1、2019 年江西省九江市赣北中考联盟中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（本大题共 6 小题，共 18 分）1 （3 分）2 的绝对值等于（ ）A B C2 D22 （3 分）下列计算正确的是（ ）A + 3 B （ab） 2a 2b 2Ca 2+a3a 5 D （2a 2b3） 36a 6b33 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D4 （3 分）小明用手机软件记录了最近 30 天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5天数 3 9 5 a b小明这 30 天平均每天走 1.3 万步，在每天所走的
2、步数中，众数和中位数分别是（ ）A1.3，1.3 B1.4，1.3 C1.4，1.4 D1.3，1.45 （3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c 的图象，有下面四个结论：abc0；ab+c 0；2a+3b0；c4b0其中，正确的结论是（ ）A B C D6 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 是对角线 AC 上的一点，连接 DE，过点E 作 EFDE，交 AB 于点 F，连接 DF 交 AC 于点 G，下列结论：DEEF；ADF AEF；DG 2GE GC；若 AF1，则 EG ，其中结论正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 6 小题，每小题
3、3 分，共 18 分）7 （3 分）分解因式：2a 28a+8 8 （3 分）2019 年 3 月 5 日召开十三届全国人大二次会议，政府工作报告中提到 2012 年我国的贫困人口为 9899 万人，2018 年减少到 1660 万人，连续 6 年平均每年减贫 1300 多万人，将数据 1300 万用科学记数法可表示为 9 （3 分）已知 a，b 是一元二次方程 x2+x40 的两个不相等的实数根，则 a2b 10 （3 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根
4、竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示） ，它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸） ，则竹竿的长为 11 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边AOB 的边长为 10，点 C 在边 OA 上，点 D 在边 AB 上，且 OC3BD反比例函数 y （k0）的图象恰好经过 C、D 两点，则 k 的值为 12 （3 分）如图，已知ABC 中，ABAC 5，BC 8，若 ABC 沿射线 BC 方向平移 m个单位得到DEF ，顶点 A，B，C 分别与 D，E，F 对应，若以点 A，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则 m 的值
5、是 三、 （本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 30 分）13 （3 分） （1）先化简 ，再选择一个合适的 x 值代入求值（2）如图所示，已知点 A，D ，B，E 在同一条直线上，且ADBE，BC EF，ABCDEF，求证：ACDF 14解不等式组： 并将该不等式的解集在数轴上表示出来15如图，在ABCD 中，点 E 为边 BC 上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图 1 中，作 EFAB 交 AD 于点 F；（2）在图 2 中，若 ABBC，作一矩形，使得其面积等于ABCD 的一半16为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设
6、了 A：课后作业辅导、B：书法、C：阅读、D：绘画、E：器乐，五门课程供学生选择；其中 A（必选项目） ，再从 B、C、D、E 中选两门课程（1）若学生小玲第一次选一门课程，直接写出学生小玲选中项目 E 的概率；（2）若学生小强和小明在选项的过程中，第一次都是选了项目 E，那么他俩第二次同时选择书法或绘画的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果17如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点A，与反比例函数 y 在第二象限内的图象交于点 C，CEx 轴，tan ABO ，OB4， OE2（1）求一次函数与反比例函数的解
7、析式；（2）若点 D 是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点 D 作 DFy 轴，垂足为点F，连接 OD、BF ，如果 SBAF 4S DFO ，求点 D 的坐标四、 （本大题共 3 小题，每小题 0 分，共 24 分）18为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看；B由爷爷奶奶照看；C由叔姨等近亲照看； D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图（1）该班共有 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有 240
8、0 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？19如图（1）是一款手机支架，忽略支管的粗细，得到它的简化结构图如图（2）所示已知支架底部支架 CD 平行于水平面，EFOE， GFEF，支架可绕点 O 旋转，OE20 cm，EF20 cm如图（3）若将支架上部绕 O 点逆时针旋转，当点 G 落在直线 CD 上时，测量得EOG 65（1）求 FG 的长度（结果精确到 0.1） ；（2）将支架由图（3）转到图（4）的位置，若此时 F、O 两点所在的直线恰好于 CD 垂直，点 F 的运动路线的长度称为点 F 的路径长，求点 F 的路径
9、长（参考数据：sin650.91， cos650.42，tan652.14，1.73）20如图，O 是ABC 的外接圆，C 60，AD 是O 的直径，Q 是 AD 延长线上的一点，且 BQAB （1）求证：BQ 是O 的切线；（2）若 AQ6求O 的半径；P 是劣弧 AB 上的一个动点，过点 P 作 EFAB，EF 分别交 CA、CB 的延长线于E、F 两点，连接 OP，当 OP 和 AB 之间是什么位置关系时，线段 EF 取得最大值？判断并说明理由五、 （本大题共 2 小题，每小题 0 分，共 18 分）21为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动
10、的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示甲种客车 乙种客车载客量/（人/辆） 30 42租金/（元/辆） 300 400（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？（2）设租用 x 辆乙种客车，租车总费用为 w 元，请写出 w 与 x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，租用乙种客车不少 5 辆，你能得出哪
11、几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由22已知二次函数 yax 22ax 2 的图象（记为抛物线 C1）顶点为 M，直线 l：y2xa与 x 轴，y 轴分别交于 A，B（1）对于抛物线 C1，以下结论正确的是 ；对称轴是：直线 x1；顶点坐标（1，a2） ；抛物线一定经过两个定点（2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的函数关系；（3）将二次函数 yax 22ax2 的图象 C1 绕点 P（t ，2）旋转 180得到二次函数的图象（记为抛物线 C2） ，顶点为 N当 2x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的增大而减小，求 t 的取值范围；当
12、 a 1 时，点 Q 是抛物线 C1 上的一点，点 Q 在抛物线 C2 上的对应点为 Q，试探究四边形 QMQN 能否为正方形？若能，求出 t 的值，若不能，请说明理由六、 （本大题共 12 分）23 【操作发现】如图 ，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上（1）请按要求画图：将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为 C，连接 BB；（2）在（1）所画图形中，ABB 【问题解决】如图 ，在等边三角形 ABC 中，AC 7，点 P 在ABC 内，且APC90，BPC120，求APC 的面积小明同学通过观察、分析
13、、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60，得到APB，连接 PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系；想法二：将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，连接 PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程 （一种方法即可）【灵活运用】如图 ，在四边形 ABCD 中，AEBC ，垂足为E，BAEADC，BECE2，CD5，AD kAB （k 为常数） ，求 BD 的长（用含k 的式子表示） 2019 年江西省九江市赣北中考联盟中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（
14、本大题共 6 小题，共 18 分）1 （3 分）2 的绝对值等于（ ）A B C2 D2【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可【解答】解：根据绝对值的性质，|2|2 故选：D【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，难度适中2 （3 分）下列计算正确的是（ ）A + 3 B （ab） 2a 2b 2Ca 2+a3a 5 D （2a 2b3） 36a 6b3【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则进而计算得出答案【解答】解：A、 + 2 + 3 ，故此选项正确；B、 （ab）
15、 2a 22ab+b 2，故此选项错误；C、a 2+a3，无法计算，故此选项错误；D、 （2a 2b3） 38a 6b9，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是不轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键
16、是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4 （3 分）小明用手机软件记录了最近 30 天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5天数 3 9 5 a b小明这 30 天平均每天走 1.3 万步，在每天所走的步数中，众数和中位数分别是（ ）A1.3，1.3 B1.4，1.3 C1.4，1.4 D1.3，1.4【分析】先求得 a，b 的值，再根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答【解答】解：根据题意得 ，解得 ，数据 1.4 出现的次数最多为 11 次，众数为 1.4；将该组数据排
17、序后，第 15、16 个两个数都是 1.3，中位数为第 15 个和第 16 个数的平均数，即中位数是 （1.3+1.3）1.3，故选：B【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求5 （3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c 的图象，有下面四个结论：abc0；ab+c 0；2a+3b0；c4b0其中，正确的结论是（ ）A B C D【分析】根据抛物线开口方向得到 a0；根据对称轴得到 x 0，则 b0；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，则 abc0，可判断正确；当自变量
18、为1时对应的函数图象在 x 轴上方，则 ab+c0，可判断正确；根据抛物线对称轴方程得到 x ，则 2a+3b0，可判断错误；当自变量为 2 时对应的函数图象在x 轴上方，则 4a+2b+c0，把 2a3b 代入可对进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0；抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，x 0，b0；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，abc0，所以 正确；x1 时，y 0，ab+c0，所以正确；x ，2a+3b0，所以错误；x2 时，y0，4a+2b+c0，把 2a3b 代入得6b+2b+c0，c4b0，所以 正确故选：C【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 ya
19、x 2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） 6 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 是对角线 AC 上的一点，连接 DE，过点E 作 EFDE，交 AB 于点 F，连接 DF 交 AC 于点 G，下列结论：DEEF；ADF AEF；DG 2GE GC；若 AF1，则 EG ，其中结论正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】证明DCEBCE，得 DEBE，证出 EFBE ，则结论正确；易证EDFDFE45，又DAC45，AGDEGF，则ADFAEF，故正确；证出DGECGD，由比例线段可得
20、出结论 DG2GEGC，正确；先求出CE 长，将DEC 绕点 A 逆时针旋转 90得到DMA ，连接 MG，易证DMGDEG， AMG 是直角三角形，得出 EG2AG 2+CE2，设 EGx，则列出方程可求出EG ，则 正确【解答】解：如图，连接 BE，四边形 ABCD 为正方形，CBCD，BCEDCE45，在BEC 和DEC 中，DCEBCE（SAS） ，DEBE，CDECBE ，ADEABE，DAB90，DEF 90，ADE+AFE180，AFE +EFB180，ADEEFB，ABE EFB，EFBE，DEEF，故正确；DEF90，DE EF，EDFDFE45，DAC45，AGD EGF，
21、ADFAEF，故正确；GDE DCG45，DGECGD，DGE CGD， ，即 DG2GE CG，故正确；如图，过点 E 作 ENAB 于点 N，AF1，AB3，BF2，AC 3 ，BEEF，FNBN1，AN2， ， ，将DEC 绕点 A 逆时针旋转 90得到DMA，连接 MG，易证DMG DEG （SAS） ，AMG 是直角三角形，MG GE，MG 2 EG2 AM2+AG2CE 2+AG2，设 EGx，则 AG2 x ， ，解得：x ，即 EG ，故 正确故选：D【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
22、题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （3 分）分解因式：2a 28a+8 2（a2） 2 【分析】首先提取公因式 2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案【解答】解：2a 28a+82（a 24a+4）2（a2） 2故答案为：2（a2） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键8 （3 分）2019 年 3 月 5 日召开十三届全国人大二次会议，政府工作报告中提到 2012 年我国的贫困人口为 9899 万人，2018 年减少到 1660 万
23、人，连续 6 年平均每年减贫 1300 多万人，将数据 1300 万用科学记数法可表示为 1.310 7 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 1300 万用科学记数法可表示为 1.3107故答案为：1.310 7【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9 （
24、3 分）已知 a，b 是一元二次方程 x2+x40 的两个不相等的实数根，则 a2b 5 【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出 a2+a4、a+b1，将其代入 a2ba 2+a（a+ b）中，即可求出结论【解答】解：a，b 是一元二次方程 x2+x40 的两个不相等的实数根，a 2+a4，a+b1，a 2ba 2+a（a+ b）4（1）5故答案为：5【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系找出 a2+a4、a+b1 是解题的关键10 （3 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知
25、其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示） ，它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸） ，则竹竿的长为 四丈五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺，竹竿的影长一丈五尺15 尺，标杆长一尺五寸1.5 尺，影长五寸0.5 尺， ，解得 x45（尺） ，45 尺四丈五尺故答案为：四丈五尺【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键11 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xO
26、y 中，等边AOB 的边长为 10，点 C 在边 OA 上，点 D 在边 AB 上，且 OC3BD反比例函数 y （k 0）的图象恰好经过 C、D 两点，则 k 的值为 9 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 BDa，则OC3a，根据等边三角形的性质结合解含 30 度角的直角三角形，可得出点 C、D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a、k 的值，此题得解【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图所示设 BDa，则 OC3aAOB 为边长为 10 的等边三角形，COEDBF60，OB10在
27、Rt COE 中， COE60 ，CEO90，OC3a ，OCE30，OE OC a，CE OE a，点 C（ a， a） 同理，可求出点 D 的坐标为（ 10 a， a） 反比例函数 y （k 0）的图象经过点 C 和点 D，k a a（10 a） a，a2，k9 故答案为 9 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含 30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含 30 度角的直角三角形，求出点C、D 的坐标是解题的关键12 （3 分）如图，已知ABC 中，ABAC 5，BC 8，若 ABC 沿射线 BC 方向平移 m个单位得到DEF ，顶点 A，B，C
28、 分别与 D，E，F 对应，若以点 A，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则 m 的值是 5 或 8 或 【分析】已知ADE 是等腰三角形，所以可以分 3 种情况讨论：当 ADAE 时，ADE 是等腰三角形作 AMBC，垂足为 M，利用勾股定理列方程可得结论；当ADDE 时，四边形 ABED 是菱形，可得 m5；当 AEDE 时，此时 C 与 E 重合，m8【解答】解：分 3 种情况讨论：当 ADAE 时，如图 1，过 A 作 AMBC 于 M，ABAC5， BM BC 4，AM3，由平移得：ABDE ，ABDE，四边形 ABED 是平行四边形，ADBEm ，AEm，EM4m，在 Rt A
29、EM 中，由勾股定理得：AE 2AM 2+EM2，m 23 2+（4 m） 2，m ，当 DEAE 时，如图 2，同理得：四边形 ABED 是平行四边形，ADBEEDAB5，即 m5；当 ACDE 时，如图 3，此时 C 与 E 重合，m8；综上所述：当 m 或 5 或 8 时，ADE 是等腰三角形故答案为： 或 5 或 8【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出 BE 的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键三、 （本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 30
30、分）13 （3 分） （1）先化简 ，再选择一个合适的 x 值代入求值（2）如图所示，已知点 A，D ，B，E 在同一条直线上，且ADBE，BC EF，ABCDEF，求证：ACDF 【分析】 （1）先化简分式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得；（2）证ABCDEF 得AEDF，从而得证【解答】解：（1）原式 ，取 x4，原式 ；（2）证明：ADBE ，AD+ BDBE+BD，ABDE ，又BCEF， ABC DEF，ABCDEF（SAS）AEDF ，ACDF【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及全等三角形的判定与性质14解不等式组： 并
31、将该不等式的解集在数轴上表示出来【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式，得 x4，解不等式 ，得 x4，所以不等式组的解集为4x4，将解集在数轴上表示如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键15如图，在ABCD 中，点 E 为边 BC 上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图 1 中，作 EFAB 交 AD 于点 F；（2）在图 2 中，若 AB
32、BC，作一矩形，使得其面积等于ABCD 的一半【分析】 （1）连接 AC 和 BD，它们的交点为 0，延长 EO 并延长交 AD 于 F，则 F 点为所作；（2）延长 EO 交 AD 于 G，连接 CG、ED 交于点 P，作直线 OP 交 AB 于 H，交 CD 于F，则四边形 EHGF 为所作【解答】解：（1）如图 1，F 点就是所求作的点；（2）如图 2，矩形 EGFH 就是所求作的四边形【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
33、，逐步操作也考查了平行四边形的判定与性质16为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了 A：课后作业辅导、B：书法、C：阅读、D：绘画、E：器乐，五门课程供学生选择；其中 A（必选项目） ，再从 B、C、D、E 中选两门课程（1）若学生小玲第一次选一门课程，直接写出学生小玲选中项目 E 的概率；（2）若学生小强和小明在选项的过程中，第一次都是选了项目 E，那么他俩第二次同时选择书法或绘画的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果【分析】 （1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择书法或绘画的
34、结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）若学生小玲第一次选一门课程，学生小玲选中项目 E 的概率 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择书法或绘画的结果数为 2，所以他俩第二次同时选择书法或绘画的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率17如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点A，与反比例函数 y 在第二象限内的图象交于点 C，CEx 轴，tan ABO ，OB
35、4， OE2（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点 D 是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点 D 作 DFy 轴，垂足为点F，连接 OD、BF ，如果 SBAF 4S DFO ，求点 D 的坐标【分析】 （1）由条件可求得 OA，由AOBCEB 可求得 CE，则可求得 C 点坐标，代入反比例函数解析式可求得 m 的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出 D 的坐标，从而可分别表示出 BAF 和DFO 的面积，由条件可列出方程，从而可求得 D 点坐标【解答】解：（1）tanABO ， ，且 OB4，OA2，CEx 轴，即 CEAO ，AOBCEB， ，即 ，解得 CE3，C（2，3
36、） ，m236，反比例函数解析式为 y ；OA2，OB4，A（0，2） ，B（4，0） ，代入 ykx+b 得 ，解得 ，一次函数的解析式为 y x+2；（2）设 D（x， ） ，D 在第四象限，DFx，OF ，S DFO DFOF x 3，由（1）可知 OA2，AF2+ ，S BAF AFOB （2+ ）42（2+ ） ，S BAF 4S DFO ，2（2+ ）43，解得 x ，当 x 时， 的值为4，D（ ，4） 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用 D 点坐标表示出BAF 和DFO 的面积是解题的关键
37、四、 （本大题共 3 小题，每小题 0 分，共 24 分）18为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看；B由爷爷奶奶照看；C由叔姨等近亲照看； D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图（1）该班共有 10 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 144 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【分析】 （1）依据 C 类型的人数
38、以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据 B类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据 D 类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据 D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益【解答】解：（1）220% 10（人） ，100%360144，故答案为：10，144；（2）102422（人） ，如图所示：（3）2400 20%96（人） ，答：估计该校将有 96 名留守学生在此关爱活动中受益【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表
39、示出每个项目的数据19如图（1）是一款手机支架，忽略支管的粗细，得到它的简化结构图如图（2）所示已知支架底部支架 CD 平行于水平面，EFOE， GFEF，支架可绕点 O 旋转，OE20 cm，EF20 cm如图（3）若将支架上部绕 O 点逆时针旋转，当点 G 落在直线 CD 上时，测量得EOG 65（1）求 FG 的长度（结果精确到 0.1） ；（2）将支架由图（3）转到图（4）的位置，若此时 F、O 两点所在的直线恰好于 CD 垂直，点 F 的运动路线的长度称为点 F 的路径长，求点 F 的路径长（参考数据：sin650.91， cos650.42，tan652.14，1.73）【分析】
40、（1）作 GMOE 可得矩形 EFGM，设 FGxcm，可知EFGM 20 cm，OM （20x）cm，根据 tanEOG 列方程可求得 x 的值；（2）RTEFO 中求出 OF 的长及EOF 的度数，由EOG 度数可得旋转角FOF度数，根据弧长公式计算可得【解答】解：（1）如图，作 GMOE 于点 M，FEOE ，GFEF，四边形 EFGM 为矩形，设 FGxcm，EFGM 20 cm，FGEMxcm，OE20cm，OM（ 20 x）cm ，在 RTOGM 中，EOG 65 ，tanEOG ，即 tan65，解得：x3.8cm；故 FG 的长度约为 3.8cm（2）连接 OF，在 Rt EF
41、O 中，EF 20 ，EO 20，FO 40，tanEOF ，EOF60，FOG EOGEOF 5，又GOF 90，FOF85，点 F 在旋转过程中所形成的弧的长度为： cm【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系20如图，O 是ABC 的外接圆，C 60，AD 是O 的直径，Q 是 AD 延长线上的一点，且 BQAB （1）求证：BQ 是O 的切线；（2）若 AQ6求O 的半径；P 是劣弧 AB 上的一个动点，过点 P 作 EFAB，EF 分别交 CA、CB 的延长线于E、F 两点，连接 OP，当 OP 和
42、 AB 之间是什么位置关系时，线段 EF 取得最大值？判断并说明理由【分析】 （1）根据同弧所对的圆周等于圆心角的一半，结合等腰三角形的性质，可求OBQ 90；（2） 设出半径，表示出 OQ，运用三角函数建立方程即可求解；过点 C 作 CHEF，垂足为 H，交 AB 于点 K，推理出“EF 随着 HK 的增大而增大，当 HK 取最大值时，EF 取最大值”即可求解【解答】解：如图 1，（1）连接 OB，C60，AOB120，OAOB ，OABOBA30，BQAB，QOAB30，ABQ120，OBQ 90 ，BQ 是 O 的切线；（2） 设圆的半径为 r，则 OQ6r ，由（1）知，Q30， OB
43、Q90， sin30 ，解得：r2；如图 2，当 OP 垂直平分 AB 时，线段 EF 取得最大值；理由如下：由（1）知，AQ6，QBAQ30，可求 AB ，过点 C 作 CH EF，垂足为 H，交 AB 于点 K，EFAB，CKAB，ABCEFC， ，EF + ，易知：CK 是定值，所以，EF 随着 HK 的增大而增大，当 HK 取最大值时，EF 取最大值，当点 P 为劣弧 AB 的中点时，HK 最大，此时 OP 垂直平分 AB【点评】此题主要考查圆的综合问题，会证明圆的切线，会运用方程思想解决问题，熟悉等腰三角形的性质并灵活运用，会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键五、 （本大题共
44、2 小题，每小题 0 分，共 18 分）21为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示甲种客车 乙种客车载客量/（人/辆） 30 42租金/（元/辆） 300 400（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？（2）设租用 x 辆乙种客车，租车总费用为 w 元，请写出 w 与 x 之间的函
45、数关系式；（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，租用乙种客车不少 5 辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由【分析】 （1）设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有 2 名老师，且要保证 300 名师生有车坐，可得租用客车总数；（2）由租用 x 辆乙种客车，得甲种客车数为：（8x）辆，由题意得出w400x+300（8x ）即可；（3）由题意得出 400x+300（8x）3100，且 x5，得出 x 取值范围，分析得出即可【解答】解：（1）设老师有 x 名，学生有 y 名依题意，列方程组 ，解得： ，每辆客车上至少要有 2 名老师，汽车总数不能超过 8 辆；又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 （取整为 8）辆，综合起来可知汽车总数为 8 辆；答：老师有 16 名，学生有 284 名；租用客车总数为 8 辆（2）租用 x 辆乙种客车，甲种客车数为：（8x）辆，w400x+30
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