1、备考 2019 中考数学高频考点剖析 动态几何之最值问题考点扫描聚焦中考动态几何中的最值问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双（多）动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面，总体来看，难度系数中游水平，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以几何图形的综合应用为主。结合 2017、2018 年全国各地中考的实例和 2019 年名校中考模拟试题，我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨：（1）包括单动点形成的最值问题，（2）双（多）动点形成的最值问题，（3）线动形成的最值问题，（4）面动形成的最值问题。考点剖析典型例题例
2、1（2018四川省攀枝花3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足SPAB = S 矩形 ABCD，则点 P 到 A.B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为 解：设ABP 中 AB 边上的高是 hS PAB = S 矩形 ABCD， ABh= ABAD，h= AD=2，动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离在 RtABE 中，AB=4，AE=2+2=4，BE= = =4 ，即 PA+PB 的最小值为4 故答案为：4 例 2
3、如图：（1）观察猜想：在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 在边 BC 上，连接 AD，把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90，点 D 落在点 E 处，如图所示，则线段 CE 和线段 BD 的数量关系是_，位置关系是_（2）探究证明：在（1）的条件下，若点 D 在线段 BC 的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图中画出图形，并证明你的判断（3）拓展延伸：如图，BAC90，若 ABAC，ACB=45，AC= ，其他条件不变，过点 D 作 DFAD 交 CE于点 F，请直接写出线段 CF 长度的最大值【考点】几何图形的动态问题 【解析】【解答】解：（1）如图AB=AC，BA
4、C=90，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，AD=AE，BAD=CAE，BADCAE，CE=BD，ACE=B，BCE=BCA+ACE=90，BDCE；故答案为：CE=BD，CEBD【分析】（1）由旋转可知对应边、对应角相等，从而可以判断 CE 与 BD 的数量与位置关系；（2）与（1）的思路一致，先通过旋转的性质证得BADCAE，从而可以判断 CE 与 BD 的数量与位置关系；（3）过 A 作 AMBC 于 M，ENAM 于 N，由旋转的性质证得 RtAMDRtENA，从而可知AMC 为等腰直角三角形，进而可知四边形 MCEN 为平行四边形为矩形，即可知 RtAMDRtDCF，
5、利用对应线段成比例可用 DC 长 x 表示出 CF 的长度，再结合二次函数的顶点求得最值即可.【解析】（1）CE=BD；CEBD（2）解：（1）中的结论仍然成立理由如下：如图，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，AE=AD，DAE=90，AB=AC，BAC=90CAE=BAD，ACEABD，CE=BD，ACE=B，BCE=90，即 CEBD，线段 CE，BD 之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CEBD（3）解：如图 3，过 A 作 AMBC 于 M，ENAM 于 N，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AEDAE=90，AD=AE，NAE=ADM，易证得 RtA
6、MDRtENA，NE=AM，ACB=45，AMC 为等腰直角三角形，AM=MC，MC=NE，AMBC，ENAM，NEMC，四边形 MCEN 为平行四边形，AMC=90，四边形 MCEN 为矩形，DCF=90，RtAMDRtDCF， ，设 DC=x，ACB=45，AC= ，AM=CM=1，MD=1-x， ，CF=-x 2+x=-（x- ） 2+ ，当 x= 时有最大值，CF 最大值为 例 3 如图，已知二次函数 y= x2+bx 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于
7、点 E（1）试求出二次函数的表达式和点 B 的坐标； （2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】（1）将点 A（3，0）代入 y= x2+bx 即可求出 b 的值，从而求出抛物线的解析式，然后根据抛物线与 x 轴交点的坐标特点，将 y=0 代入抛物线的解析式，即可算出对应的自变量的值，从而得出 B 点的坐标；（2）
8、设 PA=t（3t0），则 OP=3t，如图 1，根据同角的余角相等得出DPA=PEO，从而判断出DAPPOE，根据相似三角形对应边成比例得出 APOE=ADPO,根据比例式即可建立出 OE与 t 的函数关系式，根据所得函数的性质即可解决问题；（3）存在当点 P 在 y 轴左侧时，如图 2，DE 交 AB 于 G 点，首先判断出DAPPOE，根据全等三角形的对应边相等得出 PO=AD=4，进而得出 PA=1，OE=1，根据平行线分线段成比例定理，由ADOE 得出 AGOG=ADOE=4,根据比例式求出 AG 的长，然后由三角形的面积计算方法算出 SDAG，从而得出答案 P 点坐标为（4，0），
9、此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 ；当 P 点在y 轴右侧时，如图 3，DE 交 AB 于 G 点，DP 与 BC 相交于 Q，同理可得DAPPOE，根据全等三角形的对应边相等得出 PO=AD=4，进而得出 PA=7，OE=7，根据平行线分线段成比例定理，由 ADOE得出 AGOG=ADOE= ， 从而得出 OG 的长，同理可得 BQ 的长，根据 S 四边形 DGBQ=SDGP- SOBP 即可算出面积得出答案。【答案】（1）解：将点 A（3，0）代入 y= x2+bx 得 3b =0，解得 b=1，二次函数的表达式为 y= x2+x ，当 y=0 时， x2+x =0，解得
10、x1=1，x 2=3，B（1，0）（2）解：设 PA=t（3t0），则 OP=3t，如图 1，DPPE，DPA=PEO，DAPPOE， = ，即 = ，OE= t2+ t= （t ） 2+ ，当 t= 时，OE 有最大值，即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 （3）解：存在当点 P 在 y 轴左侧时，如图 2，DE 交 AB 于 G 点，PD=PE，DPE=90，DAPPOE，PO=AD=4，PA=1，OE=1，P 点坐标为（4，0），从而得出答案ADOE， = =4，AG= ，S DAG = 4= ，P 点坐标为（4，0），此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 ；当 P 点
11、在 y 轴右侧时，如图 3，DE 交 AB 于 G 点，DP 与 BC 相交于 Q，同理可得DAPPOE，PO=AD=4，PA=7，OE=7，点 P 的坐标为（4，0），ADOE， = = ，OG= ，同理可得 BQ= S 四边形 DGBQ= （ +4）4- 3 = 当点 P 的坐标为（4，0）时，此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 考点过关专项突破类型一 单点运动形成的最值1. 如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 ，E 为 AB 的中点，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+AP 的最小值为 2 【分析】如图作 CEAB 于 E，甲 BD 于 P，连接
12、AC、AP首先证明 E与 E 重合，因为A、C 关于 BD 对称，所以当 P 与 P重合时，PA+PE 的值最小，由此求出 CE 即可解决问题【解答】解：如图作 CEAB 于 E，甲 BD 于 P，连接 AC、AP已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 ，AB=BC=4，ABCE=8 ，CE=2 ，在 RtBCE中，BE= =2，BE=EA=2，E 与 E重合，四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分 AC，A、C 关于 BD 对称，当 P 与 P重合时，PA+PE 的值最小，最小值为 CE 的长=2 ，故答案为 2 【点评】本题考查轴对称最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添
13、加常用辅助线，本题的突破点是证明 CE 是ABC 的高，学会利用对称解决最短问题2. （2018天津3 分）如图，在正方形 中，分别为 ， 的中点，为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）A. B. C. D. 【解析】分析：点 E 关于 BD 的对称点 E在线段 CD 上，得 E为 CD 中点，连接 AE，它与 BD 的交点即为点 P，PA+PE 的最小值就是线段 AE的长度；通过证明直角三角形 ADE直角三角形 ABF即可得解详解：过点 E 作关于 BD 的对称点 E，连接 AE，交 BD 于点 PPA+PE 的最小值 AE；E 为 AD 的中点，E为 CD 的中点，四
14、边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA，ABF=AD E=90,DE=BF，ABFAD E，AE=AF.故选 D.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题、正方形的性质此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”因此只要作出点 A（或点 E）关于直线 BD 的对称点 A（或 E），再连接 EA（或 AE）即可3. （2018四川宜宾3 分）在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最
15、小值为（ ）A B C34 D10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值DE=4，四边形 DEFG 为矩形，GF=DE，MN=EF，MP=FN= DE=2，NP=MNMP=EFMP=1，PF 2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10故选：D【点评】本题考查了点与
16、圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键4. （2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到ABD，则四边形 ADBC 的形状是 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF 的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可【解答】解：ABC 沿 AB 翻折得到ABD，AC=AD，BC=BD，AC=BC，AC=AD=BC=BD，四边形 A
17、DBC 是菱形，故答案为菱；如图作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，此时 PE+PF=ME，过点 A 作 ANBC，ADBC，ME=AN，作 CHAB，AC=BC，AH= ，由勾股定理可得，CH= ， ，可得，AN= ，ME=AN= ，PE+PF 最小为 ，故答案为 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键5. 已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点 顺时针旋转 ，如图 1，连接 （1）填空： _ ； （2）如图 1，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的长度； （3）如图
18、 2，点 ， 同时从点 出发，在 边上运动， 沿 路径匀速运动， 沿 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为 1.5 单位 秒，点 的运动速度为 1 单位 秒，设运动时间为 秒， 的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？ 【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，几何图形的动态问题，二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】（1）由旋转性质可知：OBOC，BOC60， OBC 是等边三角形，OBC60故答案为：60【分析】（1）由旋转性质可知：OBOC，BOC60，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形得出OBC 是等边
19、三角形，根据等边三角形的三个角都是 60即可得出OBC 的度数；（2）在 RtABO 中，根据含 30的直角三角形的边之间的关系得出 OA OB2，AB OA2 ， 由 SAOC OAAB 算出AOC 的面积，根据角的和差及等边三角形的性质得出 ABCABO+OBC 90， 在 RtABC 中，根据勾股定理算出 AC 的长，然后利用 SAOC ACOP 即可算出 OP 的长；（3） 当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E， 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 NEONsin60 = x，然后根据 SOMN 32OMNE
20、 建立出 y 与 x 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案； 当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 作 MHOB 于 H 则 BM81.5x， 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 MHBMsin60 = （81.5x），然后根据 SOMN ONMH 建立出32y 与 x 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案； 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动， 作 OGBC 于 GMN122.5x ，OGAB2 ， 然后根据 y MNOG 建立出 y 与 x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案，综上所述即可得出答案。【答案】 （1）60（2）解
21、：如图 1 中。 OB4，ABO30，OA OB2，AB OA2 ，S AOC OAAB 22 BOC 是等边三角形，OBC60，ABCABO+OBC90，AC ，OP （3）解：当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点E 则 NEONsin60 = x，32S OMN = OMNE 1.5x x，1232y x2 ， x 时，y 有最大值，最大值 当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动作 MHOB 于 H则 BM81.5x，MHBMsin60 = （81.5x），32y ONMH x2+2 x当 x 时，y 取最
22、大值，y ，当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 GMN122.5x，OGAB2 ，y MNOG12 x，当 x4 时，y 有最大值，最大值2 综上所述：y 有最大值，最大值为 6. （2018浙江省台州12 分）如图，在 RtABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D，E 分别在AC，BC 上，且 CD=CE（1）如图 1，求证：CAE=CBD；（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AECF；（3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求CGF 的面积【分析】（1）直接判断出ACEBCD 即可得出结论；（2）先判断出BCF
23、=CBF，进而得出BCF=CAE，即可得出结论；（3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，最后用面积公式即可得出结论【解答】解：（1）在ACE 和BCD 中， ，ACEBCD，CAE=CBD；（2）如图 2，在 RtBCD 中，点 F 是 BD 的中点，CF=BF，BCF=CBF，由（1）知，CAE=CBD，BCF=CAE，CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90，AMC=90，AECF；（3）如图 3，AC=2 ，BC=AC=2 ，CE=1，CD=CE=1，在 RtBCD 中，根据勾股定理得，BD= =3，点 F 是 BD 中点
24、，CF=DF= BD= ，同理：EG= AE= ，连接 EF，过点 F 作 FHBC，ACB=90，点 F 是 BD 的中点，FH= CD= ，S CEF = CEFH= 1 = ，由（2）知，AECF，S CEF = CFME= ME= ME， ME= ，ME= ，GM=EGME= = ，S CFG = CFGM= = 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出CFG 的边 CF 上的是解本题的关键类型二 双（多）动点形成的最值问题1. 已知ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10c
25、m，CD 为 AB 边上的高动点 P 从点 A 出发，沿着ABC的三条边逆时针走一圈回到 A 点，速度为 2cm/s，设运动时间为 ts.（1）求 CD 的长； （2）t 为何值时，ACP 为等腰三角形？ （3）若 M 为 BC 上一动点，N 为 AB 上一动点，是否存在 M，N 使得 AM+MN 的值最小，如果有请尺规作出图形（不必求最小值），如果没有请说明理由【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题，几何图形的动态问题 【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求出 AC2+BC2和 AB2值，即可判断ABC 是直角三角形，再利用直角三角形的面积=两直角边之积的一半=斜边斜边上的高，就
26、可求出 CD 的长。（2）分情况讨论：当点 P 在 BC 上，CA=CP 时，由 CP 的长，可求出 t 的值；当点 P 在 AB 上，CA=CP时，利用勾股定理求出 AD、DP、AP 的长，就可求出 t 的值；当 AC=AP 时；当 PA=PC 时，分别求出 t的值，综上所述，可得出 t 的值。（3）利用轴对称的知识可解答，作 A 点关于 BC 的对称点 A，过 A作 AB 的垂线 AN，垂足为N，交 BC 于 M 点，M、N 即为所求。【答案】（1）解：AC 2+BC2=36+64=100，AB 2=100，AC 2+BC2=AB2 ， ABC 是直角三角形， ACBC= ABCD，121
27、2解得，CD=4.8cm；（2）解：当点 P 在 BC 上，CA=CP 时，CP=6，则 t=122=6s，当点 P 在 AB 上，CA=CP 时，在 RtADC 中，AD= =3.6，如图，CA=CP，CD 为 AB 边上的高，DP=AP=3.6，则 t=（247.2）2=8.4，当 AC=AP 时，t=（246）2=9，当 PA=PC 时，如图，作 PHAC 于 H，则 AH=CH=3，HP= BC=5，12由勾股定理得，AP=5，则 t=（245）2=9.5，故当 t=6、8.4、9、9.5 时，ACP 为等腰三角形；（3）解：如图，作 A 点关于 BC 的对称点 A，过 A作 AB 的
28、垂线 AN，垂足为 N，交 BC 于 M 点，M、N 即为所求2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y x2 的图象与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,抛物线 yax 2bxc 关于直线 x 对称，且经过 B. C 两点，与 x 轴交于另一点为 A.（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,过点 P 作 PQx 轴于 M，交 AC 于 Q，求 PQ 的最大值，并求此时APC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上找出使ADC 为直角三角形的点 D,直接写出点 D 的坐标.【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分
29、析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 B,C 两点的坐标，根据抛物线的对称性求出 A 点的坐标，然后将 A,B,C 三点的坐标分别代入抛物线 yax2bxc 得出一个关于 a,b,c的三元一次方程组，求解得出 a,b,c 的值，从而得出抛物线的解析式；（2）根据直线上的点的坐标特点，用含 m 的式子表示出 Q 点的坐标，根据垂直于 x 轴的直线上的点的坐标特点及抛物线上的点的坐标特点用含 m 的式子表示出 P 点的坐标，根据两点间的距离公式表示出 PQ 的长，根据所得函数的性质即可解决问题,然后根据 SPBC S 梯形 OCPMS PMB S BOC 算出图形面积；（3）首先根据对称轴
30、上点的坐标特点设出 D 点的坐标为（ ，m），ADC 为直角三角形分三种情32况：当点 C 为直角顶点时：作 DMy 轴于 M，由CD 1MACO 对应边成比例得出 ,根据比例式即可求出 CM 的长，进而得出 uOM 的擦很难过，得出 D1点的坐标；同理当点 A 为直角顶点时可求 D2； 当点 D 为直角顶点时: 过 D3作 MNy 轴 ，由CD 3MD 3NA 对应边成比例得出根据比例式列出方程，求解即可求出 D3,D4的坐标，综上所述即可得出答案。【答案】（1）解：令 y x20，解得：x4，1即点 B 的坐标为(4,0).A、B 关于直线 x 对称， 点 A 的坐标为(1,0).32令
31、x0，则 y2，点 C 的坐标为(0,2)，抛物线 yax2bxc 经过点 A、 B、 C，有 解得： a ，b ，c2.123故抛物线解析式为 y x2 x2（2）解：直线 AC 的解析式为 y x2,即 xy20，1设点 Q 的坐标为(m， m2) ；则 P 点坐标为(m, m2 m2)，213PQ（ m2 m2）（ m2）131 m22m （m2） 221当 m2 时，PQ 最大 2此时点 P（2,3）S PBC S 梯形 OCPMS PMB S BOC 5344（3）解：假设存在,设 D 点的坐标为( ,5)，( ,5)，( ,1 )，( ,1 ).2232解法如下：设 D 点的坐标（
32、 ，m）3ADC 为直角三角形分三种情况：当点 C 为直角顶点时：作 DMy 轴于 M由CD 1MACO 可得： ,CM3 OM5 即 D1（ ,5）32同理当点 A 为直角顶点时可求 D2( ,5)当点 D 为直角顶点时: 过 D3作 MNy 轴由CD 3MD 3NA 可得： ，可得：n 22n 解得：n1 D3( ,1 ),D4( ,1 )故 D 点的坐标为( ,5)，( ,5)，( ,1 )，( ,1 )323232类型三 线动形成的最值问题1如图（1），在矩形 ABCD 中，BC=8，点 P 是 BC 边上一点，且 BP=3，点 E 是线段 CD 上的一个动点，把PCE 沿 PE 折叠
33、，点 C 的对应点为点 F，当点 E 与点 D 重合时，点 F 恰好落在 AB 上 （1）求 CD 的长； （2）若点 F 刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时，求线段 CE 的长； （3）请直接写出 AF 的最小值. 【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），几何图形的动态问题 【解析】【解答】（3）如图， 由题意知 PF=PC=5，则点 F 和点 C 在以点 P 为圆心，5 为半径的圆上，连结 AP，与P 交点即为所求点 F，AB=10，BP=3，AP= ，则 AE=AP-PF= .，故 AF 的最小值为 ，故答案为： .【分析】（1） 当点 E 与点 D 重合时，画出图形，利用折叠的性质，
34、 DF=DC=x, PC=PF=5，利用勾股定理求出 BF，用含 x 的代数式表示出 AF 的长，然后在 RtAFD 中，利用勾股定理建立关于 x 的方程，求出 x 的值即可。（2） 当点 F 落在 AD 得中垂线 MN 上时，画出图形， 作 FGDC 于点 G，利用勾股定理求出 FN，设CE=y，用含 y 的代数式表示出 CG、FN、GE，再在GEF 中，利用勾股定理建立关于 y 的方程，解方程求出 y 的值。（3）要使 AF 最小，当且仅当 A、F、P 在同一直线上时，画出图形，利用勾股定理求出 AP 的长，即可求出 AF 的长。【答案】 （1）解：当点 E 与点 D 重合时，如图 设 C
35、D=x， 由折叠可知：DF=DC=x, PC=PF=5, 在 RTPBF 中， BF= 则 AF=x-4， 在 RTAFD 中，A=90 由 AD2+AF2=DF2 得 解得：x=10,即 CD=10. （2）解：当点 F 落在 AD 得中垂线 MN 上时， 作 FGDC 于点 G，则 FG=4， 在 RTPNF 中， FN= 设 CE=y，CG=FN= ， GE= -y， 在 RTGEF 中，由 FG2+GE2=EF2 得：4 2+（ -y） 2=y2 解之得：y= (或 ) 要使 AF 最小，当且仅当点 A、F、P 在同一直线上 （3）解： . 2如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直
36、线 l： 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点B（0，1），抛物线 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4）DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； （3）M 是平面内一点，将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到A 1O1B1 ， 点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1 若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写
37、出点 A1的横坐标 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】（1）由题意把点 B（0，-1）代入直线 BC 的解析式可求得 m 的值，则直线 BC 的解析式可求解；再将点 C（4，n）代入直线 BC 的解析式可求得 n 的值，把点 B、C 的坐标代入二次函数的解析式即可求得 b、c 的值，则二次函数的解析式可求解；（2）由题意令 y=0 可求得点 A 的坐标； 在 RtOAB 中 ，用勾股定理可求得 AB 的长， 在矩形DFEG 中，EF=DEcosDEF 可将 EF 和 DF 用含 DE 的代数式表示；则 p=2（DF+EF） 也可用含 DE 的
38、代数式表示；而 点 D 的横坐标为 t（0t4）， 所以点 D、E 的坐标可用含 t 的代数式表示；则p 可用含 t 的二次函数表示出来，把二次函数配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；（3）由旋转的性质可得 A1O1y 轴时，B 1O1x 轴，设点 A1的横坐标为 x， 由题意分两种情况讨论即可求解：如图 1，点 O1、B 1在抛物线上时，点 O1的横坐标为 x，点 B1的横坐标为 x+1， 根据这两点的纵坐标相同可得关于 x 的方程，解方程即可求解；如图 2，点 A1、B 1在抛物线上时，点 B1的横坐标为 x+1，点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 ，根据这两点的纵坐标相同可得关于
39、x 的方程，解方程即可求解。【答案】 （1）解：直线 l：y= x+m 经过点 B（0，1）， m=1，直线 l 的解析式为 y= x1，直线 l：y= x1 经过点 C（4，n），n= 41=2，抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C（4，2）和点 B（0，1）， ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2 x1（2）解：令 y=0，则 x1=0， 解得 x= ，点 A 的坐标为（ ，0），OA= ，在 RtOAB 中，OB=1，AB= ，DEy 轴，ABO=DEF，在矩形 DFEG 中，EF=DEcosDEF=DE ，DF=DEsinDEF=DE ，p=2（DF+EF）=2（ ，点 D 的横
40、坐标为 t（0t4），D（t， t2 t1），E（t， t1），DE=（ t1）（ t2 t1）= t2+2t，p= （ t2+2t）= t2+ t，p= （t2） 2+ ，且 0，当 t=2 时，p 有最大值 ；（3）解：AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90， A 1O1y 轴时，B 1O1x 轴，设点 A1的横坐标为 x， 如图 1，点 O1、B 1在抛物线上时，点 O1的横坐标为 x，点 B1的横坐标为 x+1， x2 x1= （x+1） 2 （x+1）1，解得 x= ，如图 2，点 A1、B 1在抛物线上时，点 B1的横坐标为 x+1，点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 ， x2 x1= （x+1） 2 （x+1）1+ ，解得 x= ，综上所述，点 A1的横坐标为 或
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