，顶点为（-1，-1）；（2）二次函数 C1 的图象经过点 A（-3，1）a（ -3+1） 2-1=1，a= ；12 A（-3，1），对称轴为直线 x=-1，B（ 1，1），当
34、 k0 时，二次函数 C2：y 2=kx2+kx（k 0）的图象经过 A（-3 ，1）时，1=9k-3k ，解得 k= ，16二次函数 C2：y 2=kx2+kx（k 0）的图象经过 B（1，1）时，1=k+k，解得 k= ，12 k ，16 12当 k0 时，二次函数 C2：y 2=kx2+kx=k（x+ ） 2- k，12 14- k=1，14k=-4，综上，二次函数 C2：y 2=kx2+kx（k0）的图象，与线段 AB 只有一个交点，k 的取值范围是 k 或 k=-416 12【解析】（1）化成顶点式即可求得； （2）把点 A（-3，1）代入二次函数 C1：y1=ax2+2ax+a-1
35、 即可求得 a 的值； 根据对称的性 质得出 B 的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键27.【答案】40 60【解析】第 23 页，共 26 页解：（1）如图，补全图形：（2）连接 AD，三角形 ABC 为等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ABC=ACB=60，由对称可知，AD=AB，AD=AC，BAP=20，DAB=40，DAC=40+60=100，ADC=ACD= ，AEC=ADC+DAE=40+20=60，故答案为 40，60；（3）由对称可知， BAE=DAE=，AD=AB=AC，ADC= ，A
36、EC=60，ACB=60，ACD=ADC=60-，BCE=，ABC=60，ABE=ADC=60-，BEC=60，AEC=BEC；（4）当 060 时， CD=2DE+AE，证明：在 CD 上截取 BG=BE，第 24 页，共 26 页BEC=60，BGE 是等边三角形，BGC=AED=120，BCE=DAE=，BCGDAE（AAS），AE=CG，EG=BE=DE，CD=2DE+CG，即 CD=2DE+AE（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形它可以作为 判定一个三角形是否 为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形
37、的特殊情况在等边三角形中，腰和底、 顶角和底角是相对而言的（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键28.【答案】B【解析】解：（1） r=1，根据“友好点” 的定义，OB=2r=2，点 B 是 O“友好点”，OC=3 2r=2，不是 O“友好点” ，A（1，0）在O 上，不是O“友好点”，故答案为 B；如图，第 25 页，共 26 页设 M（m，- m+2 ），根据 “友好点”的定义，OM= 2，整理，得 2m2-2
38、 m0，解得 0m ；点 M 的横坐 标 m 的取值范围：0m ；（2）B（0，2），C（3，3），D ，T 的圆心为 T（t，-1），点 N 是 T“友好点”，NT2r=2，点 N 只能在线段 BD 上运动， 过点 T 作 TNBD 于 N，作 THy 轴，与 BD交于点 H易知 BDO=30，OBD=60，NT= HT，第 26 页，共 26 页B（0，2），D ，直线 BD：y=- x+2，H（t，- t+2 上），HT=- t+2-（-1）=- t+3，NT= HT= （- t+3）=- t+ ，- t+ 2，t-4+3 ，当 H 与点 D 重合时，点 T 的横坐标等于点 D 的横坐标
39、，即 t=3 ，此时点 N 不是“ 友好点” ，t 3 ，故圆心 T 的横坐标 t 的取值范围：-4+3 t （1）根据“友好点”的定义， OB=2r=2 ，所以点 B 是 O“友好点” ；设 M（m，- m+2），根据“友好点”的定义，OM= 2，解得 0m ；（2）B（0，2），C（3，3），D ，T 的圆心为 T（t，-1），点 N 是T“友好点”，NT2r=2，所以点 N 只能在线段 BD 上运动， 过点 T 作 TNBD 于 N，作THy 轴，与 BD 交于点 H易知BDO=30 ，OBD=60，NT= HT，直线BD：y=- x+2，H（t，- t+2 上），HT=- t+2-（-1）=- t+3，NT= HT=（- t+3）=- t+ ，解出 t 的范围本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键
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