2019年江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟中考数学二模试卷（含答案解析）

1、2019 年江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟中考数学二模试卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1（3 分）方程 x2x 0 的解是（ ）Ax0 Bx1 Cx 10，x 21 Dx 10，x 212（3 分）已知 ，则 的值为（ ）A2 B2 C D3（3 分）已知O 的半径为 5cm，P 到圆心 O 的距离为 6cm，则点 P 在O（ ）A外部 B内部 C上 D不能确定4（3 分）一个扇形的圆心角是 120，面积为 3cm2，那么这个扇形的半径是（ ）A1cm B3cm C6cm D9cm5（3 分）已知 x1、x 2 是一元二次方程 x24x+10 的两个根，则 x1x2 等于（

2、）A4 B1 C1 D46（3 分）如图，PA、PB 切 O 于点 A、B，PA 10，CD 切O 于点 E，交 PA、PB 于C、D 两点，则PCD 的周长是（ ）A10 B18 C20 D227（3 分）如图所示，ABCACD，且 AB10cm， AC8cm，则 AD 的长是（ ）A6.4cm B6cm C2cm D4cm8（3 分）如图，A，B，C 是O 上三点，ACB25，则BAO 的度数是（ ）A50 B55 C60 D659（3 分）在二次函数 yax 2+bx+c，x 与 y 的部分对应值如表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经

3、过点（1，3）；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根其中正确的是（ ）A B C D10（3 分）如图，RtABC 中，ABBC ，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段 CP 长的最小值为（ ）A B2 C D二、填空题（每空 2 分，共 16 分）11（2 分）关于 x 的方程 是一元二次方程，则 a 的值是 12（2 分）在比例尺 1：500 的校园平面图上，学校篮球场的面积为 16.8cm2，那么篮球场的实际面积为 m 213（2 分）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的

4、美感某女老师上身长约 61.80cm，下身长约 93.00cm，她要穿约 cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到 0.01cm）14（2 分）已知二次函数 yx 2+4x+m 的部分图象如图，则关于 x 的一元二次方程x 2+4x+m0 的解是 15（2 分）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（AOB ）为120，OC 的长为 2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 16（2 分）如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为 A（0，3），B（3， 4），C（2，2）以点 B 为位似中

5、心，在网格内画出A 1B1C1，使A 1B1C1 与ABC 位似，且位似比为 2： 1，点 A1 的坐标是 17（2 分）一个边长为 3 的正六边形的外接圆的半径为 18（2 分）二次函数 y 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A 2，A 3An 在 y轴的正半轴上，点 B1，B 2，B 3Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C 2，C 3n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3四边形 An1 BnAnn 都是菱形，A 0B1A1A 1B2A2A 2B3A3A n1 BnAn60，菱形 An1 BnAn

6、n 的周长为 三、解答题（本大题共 10 题，共 84 分）19（8 分）解方程：（1）（2x+3） 2810（2）x 24x5020（8 分）已知关于 x 的方程 x2+mx+m20（1）若该方程的一个根为 1，求 m 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根21（6 分）（1）在ABC 中，BAC 60，BC 4 ，则ABC 面积的最大值是 （2）已知：ABC，用无刻度的直尺和圆规求作DBC，使BDC+A180，且BDDC（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注，作出一个符合题意的三角形即可）22（8 分）如图，在ABC 中，A

7、D 是角平分钱，点 E 在 AC 上，且EADADE（1）求证：DCEBCA；（2）若 AB3，AC4求 DE 的长23（6 分）小亮同学想利用影长测量学校旗杆 AB 的高度，如图，他在某一时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米，同时旗杆的投影一部分在地面上 BD 处，另一部分在某一建筑的墙上 CD 处，分别测得其长度为 9.6 米和 2 米，求旗杆 AB 的高度24（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，BAD 90，点 E 在 BC 的延长线上，且DECBAC（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 ACDE，当 AB12，CE3 时，求 AC 的长25（6 分）河上有一座抛

8、物线形的石拱桥，水面宽 6m 时，水面离桥拱顶部 3 米，因暴雨水位上升 1m，（1）求抛物线的解析式（2）一首装满货物的小船，露出水面部分的高为 0.5m，宽为 4m，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由26（10 分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为 200 元经过一段时间的销售发现，每月的销售量 y（台）与销售单价 x（元）的关系为 y2x+1000（1）该公司每月的利润为 w 元，写出利润 w 与销售单价 x 的函数关系式；（2）若要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为多少元？（3）公司要

9、求销售单价不低于 250 元，也不高于 400 元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？27（12 分）如图，矩形 AOBC，A（0，3）、B（6，0），点 E 在 OB 上，AEO 30，点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t秒（1）求点 E 的坐标；（2）当PAE 是等腰三角形时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PA 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形 AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值28（12 分）如图，二次函数 yx 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交

10、于点C，OBOC点 D 在函数图象上，CDx 轴，且 CD2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点（1）求 b、c 的值；（2）如图 ，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；（3）如图 ，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N试问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由2019 年江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题

11、3 分，共 30 分）1（3 分）方程 x2x 0 的解是（ ）Ax0 Bx1 Cx 10，x 21 Dx 10，x 21【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x 2x 0，x（x1）0，x0，x10，x10，x 21，故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键2（3 分）已知 ，则 的值为（ ）A2 B2 C D【分析】直接利用已知表示出 x，y 的值，进而代入计算得出答案【解答】解： ，设 x5a，y2a， 故选：D【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键3（3 分）已知O 的半径为 5c

12、m，P 到圆心 O 的距离为 6cm，则点 P 在O（ ）A外部 B内部 C上 D不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断【解答】解：O 的半径为 5cm，P 到圆心 O 的距离为 6cm，即 OP5，点 P 在 O 外故选：A【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有 3 种，设O 的半径为r，点 P 到圆心的距离 OPd ，则有：点 P 在圆外dr；点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr 4（3 分）一个扇形的圆心角是 120，面积为 3cm2，那么这个扇形的半径是（ ）A1cm B3cm C6cm D9cm【分析】根据扇形的面积公式：S 代入计算即可解决问题【解答】解：设

13、扇形的半径为 R，由题意：3 ，解得 R3，R0，R3cm，这个扇形的半径为 3cm故选：B【点评】本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S LR（L 是弧长，R 是半径），属于中考常考题型5（3 分）已知 x1、x 2 是一元二次方程 x24x+10 的两个根，则 x1x2 等于（ ）A4 B1 C1 D4【分析】直接根据根与系数的关系求解【解答】解：根据题意得 x1x21故选：C【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 6（3 分）如图，PA、PB 切 O 于点 A、B，PA 10，CD

14、切O 于点 E，交 PA、PB 于C、D 两点，则PCD 的周长是（ ）A10 B18 C20 D22【分析】根据切线长定理得出 PAPB10，CACE ，DEDB，求出PCD 的周长是PC+CD+PDPA +PB，代入求出即可【解答】解：PA、PB 切O 于点 A、B，CD 切 O 于点 E，PAPB10，CACE，DEDB，PCD 的周长是 PC+CD+PDPC+AC+DB +PDPA+PB10+1020故选：C【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出PCD 的周长PA+PB7（3 分）如图所示，ABCACD，且 AB10cm， AC8cm，则 AD 的长是（ ）A6.4cm B6c

15、m C2cm D4cm【分析】由ABCACD，且 AB10cm，AC8cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案【解答】解：ABCACD， ，AB10cm，AC8cm， ，AD6.4故选：A【点评】此题考查了相似三角形的性质注意相似三角形的对应边成比例8（3 分）如图，A，B，C 是O 上三点，ACB25，则BAO 的度数是（ ）A50 B55 C60 D65【分析】首先连接 OB，由 A，B，C 是 O 上三点，ACB25，利用圆周角定理，即可求得AOB 的度数，再利用等腰三角形的性质，即可求得答案【解答】解：连接 OB，ACB25，AOB2ACB 50，OAOB ，OABOBA 65

16、故选：D【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键9（3 分）在二次函数 yax 2+bx+c，x 与 y 的部分对应值如表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经过点（1，3）；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根其中正确的是（ ）A B C D【分析】结合图表可以得出当 x0 或 2 时，y0，x 3 时，y3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质【解答】解：由图表可以得出当 x0 或 2 时，y0，x3 时，y3，解得：yx 22x，c0

17、，图象经过原点，故正确；a10，抛物线开口向上，故错误；把 x1 代入得，y 3，图象经过点（1，3），故正确；抛物线的对称轴是 x1，x1 时，y 随 x 的增大而增大， x1 时，y 随 x 的增大而减小，故 错误；抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴有两个交点（0，0）、（2， 0）ax 2+bx+c0 有两个不相等的实数根，故正确；故选：B【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用10（3 分）如图，RtABC 中，ABBC ，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段 CP 长的

18、最小值为（ ）A B2 C D【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连接 OC 与O 交于点 P，此时 PC最小，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题【解答】解：ABC90，ABP +PBC 90，PAB PBC，BAP +ABP90，APB 90，OPOA OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连接 OC 交O 于点 P，此时 PC 最小，在 RTBCO 中，OBC 90，BC 4，OB 3，OC 5，PCOCOP532PC 最小值为 2故选：B【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点 P 位置，学

19、会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型二、填空题（每空 2 分，共 16 分）11（2 分）关于 x 的方程 是一元二次方程，则 a 的值是 1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为 2，二次项系数不等于 0，解答即可【解答】解：方程 是一元二次方程，a 2+12 且 a+10，a1 且 a1，a1，故答案为 a1【点评】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点12（2 分）在比例尺 1：500 的校园平面图上，学校篮球场

20、的面积为 16.8cm2，那么篮球场的实际面积为 420 m 2【分析】首先设篮球场的实际面积为 xcm2，根据比例尺的定义，即可得方程，解方程即可求得答案，注意统一单位【解答】解：设篮球场的实际面积为 xcm2根据题意得： ，解得：x4200000cm 2，4200000cm 2420m 2，篮球场的实际面积为 420m2故答案为：420【点评】此题考查了比例尺的定义解题的关键是根据题意列方程，注意统一单位13（2 分）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感某女老师上身长约 61.80cm，下身长约 93.00cm，她要穿约 7.00 cm 的高跟鞋才能达到

21、黄金比的美感效果（精确到 0.01cm）【分析】根据黄金比进行列方程计算【解答】解：设她要穿约 xcm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果根据题意，得 0.618，解得 x7.00故答案为：7.00【点评】此题考查了黄金比的运用，根据黄金比列出关于 x 的方程式解答此题的关键14（2 分）已知二次函数 yx 2+4x+m 的部分图象如图，则关于 x 的一元二次方程x 2+4x+m0 的解是 x 11，x 25 【分析】由二次函数 yx 2+4x+m 的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与 x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与 x 轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的

22、根的关系即可得到关于 x 的一元二次方程x 2+4x+m0 的解【解答】解：根据图示知，二次函数 yx 2+4x+m 的对称轴为 x2，与 x 轴的一个交点为（5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标与点（5，0）关于对称轴对称，即 x1，则另一交点坐标为（1，0）则当 x1 或 x5 时，函数值 y0，即x 2+4x+m0，故关于 x 的一元二次方程x 2+4x+m0 的解为 x11， x25故答案是：x 11，x 25【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点解答此题需要具有一定的读图的能力15（2 分）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量

23、角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（AOB ）为120，OC 的长为 2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 +2 （cm 2） 【分析】在 RtOBC 中求出 OB、BC ，然后求出扇形 OAB 及OBC 的面积即可得出答案【解答】解：AOB120，BOC60，在 Rt OBC 中， OC2cm，BOC60，OBC30，OB4cm，BC2 cm，则 S 扇形 OAB （cm 2），S OBC OCBC2 （cm 2），故 S 重叠 S 扇形 OAB+SOBC +2 （cm 2）故答案为： +2 （cm 2）【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇

24、形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式，难度一般16（2 分）如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为 A（0，3），B（3， 4），C（2，2）以点 B 为位似中心，在网格内画出A 1B1C1，使A 1B1C1 与ABC 位似，且位似比为 2： 1，点 A1 的坐标是 （3，2） 【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案【解答】解：如图所示：A 1B1C1 即为所求，则点 A1 的坐标是：（3，2）故答案为：（3，2）【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键17（2 分）一个边长为 3 的正六边形的外接圆的半径为 3 【分析】根据正

25、六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解【解答】解：正 6 边形的中心角为 360660，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，边长为 3 的正六边形外接圆半径是 3故答案为：3【点评】此题主要考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题关键18（2 分）二次函数 y 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A 2，A 3An 在 y轴的正半轴上，点 B1，B 2，B 3Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C 2，C 3n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形A1B2A

26、2C2，四边形 A2B3A3C3四边形 An1 BnAnn 都是菱形，A 0B1A1A 1B2A2A 2B3A3A n1 BnAn60，菱形 An1 BnAnn 的周长为 4n 【分析】由于A 0B1A1，A 1B2A2，A 2B3A3，都是等边三角形，因此B 1A0x30，可先设出A 0B1A1 的边长，然后表示出 B1 的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得A 0B1A1 的边长，用同样的方法可求得A 0B1A1，A 1B2A2，A2B3A3，的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形 An1 BnAnn 的周长【解答】解：四边形 A0B1A1C1 是菱形，A

27、 0B1A160，A 0B1A1 是等边三角形设A 0B1A1 的边长为 m1，则 B1（ ， ）；代入抛物线的解析式中得： （ ） 2 ，解得 m10（舍去），m 11；故A 0B1A1 的边长为 1，同理可求得A 1B2A2 的边长为 2，依此类推，等边A n1 BnAn 的边长为 n，故菱形 An1 BnAnn 的周长为 4n故答案是：4n【点评】本题考查了二次函数综合题解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点解答此题的难点是推知等边An1 BnAn 的边长为 n三、解答题（本大题共 10 题，共 84 分）19（8 分）解方程：（1）（2x+

28、3） 2810（2）x 24x50【分析】（1）先变形为（2x+3） 281，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程【解答】解：（1）（2x+3） 281，2x+39，即 2x+39 或 2x+39，所以 x13，x 26；（2）（x5）（x +1）0，x50 或 x+10，所以 x15，x 21【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了直接开平方法解一元二次方程20（8 分）已知关于 x 的方程 x2+mx+m20（1）若该方程的一个根为 1，求 m 的值及该方程的另一根；（

29、2）求证：不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【分析】（1）直接把 x1 代入方程 x2+mx+m20 求出 m 的值，故可得出方程，求出方程的解即可；（2）求出的值，再比较出其大小即可【解答】解：（1）该方程的一个根为 1，1+m +m2 0，解得 m ，方程为 x2+ x 0，解得 x11，x 2 ，该方程的另一根为 ；（2）m 24（m2）（m2） 2+40，不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键21（6 分）（1）在ABC 中，BAC 60，BC 4 ，则ABC 面积的最大值是 12 （2

30、）已知：ABC，用无刻度的直尺和圆规求作DBC，使BDC+A180，且BDDC（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注，作出一个符合题意的三角形即可）【分析】（1）作 AB、BC 的垂直平分线，它们相交于点 O，再以点 O 为圆心，OA 为半径作圆得到ABC 的外接圆，利用三角形面积公式得到当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC 面积的最大，此时点 A 在优弧 BC 的中点，利用圆周角定理可判断ABC 为等边三角形，然后利用等边三角形的面积的计算方法可得到ABC 面积的最大值；（2）BC 的垂直平分线交 BC 弧于 D，根据垂径定理得到弧 BD弧 CD，根据圆周角定理得到

31、BDC+A180，从而可判断DBC 满足条件【解答】解：（1）作ABC 的外接圆O，当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC 面积的最大，此时点 A 在 BC 的垂直平分线上，如图，点 A 在 A时ABC 的面积最大，BAC BAC60，ABAC，ABC 为等边三角形，ABC 面积的最大值 （4 ） 212 ；故答案为 12（2）如图，DBC 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了垂径定理、三角形外心与圆周

32、角定理22（8 分）如图，在ABC 中，AD 是角平分钱，点 E 在 AC 上，且EADADE（1）求证：DCEBCA；（2）若 AB3，AC4求 DE 的长【分析】（1）利用已知条件易证 ABDE，进而证明DCEBCA；（2）首先证明 AEDE ，设 DEx ，所以 CEAC AE ACDE4x ，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出 x 的值，即 DE 的长【解答】（1）证明：AD 平分 BAC ，BADEDA，EADADE，BADADE，ABDE ，DCEBCA；（2）解：EADADE，AEDE ，设 DEx，CEACAEACDE 4x ，DCEBCA，DE：ABCE ：AC，即

33、 x：3（4x ）：4，解得：x ，DE 的长是 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大23（6 分）小亮同学想利用影长测量学校旗杆 AB 的高度，如图，他在某一时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米，同时旗杆的投影一部分在地面上 BD 处，另一部分在某一建筑的墙上 CD 处，分别测得其长度为 9.6 米和 2 米，求旗杆 AB 的高度【分析】如图，利用在同一时刻物高与影长的比相等得到 CD：DF1：1.2，则可计算出 DF2.4，所以 BF12，然后根据 AB：BF1：1.2 可计算出 AB【解答】解：如图，某

34、一时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米，CD：DF1：1.2，DF1.2CD1.222.4，BFBD +DF9.6+2.412，AB：BF1：1.2，AB 10答：旗杆 AB 的高度为 10m【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决24（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，BAD 90，点 E 在 BC 的延长线上，且DECBAC（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 ACDE，当 AB12，CE3 时，求 AC 的长【分析】（1）先判断出 BD 是圆 O 的直径，再判断出 BDDE

35、，即可得出结论；（2）先判断出 ACBD，进而求出 BCAB12，进而判断出BCDDCE，求出CD，再用勾股定理求出 BD，最后判断出 CFDBCD，即可得出结论【解答】解：（1）如图，连接 BD，BAD90，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，BCD90，DEC+CDE90，DECBAC，BAC+ CDE90，BACBDC，BDC+CDE90，BDE90，即：BD DE ，点 D 在O 上，DE 是 O 的切线；（2）DEAC，BDE90，BFC90，CBAB12 ，AF CF AC，CDE+BDC90，BDC+CBD90，CDECBD，DCEBCD90，BCDDCE， ，CD6，在

36、Rt BCD 中， BD 6同理：CFDBCD， ， ，CF ，AC2AF 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出 BC8 是解本题的关键25（6 分）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽 6m 时，水面离桥拱顶部 3 米，因暴雨水位上升 1m，（1）求抛物线的解析式（2）一首装满货物的小船，露出水面部分的高为 0.5m，宽为 4m，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由【分析】（1）根据点 A 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）代入 x2 求出 y 值，用其减去 1 求出可通过船的最高高度，将其与 0.

37、5 比较后即可得出结论【解答】.解：（1）设抛物线的解析式为 yax 2+bx+c（a0），A（3，0），B（3，0），C （0，3） ，解得， ，抛物线的解析式为 y x2+3；（2）当 x2 时，y 22+3 ， 1 0.5，暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点 A、B、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）26（10 分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品某公司经销一

38、种空气净化器，每台净化器的成本价为 200 元经过一段时间的销售发现，每月的销售量 y（台）与销售单价 x（元）的关系为 y2x+1000（1）该公司每月的利润为 w 元，写出利润 w 与销售单价 x 的函数关系式；（2）若要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为多少元？（3）公司要求销售单价不低于 250 元，也不高于 400 元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？【分析】（1）根据销售利润每天的销售量（销售单价成本价），即可列出函数关系式；（2）令 y40000 代入解析式，求出满足条件的 x 的值即可；（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值【解答】解

39、：（1）由题意得：w（x 200）y（x200）（2x+1000）2x 2+1400x200000；（2）令 w2x 2+1400x20000040000，解得：x300 或 x400，故要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为 300 或 400 元；（3）y2x 2+1400x200000 2（x350） 2+45000，当 x250 时 y2250 2+140025020000025000；故最高利润为 45000 元，最低利润为 25000 元【点评】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值27（12 分）如图，矩形 AOBC

40、，A（0，3）、B（6，0），点 E 在 OB 上，AEO 30，点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t秒（1）求点 E 的坐标；（2）当PAE 是等腰三角形时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PA 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形 AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值【分析】（1）由 A，B 的坐标及AEO30可得 OE3 ，即可求出点 E 的坐标；（2）分三种情形当 EAEP 时，EP 1EAEP 26，求出 t当 PAPE 时，设P3EP 3Ex ，在 RtAOP 3 中，3 2+（3 x）

41、 2x 2，x ，求出 t 即可当AEAP 时，点 P 在点 Q 左边，不符合题意（3）本小题分三种情况讨论：当 PAAE 时，P 与 AE 相切；当 PAAC 时，P 与 AC 相切；当 PBBC 时， P 与 BC 相切；分别求出各种情况的 t 的值【解答】解：（1）A（0，3），B（6，0），OA3，OB6，AEO30，OE OA3 ，点 E 的坐标为（ ，0）（2）如图 1 中，当 EAEP 时，EP 1EA EP 26，此时 t3 2 或 3 +10，当 PAPE 时，设 P3EP 3Ex，在 RtAOP 3 中，3 2+（3 x） 2x 2，x ，此时 t4+当 AEAP 时，点

42、P 在点 Q 左边，不符合题意综上所述，当PAE 是等腰三角形时，t 的值为（3 2）s 或（3 ）s 或（4+）s （3）由题意知，若P 与四边形 AEBC 的边相切，有以下三种情况：如图 2 中，当 PAAE 时，P 与 AE 相切，AEO30，AO 3，APO60，OP ，QPQO PO 4 ，点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位的速度运动，t4 （秒）如图 3 中，当 PAAC 时， P 与 AC 相切，QO4，点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位的速度运动，t4（秒），如图 4 中，当 P 与 BC 相切时，由题意，PA 2PB

43、 2（10t ） 2，PO 2（t 4） 2于是（10t） 2（t4） 2+32解得 t （秒），综上所述，当P 与四边形 AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，t 的值为（4 ）秒或 4 秒或 秒【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、锐角三角函数的定义及外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题28（12 分）如图，二次函数 yx 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，OBOC点 D 在函数图象上，CDx 轴，且 CD2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点（1）求 b、c 的值；

44、（2）如图 ，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；（3）如图 ，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N试问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b 的值；由 OBOC，可用 c 表示出 B 点坐标，代入抛物线解析式可求得 c 的值；（2）可设 F（0，m），则可表示出 F的坐标，由 B、E 的坐标可求得直线 BE 的解析式，把 F坐标代入直线 BE 解析式可得到关于 m 的方程，可求得 F 点的坐标；（3）设点 P 坐标为（n，0），可表示出 PA、PB、PN 的长，作 QRPN，垂足为 R，则可求得 QR 的长，用 n 可表示出 Q、R、N 的坐标，在 RtQRN 中，由勾股定理可得到关于 n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时 n 的值，则可求得 Q 点的坐标，【解答】解：（1）CDx 轴，CD2，抛物线对称轴为 x1 OBOC，C（0，c），B 点的坐标为（c ，0），0c 2+2c+c，解得 c3 或 c0（舍去），c3；（2）设点 F 的坐标为（0，m ）对称轴为直线 x1，点 F