1、2019年中考数学六月考前最后一练：四边形1如图，已知在 ABC中， D， E， F分别是 AB， BC， AC的中点，连结 DF， EF， BF（1）求证：四边形 BEFD是平行四边形；（2）若 AFB90， AB6，求四边形 BEFD的周长【解答】 （1）证明： D， E， F分别是 AB， BC， AC的中点， DF BC， EF AB， DF BE， EF BD，四边形 BEFD是平行四边形；（2）解： AFB90， D是 AB的中点， AB6， DF DB DA AB3，四边形 BEFD是平行四边形，四边形 BEFD是菱形， DB3，四边形 BEFD的周长为 122在菱形 ABCD中
2、，点 P是 BC边上一点，连接 AP，点 E， F是 AP上的两点，连接DE， BF，使得 AED ABC， ABF BPF求证：（1） ABF DAE；（2） DE BF+EF【解答】证明：（1）四边形 ABCD是菱形， AB AD， AD BC， BOA DAE， ABC AED， BAF ADE， ABF BPF， BPA DAE， ABF DAE， AB DA， ABF DAE（ ASA） ；（2） ABF DAE， AE BF， DE AF， AF AE+EF BF+EF， DE BF+EF3如图，在正方形 ABCD中，点 E是 BC的中点，连接 DE，过点 A作 AG ED交 DE
3、于点 F，交 CD于点 G（1）证明： ADG DCE；（2）连接 BF，证明： AB FB【解答】解：（1）四边形 ABCD是正方形， ADG C90， AD DC，又 AG DE， DAG+ ADF90 CDE+ ADF， DAG CDE， ADG DCE（ ASA） ；（2）如图所示，延长 DE交 AB的延长线于 H， E是 BC的中点， BE CE，又 C HBE90， DEC HEB， DCE HBE（ ASA） ， BH DC AB，即 B是 AH的中点，又 AFH90，Rt AFH中， BF AH AB4如图，在四边形 ABCD中， AD BC，延长 BC到 E，使 CE BC，
4、连接 AE交 CD于点 F，点F是 CD的中点求证：（1） ADF ECF（2）四边形 ABCD是平行四边形【解答】证明：（1） AD BC， DAF E，点 F是 CD的中点， DF CF，在 ADF与 ECF中， ， ADF ECF（ AAS） ；（2） ADF ECF， AD EC， CE BC， AD BC， AD BC，四边形 ABCD是平行四边形5如图，正方形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O， E是 OC上一点，连接 EB过点 A作AM BE，垂足为 M， AM与 BD相交于点 F求证： OE OF【解答】证明：四边形 ABCD是正方形 BOE AOF90， OB OA
5、又 AM BE， MEA+ MAE90 AFO+ MAE， MEA AFO BOE AOF（ AAS） OE OF6如图，点 E在 ABCD内部， AF BE， DF CE（1）求证： BCE ADF；（2）设 ABCD的面积为 S，四边形 AEDF的面积为 T，求 的值【解答】解：（1）四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， AD BC， ABC+ BAD180， AF BE， EAB+ BAF180， CBE DAF，同理得 BCE ADF，在 BCE和 ADF中， ， BCE ADF（ ASA） ；（2）点 E在 ABCD内部， S BEC+S AED SABCD，由（1）知： B
6、CE ADF， S BCE S ADF， S 四边形 AEDF S ADF+S AED S BEC+S AED SABCD， ABCD的面积为 S，四边形 AEDF的面积为 T， 27我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于 3） ，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形（1）已知凸五边形 ABCDE的各条边都相等如图 1，若 AC AD BE BD CE，求证：五边形 ABCDE是正五边形；如图 2，若 AC BE CE，请判断五边形 ABCDE是不是正五边形，并说明理由
7、：（2）判断下列命题的真假 （在括号内填写“真”或“假” ）如图 3，已知凸六边形 ABCDEF的各条边都相等若 AC CE EA，则六边形 ABCDEF是正六边形；（ 真 ）若 AD BE CF，则六边形 ABCDEF是正六边形 （ 真 ）【解答】 （1）证明：凸五边形 ABCDE的各条边都相等， AB BC CD DE EA，在 ABC、 BCD、 CDE、 DEA、 EAB中， ， ABC BCD CDE DEA EAB（ SSS） ， ABC BCD CDE DEA EAB，五边形 ABCDE是正五边形；解：若 AC BE CE，五边形 ABCDE是正五边形，理由如下：在 ABE、 B
8、CA和 DEC中， ， ABE BCA DEC（ SSS） ， BAE CBA EDC， AEB ABE BAC BCA DCE DEC，在 ACE和 BEC中， ， ACE BEC（ SSS） ， ACE CEB， CEA CAE EBC ECB，四边形 ABCE内角和为 360， ABC+ ECB180， AB CE， ABE BEC， BAC ACE， CAE CEA2 ABE， BAE3 ABE，同理： CBA D AED BCD3 ABE BAE，五边形 ABCDE是正五边形；（2）解：若 AC CE EA，如图 3所示：则六边形 ABCDEF是正六边形；真命题；理由如下：凸六边形
9、ABCDEF的各条边都相等， AB BC CD DE EF EA，在 AEF、 CAB和 ECD中， ， AEF CAB ECD（ SSS） ， F B D， FEA FAE BAC BCA DCE DEC， AC CE EA， EAC ECA AEC60，设 F B D y， FEA FAE BAC BCA DCE DEC x，则 y+2x180， y2 x60，+得：2 y240， y120， x30， F B D120， FEA FAE BAC BCA DCE DEC30， BAF BCD DEF30+30+60120， F B D BAF BCD DEF，六边形 ABCDEF是正六边形
10、；故答案为：真；若 AD BE CF，则六边形 ABCDEF是正六边形；真命题；理由如下：如图 4所示：连接 AE、 AC、 CE，在 BFE和 FBC中， ， BFE FBC（ SSS） ， BFE FBC， AB AF， AFB ABF， AFE ABC，在 FAE和 BCA中， ， FAE BCA（ SAS） ， AE CA，同理： AE CE， AE CA CE，由得 ：六边形 ABCDEF是正六边形；故答案为：真8在平面直角坐标系中， O为原点，点 A（6，0） ，点 B在 y轴的正半轴上， ABO30矩形 CODE的顶点 D， E， C分别在 OA， AB， OB上， OD2（）如
11、图，求点 E的坐标；（）将矩形 CODE沿 x轴向右平移，得到矩形 C O D E，点 C， O， D， E的对应点分别为 C， O， D， E设 OO t，矩形 C O D E与 ABO重叠部分的面积为 S如图，当矩形 C O D E与 ABO重叠部分为五边形时， C E， E D分别与AB相交于点 M， F，试用含有 t的式子表示 S，并直接写出 t的取值范围；当 S5 时，求 t的取值范围（直接写出结果即可） 【解答】解：（）点 A（6，0） ， OA6， OD2， AD OA OD624，四边形 CODE是矩形， DE OC， AED ABO30，在 Rt AED中， AE2 AD8，
12、 ED 4 ， OD2，点 E的坐标为（2，4 ） ；（）由平移的性质得：O D2， E D4 ， ME OO t， D E O C OB， E FM ABO30，在 Rt MFE中， MF2 ME2 t， FE t， S MFE ME FE t t ， S 矩形 C O D E O D E D24 8 ， S S 矩形 C O D E S MFE 8 ， S t2+8 ，其中 t的取值范围是：0 t2；当 S 时，如图所示：OA OA OO6 t， AOF90， AFO ABO30， OF OA （6 t） S （6 t） （6 t） ，解得： t6 ，或 t6+ （舍去） ， t6 ；当
13、S5 时，如图所示：OA6 t， DA6 t24 t， OG （6 t） ， DF （4 t） ， S （6 t）+ （4 t）25 ，解得： t ，当 S5 时， t的取值范围为 t6 9已知：如图，在四边形 ABCD中， AB CD， ACB90， AB10 cm， BC8 cm， OD垂直平分 A C点 P从点 B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点 P作 PE AB，交 BC于点 E，过点 Q作 QF AC，分别交 AD， OD于点 F， G连接 OP， EG设运动时
14、间为 t（ s） （0 t5） ，解答下列问题：（1）当 t为何值时，点 E在 BAC的平分线上？（2）设四边形 PEGO的面积为 S（ cm2） ，求 S与 t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一 时刻 t，使四边形 PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OE OQ？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在 Rt ABC中， ACB90， AB10 cm， BC8 cm， AC 6（ cm） ， OD垂直平分线段 AC， OC OA3（ cm） ， DOC90， CD A
15、B， BAC DCO， DOC ACB， DOC BCA， ， ， CD5（ cm） ， OD4（ cm） ， PB t， PE AB，易知： PE t， BE t，当点 E在 BAC的平分线上时， EP AB， EC AC， PE EC， t8 t， t4当 t为 4秒时，点 E在 BAC的平分线上（2）如图，连接 OE， PCS 四边形 OPEG S OEG+S OPE S OEG+（ S OPC+S PCE S OEC） （4 t） 3+ 3（8 t）+ （8 t） t 3（8 t） t2+ t+16（0 t5） （3）存在 S （ t ） 2+ （0 t5） ， t 时，四边形 OPE
16、G的面积最大，最大值为 （4）存在如图，连接 OQ OE OQ， EOC+ QOC90， QOC+ QOG90， EOC QOG，tan EOCtan QOG， ， ，整理得：5 t266 t+1600，解得 t 或 10（舍弃）当 t 秒时， OE OQ10如图，在正方形 ABCD中， AB10 cm， E为对角线 BD上一动点，连接 AE， CE，过 E点作 EF AE，交直线 BC于点 F E点从 B点出发，沿着 BD方向以每秒 2cm的速度运动，当点 E与点 D重合时，运动停止，设 BEF的面积为 ycm2， E点的运动时间为 x秒（1）求证： CE EF；（2）求 y与 x之间关系的
17、函数表达式，并写出自变量 x的取值范围；（3）求 BEF面积的最大值【解答】 （1）证明：过 E作 MN AB，交 AD于 M，交 BC于 N，四边形 ABCD是正方形， AD B C， AB AD， MN AD， MN BC， AME FNE90 NFE+ FEN， AE EF， AEF AEM+ FEN90， AEM NFE， DBC45， BNE90， BN EN AM， AEM EFN（ AAS） ， AE EF，四边形 ABCD是正方形， AD CD， ADE CDE， DE DE， ADE CDE（ SAS） ， AE CE EF；（2）解：在 Rt BCD中，由勾股定理得： BD
18、 10 ，0 x5 ，由题意得： BE2 x， BN EN x，由（1）知： AEM EFN， ME FN， AB MN10， ME FN10 x， BF FN BN10 x x102 x， y 2 x2+5 x（0 x5 ） ；（3）解： y2 x2+5 x2（ x ） 2+ ，20，当 x 时， y有最大值是 ；即 BEF面积的最大值是 11阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边 ABC中， M是 BC边上一点（不含端点 B， C） ， N是 ABC的外角 ACH的平分线上一点，且 AM MN求证： AMN60点拨：如图，作 CBE60， BE与 NC的延长线相交于点 E，得
19、等边 BEC，连接EM易证： ABM EBM（ SAS） ，可得 AM EM，12；又 AM MN，则 EM MN，可得34；由3+14+560，进一步可得125，又因为2+6120，所以5+6120，即 ： AMN60问题：如图，在正方形 A1B1C1D1中， M1是 B1C1边上一点（不含端点 B1， C1） ， N1是正方形 A1B1C1D1的外角 D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1 M1N1求证： A1M1N190【解答】解：延长 A1B1至 E，使 EB1 A1B1，连接 EM1C、 EC1，如图所示：则 EB1 B1C1， EB1M1 中90 A1B1M1， EB1C1是等腰
20、直角三角形， B1EC1 B1C1E45， N1是正方形 A1B1C1D1的外角 D1C1H1的平分线上一点， M1C1N190+45135， B1C1E+ M1C1N1180， E、 C1、 N1，三点共线，在 A1B1M1和 EB1M1中， ， A1B1M1 EB1M1（ SAS） ， A1M1 EM1，12， A1M1 M1N1， EM1 M1N1，34，2+345，4+545，125，1+690，5+690， A1M1N1180909012如图 1，在矩形 ABCD中， AB8， AD10， E是 CD边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD沿 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC边上点 F
21、处，延长 AE交 BC的延长线于点 G（1）求线段 CE的长；（2）如图 2， M， N分别是线段 AG， DG上的动点（与端点不重合） ，且 DMN DAM，设 AM x， DN y写出 y关于 x的函数解析式，并求出 y的最小值；是否存在这样的点 M，使 DMN是等腰三角形？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图 1中，四边形 ABCD是矩形， AD BC10， AB CD8， B BCD90，由翻折可知： AD AF10 DE EF，设 EC x，则 DE EF8 x在 Rt ABF中， BF 6， CF BC BF1064，在 Rt EFC中，则有：（8 x
22、） 2 x2+42， x3， EC3（2）如图 2中， AD CG， ， ， CG6， BG BC+CG16，在 Rt ABG中， AG 8 ，在 Rt DCG中， DG 10， AD DG10， DAG AGD， DMG DMN+ NMG DAM+ ADM， DMN DAM， ADM NMG， ADM GMN， ， ， y x2 x+10当 x4 时， y有最小值，最小值2存在有两种情形：如图 31 中，当 MN MD时， MDN GMD， DMN DGM， DMN DGM， ， MN DM， DG GM10， x AM8 10如图 32 中，当 MN DN时，作 MH DG于 H MN D
23、N， MDN DMN， DMN DGM， MDG MGD， MD MG， BH DG， DH GH5，由 GHM GBA，可得 ， ， MG ， x AM8 综上所述，满足条件的 x的值为 8 10 或 13问题情境：如图 1，在正方形 ABCD中， E为边 BC上一点（不与点 B、 C重合） ，垂直于AE的一条直线 MN分别交 AB、 AE、 CD于点 M、 P、 N判断线段 DN、 MB、 EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图 2，若垂足 P恰好为 AE的中点，连接 BD，交 MN于点 Q，连接 EQ，并延长交边 AD于点 F求 AEF的度数；（2）如图
24、 3，当垂足 P在正方形 ABCD的对角线 BD上时，连接 AN，将 APN沿着 AN翻折，点 P落在点 P处，若正方形 ABCD的边长为 4， AD的中点为 S，求 PS的最小值问题拓展：如图 4，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 M、 N分别为边 AB、 CD上的点，将正方形 ABCD沿着 MN翻折，使得 BC的对应边 BC恰好经过点 A， CN交 AD于点 F分别过点 A、 F作 A G MN， FH MN，垂足分别为 G、 H若 AG ，请直接写出 FH的长【解答】问题情境：解：线段 DN、 MB、 EC之间的数量关系为： DN+MB EC；理由如下：四边形 ABCD是正方形， A
25、BE BCD90， AB BC CD， AB CD，过点 B作 BF MN分别交 AE、 CD于点 G、 F，如图 1所示：四边形 MBFN为平行四边形， NF MB， BF AE， BGE90， CBF+ AEB90， BAE+ AEB90， CBF BAE，在 ABE和 BCF中， ， ABE BCF（ ASA） ， BE CF， DN+NF+CF BE+EC， DN+MB EC；问题探究：解：（1）连接 AQ，过点 Q作 HI AB，分别交 AD、 BC于点 H、 I，如图 2所示：四边形 ABCD是正方形，四边形 ABIH为矩形， HI AD， HI BC， HI AB AD， BD是
26、正方形 ABCD的对角线， BDA45， DHQ是等腰直角三角形， HD HQ， AH QI， MN是 AE的垂直平分线， AQ QE，在 Rt AHQ和 Rt QIE中， ，Rt AHQRt QIE（ HL） ， AQH QEI， AQH+ EQI90， AQE90， AQE是等腰直角三角形， EAQ AEQ45，即 AEF45；（2）连接 AC交 BD于点 O，如图 3所示：则 APN的直角顶点 P在 OB上运动，设点 P与点 B重合时，则点 P与点 D重合；设点 P与点 O重合时，则点 P的落点为O， AO OD， AOD90， ODA ADO45，当点 P在线段 BO上运动时，过点 P
27、作 PG CD于点 G，过点 P作 P H CD交 CD延长线于点 H，连接 PC，点 P在 BD上， AP PC，在 APB和 CPB中， ， APB CPB（ SSS） ， BAP BCP， BCD MPA90， PCN AMP， AB CD， AMP PNC， PCN PNC， PC PN， AP PN， PNA45， PNP90， P NH+PNG90， P NH+ NP H90， PNG+ NPG90， NPG P NH， PNG NP H，由翻折性质得： PN P N，在 PGN和 NHP中， ， PGN NHP（ ASA） ， PG NH， GN PH， BD是正方形 ABCD的
28、对角线， PDG45，易得 PG GD， GN DH， DH PH， PDH45，故 PDA45，点 P在线段 DO上运动；过点 S作 SK DO，垂足为 K，点 S为 AD的中点， DS2，则 PS的最小值为 ；问题拓展：解：延长 AG交 BC于 E，交 DC的延长线于 Q，延长 FH交 CD于 P，如图 4：则 EG AG ， PH FH， AE5，在 Rt ABE中， BE 3， CE BC BE1， B ECQ90， AEB QEC， ABE QCE， 3， QE AE ， AQ AE+QE ， AG MN， AGM90 B， MAG EAB， AGM ABE， ，即 ，解得： AM
29、，由折叠的性质得： AB EB3， B B90， C BCD90， BM ， AC1， BAD90， BAM CFA， AFC MAB， ，解得： AF ， DF4 ， AG MN， FH MN， AG FH， AQ FP， DFP DAQ， ，即 ，解得： FP ， FH FP 14如图，在矩形 ABCD中， AB6， BC8，点 E是 BC的中点，点 P为对角线 BD上的动点，设 BP t（ t0） ，作 PH BC于点 H，连接 EP并延长至点 F，使得 PF PE，作点 F关于BD的对称点 G， FG交 BD于点 Q，连接 GH， GE（1）求证： EG PQ；（2）当点 P运动到对角
30、线 BD中点时，求 EFG的周长；（3）在点 P的运动过程中， GEH是否可以为等腰三角形？若可以，求出 t的值；若不可以，说明理由【解答】 （1）证明：如图 1， F、 G关于 BD对称， FG BD， FQ QG， PF PE， PQ是 EFG的中位线， EG PQ；（2）解： PH BC， DC BC， PH DC， ，当 P为 BD的中点时，即 BP PD， BH CH，此时 E与 H重合，如图 2， PH DC AB 63， EF2 PE6，Rt BCD中， BC8， CD6， BD10， BCD的周长6+8+1024， EG BD， G PQF90 C， PFQ CBD， BCD
31、FGE， ，即 ， EFG的周长 ；（3）解：Rt BPH中， BP tcos PBH ， BH t E是 BC的中点 BE CE BC4在点 P的运动过程中， GEH可以为等腰三角形，有以下三种情况：当 EH EG4 t时，如图 3，Rt EMG中，cos MEG ， EM EG （4 t）5 t， BM BE EM4（5 t） t1，由（1）知： PQ EG2 t， BQ BP PQ t（2 t） t2，Rt BQM中，cos QBM ，即 ， t2；当 EG GH时，如图 4，过 G作 GK BC于 K， EK KG 2 t，cos KEG ， EG EK， ER EG EK EK （2 t） t， BR4 ER4 + t t+ ， PQ EG （2 t） t， BQ BP PQ t（ t） t ，Rt BQR中，cos QBR ，即 ， t ；当 EH EG时，如图 5，延长 FG交 BC于 K，EH EG4 t， PQ2 t， BQ t+PQ2+ t，Rt EGK中，cos GEK ，EK 5 t，BK4+5 t9 t，Rt BQK中，cos QBK ， ， t ，综上， t的值为 2或 或
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