1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理 数本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3)2.已知集合 A=1,2,3,B=x|(x+1)(x-2)0)的直线交 E2 23于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MANA.()当 t=4,|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;()当 2
2、|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.21.(本小题满分 12 分)()讨论函数 f(x)= ex的单调性,并证明当 x0 时,(x-2)e x+x+20;-2+2()证明:当 a0,1)时,函数 g(x)= (x0)有最小值.设 g(x)的最小值-2为 h(a),求函数 h(a)的值域.请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合),且 DE=DG,过 D点作 DFCE,垂足为 F.()证明:B,C,G,F 四点共圆;()若 AB=
3、1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6) 2+y2=25.()以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;()直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=,=,求 l 的斜率.1024.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)= + ,M 为不等式 f(x)0,13,2,输出 s=17.故选 C.9.D 解法一 :sin 2=cos =cos 2(22) (4)=2cos2 -1=2
4、 -1=- .故选 D.(4) (35)2 725解法二:cos = (cos +sin )= cos +sin = 1+sin 2= ,sin 2=- .故选 D.(4) 22 35 325 1825 72510.C 如图,数对(x i,yi)(i=1,2,n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界),两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得 = = .故选 C.1412 411.A 解法一:由 MF1x 轴,可得 M ,|MF1|= .由 sinMF2F1= ,(,2) 2 13可得 cosMF2F1= =
5、 ,又 tanMF2F1= = , = ,b2= ac,1(13)2223 |1|12| 22 22 13223 22c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2- ac=0e2- e-1=0,e= .故选 A.22 22 2解法二:由 MF1x 轴,得 M ,|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF 2|=2a+|MF1|=2a+ ,又(,2) 2 2sinMF2F1= = = a2=b2a=b,e= = .故选 A.|1|2| 22+213 2+22 2解题思路 解法一是利用三角函数的知识求出 tanMF2F1,得到关于 a,b,c 的一个等式;解法二是先由双曲线的定义得出|MF 2|,再
6、由 sinMF2F1= ,得到关于 a,b 的一个等式,最后求出 e.1312.B 由 f(-x)=2-f(x)可知 f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知 y= =1+ 的图象关于点(0,1)+1 1对称,所以两函数图象的交点成对出现 ,且每一对交点都关于点 (0,1)对称,则 x1+xm=x2+xm-1=0,y1+ym=y2+ym-1=2, (xi+yi)=0 +2 =m.故选 B.=1 2 2二、填空题13. 答案 2113解析 由已知可得 sin A= ,sin C= ,则 sin B=sin(A+C)= + = ,再由正弦定理可得35 1213 355134512136365=
7、b= = . 1636535 2113解后反思 在解三角形问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时, 往往要用到两角和或差的正、余弦公式及正、余弦定理.14. 答案 解析 由 mn,m,可得 n 或 n 在 内,当 n 时, 与 可能相交,也可能平行,故错.易知都正确.15. 答案 1 和 3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是 2 和 3.若丙的卡片上的数字是 1 和 2,则乙的卡片上的数字是 2 和 3,甲的卡片上的数字是 1 和 3,满足题意;若丙的卡片上的数字是 1 和 3,则乙的卡片上的数字是 2 和 3,此时, 甲的卡片上的数字只能是 1 和 2,不满足题意.故甲的卡片上的数字
8、是 1 和 3.思路分析 先由丙说的话判定丙的卡片上的数字一定不是 2 和 3,再按丙的卡片上的数字为1 和 2,1 和 3 分类讨论即可解题.16. 答案 1-ln 2解析 直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2 得 y= ,由 y=ln(x+1)得 y= ,k= = ,x1= ,x2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即 A1 1+1 11 12+1 1 1,B ,A、B 在直线 y=kx+b 上,(1,+2) (11,) 2=1+,=(11)+ =12,=2. 三、解答题1
9、7. 解析 ()设 an的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1.所以a n的通项公式为 an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(6 分)()因为 bn= (9 分)0,1= = =- .| 1450107525sin= .29525因此二面角 B-DA-C 的正弦值是 .(12 分)29525思路分析 ()利用已知条件及翻折的性质得出 DHEF,利用勾股定理逆定理得出 DHOH,从而得出结论;()在第 ()问的基础上建立恰当的空间直角坐标系, 从而求出两个半平面的法向量,利用向量的夹角公式求其余弦值,从而求出正弦值 ,最后转化为二面角
10、的正弦值 .20. 解析 ()设 M(x1,y1),则由题意知 y10.当 t=4 时,E 的方程为 + =1,A(-2,0).(1 分)2423由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 .4因此直线 AM 的方程为 y=x+2.(2 分)将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0.2423解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .(4 分)127 127因此AMN 的面积 SAMN=2 = .(5 分)1212712714449()由题意 ,t3,k0,A(- ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ ) 代入 + =1 得(3+tk 2) 2 23x2+2 tk2x+t
11、2k2-3t=0.(7 分)由 x1(- )= 得 x1= ,2233+2 (32)3+2故|AM|=|x 1+ | = .(8 分) 1+26(1+2)3+2由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+ ),1 故同理可得|AN|= .(9 分)6(1+2)32+由 2|AM|=|AN|得 = ,即(k 3-2)t=3k(2k-1).23+2 32+当 k= 时上式不成立,因此 t= .(10 分)323(21)32t3 等价于 = 0,320, 32因此 k 的取值范围是( ,2).(12 分)32疑难突破 第()问中求出直线 AM 的倾斜角是解决问题的关键;第()问利用 2|AM|=|A
12、N|得出 t 与 k 的关系式,由 t3,建立关于 k 的不等式,从而得出 k 的取值范围.21. 解析 ()f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).(2 分)f (x)= = 0,(1)(+2)(2)(+2)2 2(+2)2且仅当 x=0 时, f (x)=0,所以 f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当 x(0,+)时, f(x)f(0)=-1.所以(x-2)e x-(x+2),(x-2)ex+x+20.(4 分)()g(x)= = (f(x)+a).(5 分)(2)+(+2)3 +23由()知, f(x)+a 单调递增.对任意 a0,1), f(0)+a=a-1xa 时
13、, f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.(7 分)因此 g(x)在 x=xa 处取得最小值,最小值为 g(xa)= = = .(8 分)(+1)2 +()(+1)2 +2于是 h(a)= ,由 = 0,得 y= 单调递增.+2 (+2) (+1)(+2)2 +2所以,由 xa(0,2,得 = -1;(3 分)12当- x 时, f(x)2;(4 分)12 12当 x 时,由 f(x)2 得 2x2,解得 x1.(5 分)12所以 f(x)2 的解集 M=x|-1x1.(6 分)()证明 :由()知,当 a,bM 时,-1a1,-1b1,从而(a+b) 2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.(10 分)方法总结 解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解,另外, 若所证不等式的两边均为非负数,则先把两边平方 ,然后利用作差法求解 .
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