1、 1 第三章 函数 第六节 二次函数的综合应用 （建议时间：_分钟）1. 已知抛物线 C1：yax 2 bx2 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（4，0），与 y 轴交于点 C，顶点为D.（1）求抛物线 C1 的表达式；（2）连接 BC，设抛物线 C1 的对称轴与线段 BC 相交于点 E，求点 E 的坐标；（3）将抛物线 C1 沿 y 轴向上平移 m 个单位，得到抛物线 C2，设抛物线 C2 的顶点为 D2，是否存在点D2，使得D 2AC 是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .2. 已知抛物线 C1：y x 22x3 的顶点为 M，与 x 轴交于 A、B 两点（点
2、 A 在点 B 的左侧）.（1）求点 A 和点 M 的坐标；（2）求抛物线 C1 绕点 A 旋转 180后得到的抛物线 C2 的函数表达式；（3）点 P 是 x 轴负半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 P 旋转 180得到新的抛物线 C3.若抛物线 C3 的顶点为 N，与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），当以点 C、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 P 的坐标. 2 3. （2018 陕师大附中模拟）已知二次函数 yax 2bx 3 经过 A（1，0）、B（3，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）若该二次函数与 y 轴相交于点 C，将该抛物线进行平移，使得平
3、移后的抛物线经过点 C，在平移后的抛物线上是否存在点 M，使得以 A、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由.4. （2018 西安铁一中模拟）二次函数 yax 2bx c（a0）的顶点为 A（5，4），与 x 轴交于 B（2，0）.（1）求二次函数的表达式；（2）将原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转 180，得到的新抛物线与 x 轴的一个交点为 C，若新抛物线上存在一点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点且以 AB 为边的四边形为菱形，求新抛物线的表达式. 3 5. （2018 西安铁一中模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，1），抛物线
4、 yx 2bxc 经过点B（4， 5）和点 C（5，0）.（1）求抛物线的表达式；（2）连接 AB，BC，求ABC 的正切值；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 D，使得 SABD S ABC ？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.6. （2018 西安高新一中模拟）已知抛物线 C1：y ax 2bxc（a0）经过 A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D 为 OC 中点.（1）求抛物线 C1 的函数表达式；（2）将抛物线 C1 向左或向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线为 C2，C 2 的对称轴为 l，顶点为 P，C 2 与 y 轴交于点 E，P 点在 y
5、轴右侧，过 E 作 l 的垂线交 l 于点 F，是否存在这样的 m，使得ODB 与 PEF 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 4 参考答案及解析1. 解：(1)抛物线 C1 的表达式为 y x2 x2；12 32(2)如解图，由抛物线 C1 的表达式为 y x2 x2 得，12 32对称轴为直线 x ，C(0，2)，32设线段 BC 所在的直线表达式为 ykxb(k0) ，代入点 B(4，0)，C (0，2)得 ，解得 ，4k b 0b 2) k 12b 2)线段 BC 所在的直线表达式为 y x2，12将 x 代入直线 y x2 得 y ，32 12 54点 E 的坐标为
6、( ， )；32 54第 1 题解图(3)存在由抛物线 y x2 x2 可得点 D 的坐标为( ， )，12 32 32 258抛物线 C2 是由抛物线 C1 沿 y 轴竖直向上平移 m 个单位得到的，点 D2 的坐标为( ，m )，32 258A(1，0) ， C(0，2)，AC 25，AD 22( )2(m )2，CD 22( )2(m 2)2，52 258 32 258ACD 2 是等腰三角形，则有() AC2 AD22，即 5( )2( m )2，此时方程无解；52 258()AC 2CD 22，即 5( )2( m 2) 2，解得 m1 ，m 2 ；32 258 9 4118 9 4
7、118()AD 22CD 22，即( )2(m )2( )2( m 2) 2，解得 m3 .52 258 32 258 258 5 综上所述，当D 2AC 是等腰三角形时，m 的值为 或 或 .9 4118 9 4118 2582. 解：(1)点 M 的坐标为(1，4)，点 A 的坐标是(1，0) ；(2)由(1)得点 A 的坐标是(1，0)，则点 B 的坐标为(3，0)，AB4，抛物线 C1 绕点 A 旋转 180后得到抛物线 C2，抛物线 C2 与 x 轴另一交点坐标为( 5，0)，且与抛物线 C1 的开口方向相反，即抛物线 C2 的函数表达式为 y( x1)(x5)x 26x5；(3)将
8、抛物线 C1 绕点 P 旋转 180后得到抛物线 C3，抛物线 C3 的顶点 N 的纵坐标是 4，点 P 是 x 轴负半轴上一动点，顶点 N 的横坐标小于 0，当以点 C、M、N 为顶点的三角形是直角三角形时，分MCN90 和MNC90两种情况讨论：当MCN90 时，如解图，设点 N 的坐标为(m，4)(m 0)，过点 N 作 NEx 轴于点 E，则点 E 的坐标为(m，0) ，则 NM264(m1) 2，CN 24 2( )220，CM 2(m 3) 216，42NM2CN 2CM 2，即 64( m1) 220(m3) 216，解得 m5，点 N 的坐标为(5，4)，点 N、M 关于点 P
9、 对称，点 P 的坐标为(2，0) ；第 2 题解图当MNC90 时，如解图，设点 N 的坐标为(n，4)(n0) ，过点 N 作 NEx 轴，则点 E 的坐标为(n，0)，则 NM264(n1) 2，CN 220，CM 2(n3) 216，CM2CN 2NM 2，即( n3) 2162064(n1) 2，解得 n15，点 N 的坐标为(15，4)，点 N、M 关于点 P 对称，点 P 的坐标为(7，0) 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(2，0) 、(7，0) 6 第 2 题解图3. 解：(1)二次函数的表达式为 yx 22x3；(2)存在，如解图，满足题意的点 M 有 M1(4，3)
10、，M 2(4，3) 和 M3(2，3)当平移后的抛物线经过点 C、 M1 时，设此时抛物线的解析式为 yx 2b 1x3，将点 M1 的坐标代入得16 4b133，解得 b14，该抛物线的解析式为 yx 24x 3( x2) 27，yx 22x 3( x1) 24，将原抛物线向左平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的抛物线 yx 24x3 满足题意；同理，当平移后的抛物线经过点 C、M 2 时，易得其解析式为 yx 24x3( x2) 27，将抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的抛物线 yx 24x3 满足题意；当平移后的抛物线经过点 C、 M3 时
11、，易得其解析式为 yx 2x3( x )2 ，12 134将原抛物线向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的抛物线 yx 2x3 满足题意32 14第 3 题解图4. 解：(1)二次函数的表达式为 y x2 x ；49 409 649(2)点 A(5，4)，B( 2，0) ，AB5，以点 A、B 、C、D 为顶点且以 AB 为边的四边形是菱形，分以下两种情况讨论：当 CD 在 x 轴上方时，以 A、B 、C、D 为顶点且以 AB 为边的四边形为菱形，且点 C 在 x 轴上，ABAC5，当点 C 在点 B 左侧时，点 A 为原抛物线的顶点，由抛物线对称性可知，点 C 为原抛物线与 x
12、轴的另一个交点，如解图，C(8，0)，此时，点 D 与点 A 关于 x 轴对称，D(5，4)此时新抛物线的表达式为 y (x5) 24；49当点 C 在点 B 右侧时，此时点 C 与点 B 重合，不合题意； 7 第 4 题解图当 CD 在 x 轴下方时，BCAB5，分点 C 在点 B 的右侧和左侧两种情况，如解图，当点 C 在点 B的右侧时，点 C的坐标(3 ，0) ，当点 C为新抛物线的顶点时，以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形，根据原抛物线绕平面直角坐标系中的某一点旋转 180得到新抛物线，新抛物线的表达式为 y (x3) 2；49同理，当点 C 在点 B 的左侧时，点 C的坐标为
13、(7，0) ，新抛物线的表达式为 y (x7) 2.49综上所述，新抛物线的表达式为 y (x5) 24 或 y (x3) 2 或 y (x7) 2.49 49 495. 解：(1)该抛物线的表达式为 yx 24x5；(2)由 A， B，C 三点的坐标，可得 AB2(0 4) 2( 15) 252，AC2(05) 2 (10) 226，BC2(45) 2 (50) 226，AB 2AC 2 BC2，且 AC BC，ABC 是等腰直角三角形，且ABC 45 ，tanABCtan451；(3)存在点 D 使得 SABD S ABC ，点 D 的坐标为(2， )或 (2， )172 92【解法提示】
14、抛物线的对称轴为直线 x 2，直线 AB 的解析式为 y x1，对称轴42（ 1） 32与直线 AB 的交点坐标为(2 ，2) SABC ACBC 13.12 12 26 26设点 D 的坐标为(2，m)，则 |m2|2 |m2| 213，解得 m 或 m .12 12 172 92故点 D 的坐标为(2， )或(2， )172 926. 解：(1)抛物线 C1 的函数表达式为 yx 22x3；(2)存在由抛物线 C1：y x 22x3(x1) 24，可得其顶点坐标为(1，4)，OCOB3，点 D 是 OC 的中点，OD OC OB.12 12如解图，将抛物线 C1 向右平移 m 个单位时，得
15、到抛物线 C2 为：y(x1m) 24x 22(1m) x(1m) 24，则点 P 的坐标为(1m，4) ，对称轴为直线 x1m ， 8 点 E 的坐标为(0，4(1 m) 2)，则 EF1m， PF44(1 m )2(1 m )2.DOB PFE90，若DOB EFP，则 ，即 ，解得 m1；DOOB EFFP 12 1 m（1 m）2若DOB PFE, 则 ，即 ，解得 m (舍)；DOOB PFFE 12 （1 m）21 m 12如解图，将抛物线 C1 向左平移 m 个单位时，得到抛物线 C2 为：y(x1m) 24x 22(1m) x(1m) 24，则点 P 的坐标为(1m，4) ，对称轴为直线 x1m ，点 E 的坐标为(0，4(1 m) 2)，点 P 在 y 轴的右侧， 1m 0，即 m1，则 0m1.则 EF1m， PF44(1 m )2(1 m )2，DOB PFE90，若DOB EFP，则 ，即 ，解得 m1(舍)；DOOB EFFP 12 1 m（1 m）2若DOB PFE，则 ，即 ，解得 m .DOOB PFEF 12 （1 m）21 m 12综上所述，这样的 m 有两个， m 的值分别为 1 或 .12第 6 题解图
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