1、2019 年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 改革开放 40 年来，我国高速铁路有无到有，实现高速发展，截止到 2018 年 11 月，我国高铁营业里程达到 29000 公里，超过世界高铁总里程的三分之二将 29000 用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 2.9104 2.9103 0.29105 291032. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（ ）A. a B. b C. c D. d3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱
2、D. 三棱锥4. 从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取出一个数，取出的数是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 15 25 35 455. 将一副三角尺按如图的方式摆放，则 的度数是（ ）A. 45B. 60C. 75D. 1056. 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）23A. B. C. D. 32 32 32 327. 如图，直线 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， AOB 绕点 A 顺时=43+4针旋转 90后得到 AOB，则点 B 的对应点 B的坐标为（ ）A. (3,4)B. (3,7)C. (7,3)D. (7,4)8. 如图，在平面直角坐标系 xOy
3、中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B是双曲线 （x 0）上的一个动点，当点 B 的横坐标逐渐增大时，=3OAB 的面积的变化规律为（ ）A. 保持不变B. 逐渐减小C. 逐渐增大D. 先增大后减小9. 如图，BC 是O 的直径，点 A，D 在O 上，如果D =36，那么BCA的度数是（ ）A. 36B. 45C. 54D. 7210. 在“书香校园”活动中，学习委员对本班所有学生一周阅读时间（单位：小时）进行了统计，绘制了统计图，如图所示，根据统计图提供的信息，下列推断正确的是（ ）A. 该班学生一周阅读时间为 12 小时的有 7 人 B. 该班学生一周阅读时间的众数是 11C.
4、该班学生一周阅读时间的中位数是 12 D. 该班学生共有 36 人二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）11. 若分式 的值是 0，则 x 的值为_212. 分解因式：m 2-2m+1=_13. 已知关于 x 的一元二次方程（k+1）x 2+3x+k2-1=0 有一个解为 x=0，则 k=_14. 2022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了 200 米，若斜坡与水平面的夹角为 ，则他下降的高度为_米（用含 的式子表示）15. 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=-1，则关
5、于 x 的方程ax2+bx+c=0（a0）的解为_16. 在平面直角坐标系中 xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数 y=-x2+a（a0）的图象在 x 轴上方的部分与 x 轴围成的区域（不含边界）为 W当 a=2 时，区域 W 内的整点个数为_，若区域 W 内恰有 7 个整点，则 a 的取值范围是_三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）17. 先化简，再求值： ，其中 (11+1)21 =7+1四、解答题（本大题共 9 小题，共 47.0 分）18. 计算： 12260(3.14)0+(12)119. 解不等式 ，并写出它的所有非负整数解121320. 孙子算经是中国古
6、代重要的数学著作之一其中记载的“百鹿入城”问题很有趣原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？大意为：现在有 100 头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完问城中共有多少户人家？21. 如图，在ABC 中，AB=AC ， A=36，以 B 为圆心，BC 为半径作弧，交 AC于点 D，连接 BD，求ABD 的度数22. 中国的发展离不开科学技术的进步，其中科研人员人数的多少是重要的指标之一以下是全国研究与试验发展人员人数统计表：（数据来源：国家统计局，新华网）年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018人数（单位：万人）
7、 353 371 376 388 403 418（1）用折线图将 2013-2018 年全国研究与试验发展人员人数表示出来，并在图中标明相应的数据；（2）根据统计图表中提供的信息，预估 2019 年全国研究与试验发展人员人数约为_万人，说明你的预估理由：_23. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E（1）求证：BD=BE；（2）连接 OE，若 AB=4，BC=6，求 OE 的长24. 如图，O 是ABC 的外接圆，CA =CB，连接 BO 并延长交 AC 于点 D（1）求证：C=2CBD；（2）若 AB=6，sinC=
8、 ，求O 的半径3525. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30，点 P 是 AB 边上一动点，连接 CP已知 AC=2cm，设 A，P 两点间的距离为xcm，C ，P 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点 A 重合时， x 的值为 0）小军根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组对应值，如表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm _ 1.8 1.7 1.8 _ 2.3 2.6 3 3.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的
9、表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，当 x=1 时，y 的准确值为 ，结合函数的图象，写出该函数的一条性3质：_26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-4ax+3 的顶点为P，与 y 轴的交点为 C（1）直接写出点 C 的坐标；（2）求点 P 的坐标；（用含 a 的式子表示）（3）过点 C 作 x 轴的平行线，与抛物线 y=ax2-4ax+3 的另一个交点为 D，与抛物线对称轴的交点为 N，若NC+ND+NP7，求 a 的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解：29000 用科学记数法表示应记为 2.9104， 故选：A科学记数法的表示形式为
10、 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10， n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值 以及 n 的值2.【答案】C【解析】解：由数 轴可得，离原点最近的点的是点 c， 绝对值最小的是点 c， 故选：C 根据绝对值的定义可知数轴上离原点的距离是这个数的绝对值，从而可以得到哪个数的绝对值最小，本题得以解决本题考查实数大小的比较、绝对值、 实
11、数与数轴，解题的关键是明确绝对值的定义，利用数形结合的思想解答问题3.【答案】A【解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体， 由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥 故选：A由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是圆锥4.【答案】B【解析】解：从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取出一个数，取出的数是偶数的概率= 故选：B 直接利用概率公式求解本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数5.【答案】D【解析】解：如
12、图：DEC=ABE=90，ABDE，AGD=D=30，=AHG=180-A-AGD=180-45-30=105，故选：D根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可本题考查的是平行线的判定和性质以及三角形的内角和的性质，掌握三角形的内角和是 180是解题 的关键6.【答案】A【解析】解：由题意得，2x-30，解得，x ，故选：A根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键7.【答案】D【解析】解：直 线 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，AOB 绕点 A 顺
13、时针旋转 90后得到 AOB，OA=OA，OB=OB，B点的横坐标为：OA+OB=OA+OB=7 ，纵坐标为：OB=4B（7，3）故选：D首先求出 A，B 两点坐标，AOB 绕点 A 顺时针旋转 90后得到 AOB，B点的横坐标是 A 的横坐标加 OB 的长度，纵坐标等于 OB 的长本题主要考查了一次函数与三角形结合的题目，能够图象和三角形结合是解答本题的关键8.【答案】B【解析】解：如图，作 BHOA 于 H，设点 B（x， ），其中 x0，则OAB 的面 积= ，OA 固定，点 B 的横坐标 逐渐增大，OAB 的面 积逐渐减少，故选：B 作 BHOA 于 H，设点 B（x， ），其中 x0
14、， 则 OAB 的面积= ，根据OA 固定，点 B 的横坐标逐渐增大，即可判断 OAB 的面积的变化情况本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用坐标表示出OAB 的面 积9.【答案】C【解析】解：BC 是直径， BAC=90， B=D=36， ACB=90-36=54， 故选：C 在 RtABC 中求出B 即可解决 问题本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10.【答案】D【解析】解：A 该班学生一周 阅读时间为 12 小时的有 6 人，此选项错误；B该班学生一周阅读时间 的众数是 13 小时，此选项错误 ；C
15、该班学生一周阅读时间 的中位数是第 18、19 个数据的平均数，即中位数为=13（小时），此选项错误；D该班学生共有 4+7+6+11+8=36（人），此 选项正确；故选：D结合折线统计图中的数据，依据众数、中位数的定义逐一判断即可得本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形 结合的思想解答11.【答案】2【解析】解：分式 的值是 0，x-2=0 且 x0，x=2故答案为：2根据分式的值为零的条件得到 x-2=0 且 x0，易得 x=2本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零12.【答案】（m-1） 2【解析】解：m 2-2m+1=
16、（m-1）2符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键13.【答案】1【解析】解：把 x=0 代入（ k+1）x2+3x+k2-1=0 得 k2-1=0，解得 k1=1，k2=-1， 而 k+10， 所以 k=1 故答案为 1把 x=0 代入（ k+1）x2+3x+k2-1=0 得 k2-1=0，再解关于 k 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定 k 的值本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解14.【答案】200sin【解析】解
17、：如图，设下滑的距离为 AB=200 米，下降的高度为线段 AC在 RtABC 中，AC=ABsin=200sin（米），故答案为 200sin如图，设下滑的距离为 AB=200 米，下降的高度为线段 AC解直角三角形求出 AC 即可；本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型15.【答案】x 1=-3，x 2=1【解析】解：抛物线的对称轴为直线 x=-1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（-3，0）， 即 x=1 或-3 时，函数值 y=0， 所以关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）的解为 x1=-3，x2=
18、1 故答案为 x1=-3，x2=1先利用抛物线的对称性写出抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（-3，0），然后根据抛物线与 x 轴的交点问题可得到关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）的解本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质16.【答案】1 3a4【解析】解：（1）当 a=2 时，函数 y=-x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（ - ，0），（，0），函数 y=-x2+2 的图象在 x 轴上方的部分与 x 轴围成的区域中，整数点有（-1，
19、1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在 W 区域内所以此时在区域 W 内的整数点有 1 个（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在 W 区域内只有 1 个整数点，边界上有 3 个整数点；当 a=3 时，在 W 区域内有 4 个整数点（-1 ，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3 个整数点（0，3），（-1 ，2），（1，2）；当 a=4 时，在 W 区域内有 7 个整数点（-1 ，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（-1，2），（1，2）；所以区域 W 内恰有 7 个整点， 3a4故本题答案是 1；3a4当 a=2 时，判断函数
20、 y=-x2+2 与 x 轴交点坐标，找到可能在 W 区域内的整数点，然后结合函数解析式判断点是否在 W 区域内；通过=2 能够得到在区域内整数点和在边界上的整数点，当 a=3 时，会将 a=2 的区域内和边界的整数点都包含在内，同时产生新的边界点，依此类推，可得到 a=4 时符合条件的整数点 7 个，从而判断 a 的范围本题考查函数图象上点的特征；二次函数与 x 轴交点的求法；坐标平面内的点与函数图象的关系本题的解题关键，当横坐 标确定时，纵坐 标在函数图象下时符合怎样的条件17.【答案】解：原式= +1(+1)(1)=a-1当 a= +1 时，7原式= 7【解析】根据分式的运算法则即可求出
21、答案本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型18.【答案】解：原式=2 -2 -1+2332= +13【解析】直接利用算术平方根的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键19.【答案】解：去分母得：3x-32x-1，移项、合并得：x2，所以不等式的所有非负整数解为 0，1【解析】先利用不等式的性质求出不等式的解集，再写出它的所有非负整数解即可本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键20.【答案】解：设城中共有 x 户人家，依题意得：，+3=100解得
22、：x=75，答：城中有 75 户人家【解析】100 头鹿分给城中人，是两次进行分发分完，第一次每家 1 头，共分掉 x 头；第二次 3 家一头，分剩下的总头数为 头本题是考查一元一次方程的应用，关键找出等量关系，难点是求剩下的鹿的总数就是城中总户人家数除以 321.【答案】解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=72，又 BC=BD，BDC=BCD=72，DBC=36，ABD=ABC-DBC=72-36=36【解析】在ABC 中可求得 ACB=ABC=72，在BCD 中可求得DBC=36，可求出 ABD本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用22.
23、【答案】433 近 2 年的研究与试验发展人员人数每年增加 15 万人左右【解析】解：（1）2013-2018 年全国研究与试验发展人员人数折线图如图所示：（2）因为从 2016 年到 2018 年研究与试验发展人员人数每年增加 15 万人左右，所以2019 年研究与试验发展人员人数约为 433 万人故答案为：433，近 2 年的研究与试验发展人员人数每年增加 15 万人左右（1）依据 2013-2018 年全国研究与试验发展人员统计表中给出的数据，即可得到折线统计图；（2）根据近 2 年的研究与试验发展人员人数每年增加 15 万人左右，即可解决问题本题主要考查了统计表、折线统计图的应用，关
24、键是正确从统计表中得到正确的信息，折线统计图表示的是事物的变化情况23.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AC=BD，ABCD，又 BEAC，四边形 ABEC 是平行四边形，AC=BE，BD=BE；（2）如图，过点 O 作 OFCD 于点 F，四边形 ABCD 是矩形，点 O 是 BD 的中点，即 OB=OD，OF 为BCD 的中位线，OF= BC=5，12又 四边形 ABEC 是平行四边形，BCD=90， AB=CE=DC=4CF=DF= CD=2，12EF=6在直角OEF 中，由勾股定理可得：OE = = =2 2+2 22+62 10【解析】（1）根据矩形的对角线相等可得 A
25、C=BD，对边平行可得 ABCD，再求出四边形 ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得 AC=BE，从而得 证； （2）如图，过点 O 作 OFCD 于点 F，欲求 OE，只需在直角 OEF 中求得 OF、FE 的值即可OF 结合三角形中位线 求得 EF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形 ABEC 是平行四边形是解题的关键24.【答案】解：（1）如图 1，连接 CO，AO，CA=CB，OA =OB，OC=OC，COACOB（SSS），ACO=BCO，OC=OB，BCO=CBD，C=2CBD；（2）如图
26、 2，作O 的直径 AK，连接 BK，则ABK =90，C=K，AB=6， sinC= ，35sinK= = ，356AK=10，O 的半径为 5【解析】（1）连接 CO，AO，可证COACOB，所以 ACO=BCO，因为 OC=OB，所以BCO=CBD，即可得出 C=2CBD； （2）作O 的直径 AK，连 接 BK，则 ABK=90，C=K，在 RtABK 中，利用锐角三角函数的定义即可得出O 的半径本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质， 锐角三角函数的定义作 O 的直径是解决（2）问的关键25.【答案】2 2 当 1x4 时，y 的值随 x 值的增大而增大（答案不唯一）【解析】解：
27、（1）当 x=0 时，y=AC=2；当 x=2 时，AP=AC=2，CAP=90-B=60，此时CAP 为等边三角形，y=AC=2故答案为：2；2（2）描点、连线，画出函数图象（3）观察函数图象，可知：当 1x4 时，y 的值随 x 值的增大而增大故答案为：当 1x4 时，y 的值随 x 值的增大而增大（答案不唯一）（1）当 x=0 时 ，点 A，P 重合，结合 AC 的长度可得出 y 值；当 x=2 时，由AP=AC，CAP=60可得出此时CAP 为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出 y的值；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出该函数的一条性质即可本题考查了等边三角形
28、的判定与性质、三角函数的图象以及性质，解题的关键是：（1）找准当 x=2 时，CAP 为等边三角形；（2）描点、 连线，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出函数的任一性质26.【答案】解：（1）令 x=0，y=3，C（0，3）（2）- =2，2令 x=2，y=3-4a，P（ 2，3-4a）（3）令 y=3，3=ax2-4ax+3，解得 x1=0，x 2=4，D（ 4， 3）， N（2，3），CN=2， ND=2，NC+ND+NP7，NP3，NP=|3-4a-3|=|-4a|，当 a0 时，4a3，0 a 34当 a0 时，-4a3，- a034综上所述：a 的取值范围为 0a 或- a034 34【解析】（1）令 x=0，即可得到点 C 的坐标 （2）根据对称轴公式得到点 P 的横坐标为 2，将 x=2 代入抛物线中，可得到点 P 的纵坐标 （3）令 y=3，求出点 D 的坐标，从而得到点 N 的坐标，再根据 NC+ND+NP7，得到 a 的取值范围此题考查了二次函数的性质，求出点 C、N、D 的坐 标，表示 PN 的长度，接下来根据 a的正负分两种情况讨论为解题关键
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