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    2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五第2讲《椭圆双曲线抛物线》学案

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    2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五第2讲《椭圆双曲线抛物线》学案

    1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷直线与抛物线的位置关系T 8 双曲线的几何性质T 11卷双曲线的几何性质T 5 椭圆的几何性质T 122018卷双曲线的几何性质T 11 直线与抛物线的位置关系T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T 10卷双曲线的几何性质T 15卷 双曲线的几何性质T 92017卷 双曲线的渐近线及标准方程T 5双曲线的几何性质与标准方程T 5卷抛物线与圆的综合问题T 10卷 双曲线的定义、离心率问题T 112016卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T 111.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择

    2、、填空题的形式考查,常出现在第411 题或 1516题的位置,着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质,难度中等2圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查,常作为压轴题出现在第 20 题的位置,一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)|PF1| PF2|2 a(2ab0) 1x2a2 y2b2(a0, b0)y22 px(p0)典型例题(1)椭圆 1 的左焦点为 F,直线 x m 与椭圆相交于点 M, N,当 FMN 的x25 y24周长最大时, FMN 的面积是( )A. B.55 655C

    3、. D.855 455(2)设 F1, F2分别是双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右焦点, P 是 C 上一点,x2a2 y2b2若| PF1| PF2|6 a,且 PF1F2最小内角的大小为 30,则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 B x y02 2C x2y0 D2 xy0【解析】 (1)如图,设椭圆的右焦点为 F,连接MF, NF.因为| MF| NF| MF| NF| MF| NF| MN|,所以当直线 x m 过椭圆的右焦点时, FMN 的周长最大此时| MN| ,又 c 1,所以此时2b2a 855 a2 b2 5 4 FMN 的面积 S 2 .故选 C.12

    4、 855 855(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点,由双曲线的定义,可得| PF1| PF2|2 a.又| PF1| PF2|6 a,解得| PF1|4 a,| PF2|2 a,又| F1F2|2 c,则| PF2|2 a 最小,所以 PF1F230.在 PF1F2中,由余弦定理,可得 cos 30 |PF1|2 |F1F2|2 |PF2|22|PF1|F1F2| ,整理得 c23 a22 ac,解得 c a,所以 b a.16a2 4c2 4a224a2c 32 3 3 c2 a2 2所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.故选 A.2【答案】 (1)C (2)A(1)椭圆的焦点三角

    5、形的几个性质已知椭圆方程为 1( ab0),左、右焦点分别为 F1, F2,设焦点三角形 PF1F2x2a2 y2b2中 F1PF2 ,则 S F1PF2 b2tan . 2已知椭圆方程为 1( ab0),左、右焦点分别为 F1, F2,设焦点三角形x2a2 y2b2PF1F2,若 F1PF2最大,则点 P 为椭圆短轴的端点过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短,通径长为 .2b2a(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为 1( a0, b0), F1, F2分别为它的左、右焦点, P 为双曲线上x2a2 y2b2任意一点(除实轴顶点外),则双曲线的焦点三角形有如下性质:设 F

    6、1PF2 ,则 S F1PF2 .特别地,当 F1PF290时,有 S F1PF2 b2.b2tan 2双曲线的焦点三角形的内切圆与 F1F2相切于实轴顶点当点 P 在双曲线左支上时,切点为左顶点,当点 P 在双曲线右支上时,切点为右顶点 对点训练1(2018辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线C: 1( a0, b0)的离心率为 ,从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线,垂足为x2a2 y2b2 5A,若 AFO 的面积为 1,则双曲线 C 的方程为( )A. 1 B. y21x22 y28 x24C. 1 D x2 1x24 y216 y24解析:选 D.因为双

    7、曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离| FA| b,| OA| a,所以ab2,又双曲线 C 的离心率为 ,所以 ,即 b24 a2,解得 a21, b24,所51 b2a2 5以双曲线 C 的方程为 x2 1,故选 D.y242(2018福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C: y22 px(p0)的焦点为F,准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A, B 两点,交 l 于点 E,直线 AO 交 l 于点 D.若|BE|2| BF|,且| AF|3,则| BD|( )A1 B3C3 或 9 D1 或 9解析:选 D.分别过点 A, B 作 AA1, BB1垂直于 l,且垂足分别

    8、为 A1, B1,依题意,易证 BD x 轴,所以 D 与 B1重合由已知条件| BE|2| BF|得,| BE|2| BB1|,所以 BEB130.又| AA1| AF|3,如图 1, ,|BD|AA1| |BE|AE|所以 ,|BD|3 2|BD|3|BD| 3解得| BD|1,如图 2, ,|BD|AA1| |BE|AE|所以 ,|BD|3 2|BD|BD| 3解得| BD|9.综上,| BD|为 1 或 9,故选 D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中, a, b, c 及 e 之间的关系(1)在椭圆中: a2 b2 c2,离心率为 e .ca 1 (ba)2 (2)在双曲线中

    9、: c2 a2 b2,离心率为 e .ca 1 (ba)2 双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜x2a2 y2b2 ba率的关系典型例题(1)(2018石家庄质量检测(二)倾斜角为 的直线经过椭圆 1( ab0) 4 x2a2 y2b2的右焦点 F,与椭圆交于 A、 B 两点,且 2 ,则该椭圆的离心率为( )AF FB A. B.32 23C. D.22 33(2)(2018高考全国卷)已知双曲线 C: y21, O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,x23过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M, N.若 OMN 为直角三角形,则|

    10、MN|( )A. B332C2 D43【解析】 (1)由题可知,直线的方程为 y x c,与椭圆方程联立得 ,所x2a2 y2b2 1y x c)以( b2 a2)y22 b2cy b40,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则 0.设A(x1, y1), B(x2, y2),则 ,又 2 ,所以( c x1, y1)y1 y2 2b2ca2 b2y1y2 b4a2 b2) AF FB 2( x2 c, y2),所以 y12 y2,可得 ,所以 ,所以 e ,故选 B.12 4c2a2 b2 23(2)因为双曲线 y21 的渐近线方程为 y x,所以 MON60.不妨设过点 Fx23 3

    11、3的直线与直线 y x 交于点 M,由 OMN 为直角三角形,不妨设 OMN90,则33 MFO60,又直线 MN 过点 F(2,0),所以直线 MN 的方程为 y (x2),3由 得y 3( x 2) ,y 33x, ) x 32,y 32, )所以 M ,所以 |OM| ,所以| MN| |OM|3,故选 B.(32, 32) (32)2 (32)2 3 3【答案】 (1)B (2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定 a, b, c 的等量关系或不等关系,然后把 b 用 a, c 代换,求 的值ca(2)双曲线的渐近线的

    12、求法及用法求法:把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零,分解因式可得用法:(i)可得 或 的值ba ab(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练1(2018福州四校联考)过双曲线 1( a0, b0)的左、右焦点分别作双曲线x2a2 y2b2的两条渐近线的平行线,若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b,则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x2C y x D y2 x3解析:选 A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为 8b,所以菱形的边长为 2b,由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 ,又 4 条直线分别与两条渐近线平行,所

    13、以 ,解得4b2 c2 3b2 a2ba 3b2 a2a2 b2a b,所以该双曲线的渐近线的斜率为1,所以该双曲线的渐近线方程为 y x,故选 A.2(2018广州综合测试(一)如图,在梯形 ABCD 中,已知| AB|2| CD|, ,AE 25AC 双曲线过 C, D, E 三点,且以 A, B 为焦点,则双曲线的离心率为( )A. B27 2C3 D. 10解析:选 A.取 AB 的中点 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立直角坐标系(图AB 略),设双曲线的方程为 1( a0, b0),| AB|2| CD|2 c, E(xE, yE),则x2a2 y2b2A( c,0),

    14、 B(c,0), C , D ,由 1,得 yC ,故 C(c2, yC) ( c2, yC) c24a2 b2a b2 3a2.因为 ( xE c, yE),(c2, b2a b2 3a2) AE , ,25AC 25(3c2, b2a b2 3a2) (3c5, b5a b2 3a2) AE 25AC 所以xE 25c,yE b5a b2 3a2.)又 E 在双曲线上,故 1,化简整理得 4c2 b23 a225 a2,即4c225a2b225a2( b2 3a2)b2c27 a2,故 .选 A.ca 73(2018高考全国卷)已知 F1, F2是椭圆 C: 1( ab0)的左、右焦点,

    15、Ax2a2 y2b2是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 的直线上, PF1F2为等腰三角形, F1F2P120,36则 C 的离心率为( )A. B.23 12C. D.13 14解析:选 D.由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上,如图所示,设|F1F2|2 c,因为 PF1F2为等腰三角形,且 F1F2P120,所以|PF2| F1F2|2 c,所以| OF2| c,所以点 P 坐标为( c2 ccos 60,2 csin 60),即点 P(2c, c)因为点 P 在过点 A,且斜率3为 的直线上,所以 ,解得 ,所以 e ,故选 D.36 3c2c a 36 ca 14 14直线与圆

    16、锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程;若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解典型例题命题角度一 位置关系的判断及应用已知抛物线 C1: y22 px(p0)的焦点为椭圆 C2: 1( ab0)的右焦点,x2a2 y2b2且两曲线有公共点 .(2

    17、3, 263)(1)求抛物线 C1与椭圆 C2的方程;(2)若椭圆 C2的一条切线 l 与抛物线 C1交于 A, B 两点, O 为坐标原点,且 OA OB,求直线 l 的方程【解】 (1)将 代入抛物线方程,得 2p,解得 2p4,则抛物线 C1(23, 263) (263)2 23的方程为 y24 x,则焦点为 F(1,0),即 c1,所以 a2 b21.将 代入 1 ,得 1,解得 b23(增根舍去),则(23, 263) x2b2 1 y2b2 49( b2 1) 83b2a24,所以椭圆 C2的方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 的斜率不存在时,不符合题意,所以直线 l 的斜

    18、率存在设直线 AB 的方程为 y kx b,显然 k0, b0, A(x1, y1), B(x2, y2)由 整理得 k2x2 (2kb4) x b20,y kx b,y2 4x )所以 x1 x2 , x1x2 ,2kb 4k2 b2k2所以 y1y2( kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2 , 4bk由 OA OB,得 0,即 x1x2 y1y20,即 0,整理得 b4 k0.OA OB b2k2 4bk由 整理得(34 k2)x28 kbx4 b2120,y kx b,x24 y23 1) (8 kb)24(34 k2)(4b212)0,即 b234 k2.

    19、由解得 k ,12则 或k 12,b 2 ) k 12,b 2, )所以直线 l 的方程为 x2 y40 或 x2 y40.直线与圆锥曲线相切,如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行,那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时,只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程,使其判别式等于零即可 命题角度二 弦长问题(2018唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中,长为 1 的线段的两端点 C, D 分别2在 x 轴、 y 轴上滑动, .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2PD (1)求曲线 E 的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线 E 相交于 A, B 两点,

    20、 ,当点 M 在曲线 E 上OM OA OB 时,求四边形 AOBM 的面积【解】 (1)设 C(m,0), D(0, n), P(x, y)由 ,得( x m, y) ( x, n y)CP 2PD 2所以 x m 2x,y 2( n y) , )得 m ( 2 1) x,n 2 12y, )由| | 1,得 m2 n2( 1) 2,CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2,2( 2 1) 22 2整理,得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),由 ,OM OA OB 知点 M 坐标为( x1 x2, y1 y2)由题意知,直线 AB

    21、 的斜率存在设直线 AB 的方程为 y kx1,代入曲线 E 的方程,得(k22) x22 kx10,则 x1 x2 , x1x2 .2kk2 2 1k2 2y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 2由点 M 在曲线 E 上,知( x1 x2)2 1,( y1 y2) 22即 1,解得 k22.4k2( k2 2) 2 8( k2 2) 2这时| AB| |x1 x2| ,1 k2 3( x1 x2) 2 4x1x2322原点到直线 AB 的距离 d ,11 k2 33所以平行四边形 OAMB 的面积 S| AB|d .62有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题,应熟练地利用根与

    22、系数的关系,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式:直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1, y1), B(x2, y2),则弦长|AB| ,其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 1 k2 ( x1 x2) 2 4x1x2命题角度三 定比、分点问题(1)(2018南宁模拟)已知椭圆 1( a b0)的一条弦所在的直线方程是x2a2 y2b2x y50,弦的中点坐标是 M(4,1),则椭圆的离心率是( )A. B.12 22C. D.32 55(2)(2018长春质量检测(一)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0), F2(1,0),且经过点

    23、 E .(3,32)求椭圆 C 的方程;过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点(点 A 位于 x 轴上方),若 ,且AF1 F1B 2 3,求直线 l 的斜率 k 的取值范围【解】 (1)选 C.设直线 x y50 与椭圆 1 相交于 A(x1, y1), B(x2, y2)x2a2 y2b2两点,因为 AB 的中点 M(4,1),所以 x1 x28, y1 y22.易知直线 AB 的斜率 k1.由 两式相减得, 0,所以y2 y1x2 x1 ( x1 x2) ( x1 x2)a2 ( y1 y2) ( y1 y2)b2 ,所以 ,于是椭圆的离心率 e ,故选 C.y1 y2x

    24、1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 14 ca 1 b2a2 32(2)由 解得2a |EF1| |EF2| 4,a2 b2 c2,c 1, ) a 2,c 1,b 3, )所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23由题意得直线 l 的方程为 y k(x1)( k0),联立方程,得 整理得 y2 y90, 1440,y k( x 1) ,x24 y23 1, ) (3k2 4) 6k 144k2设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1 y2 , y1y2 ,6k3 4k2 9k23 4k2又 ,所以 y1 y 2,所以 y1y2 (y1 y2)2,AF1 F1B

    25、( 1 ) 2则 , 2 ,( 1 ) 2 43 4k2 1 43 4k2因为 2 3,所以 2 ,12 1 43即 ,且 k0,解得 0 k .12 43 4k2 43 52故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 .(0,52(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时,要注意使用条件 0;在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以 P(x0, y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是: k (椭圆b2x0a2y0 1), k (双曲线 1), k (抛物线 y22 px),其中x2a2 y2b2 b2x0a2y0 x2a2

    26、y2b2 py0k (x1 x2),( x1, y1),( x2, y2)为弦端点的坐标 y2 y1x2 x1对点训练1已知 F 是抛物线 x24 y 的焦点,直线 y kx1 与该抛物线交于第一象限内的点A, B,若| AF|3| FB|,则 k 的值是( )A. B.332C. D.33 233解析:选 D.显然 k0.抛物线的准线 l: y1,设其与 y 轴交于点 F,则直线y kx1 过点 F.分别过点 A, B 作 l 的垂线,垂足分别为 A, B,根据抛物线定义,得| AF| AA|,| BF| BB|,根据已知,得 3.设 A(x1, y1), B(x2, y2),|AF|BF|

    27、 |AA |BB |则 3,即 x13 x2.联立抛物线方程与已知直线方程,消元得|F A |F B | x1x2 |AA |BB |x24 kx40,则 x1 x24 k,由得 x13 k, x2 k,又 x1x24,所以 3kk4,即 k2 ,解得 k (负值舍去)43 2332(2018惠州第二次调研)已知 C 为圆( x1) 2 y28 的圆心, P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径 CP 上,且有点 A(1,0)和 AP 上的点 M,满足 0, 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程;(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2 y21 相切,与

    28、(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F, H, O 是坐标原点,且 时,求 k 的取值范围34 OF OH 45解:(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线,所以| CP| QC| QP| QC| QA|2 | CA|2,2所以点 Q 的轨迹是以点 C, A 为焦点,焦距为 2,长轴长为 2 的椭圆,2所以 a , c1, b 1,2 a2 c2故点 Q 的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l: y kx t, F(x1, y1), H(x2, y2),直线 l 与圆 x2 y21 相切 1 t2 k21.|t|k2 1联立 得(12 k2)x24 ktx2 t220,x2

    29、2 y2 1,y kx t ) 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20 k0,x1 x2 , x1x2 , 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 OF OH x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2( 1 k2) ( 2t2 2)1 2k2 4kt1 2k2 k21( 1 k2) 2k21 2k2 4k2( k2 1)1 2k2 ,1 k21 2k2所以 k2 | k| ,34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k 的取值范围是 .22, 33 33, 22

    30、一、选择题1已知方程 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的x2m2 n y23m2 n取值范围是( )A(1,3) B(1, )3C(0,3) D(0, )3解析:选 A.由题意得( m2 n)(3m2 n)0,解得 m2 n3 m2,又由该双曲线两焦点间的距离为 4,得 m2 n3 m2 n4,即 m21,所以1 n3.2(2018潍坊模拟)已知双曲线 1( a0, b0)的焦点到渐近线的距离为 ,x2a2 y2b2 3且离心率为 2,则该双曲线的实轴的长为( )A1 B. 3C2 D2 3解析:选 C.由题意知双曲线的焦点( c,0)到渐近线 bx ay0 的距离为

    31、bbca2 b2,即 c2 a23,又 e 2,所以 a1,该双曲线的实轴的长为 2a2.3ca3(2018石家庄质量检测(一)双曲线 1( a0, b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,过 F1作倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A, B 两点,若点 A平分线段 F1B,则该双曲线的离心率是( )A. B23 3C2 D. 12解析:选 B.由题意可知 A 是 F1B 的中点, O 是 F1F2的中点( O 为坐标原点),连接 BF2,则 OA 是 F1BF2的中位线,故 OA BF2,故 F1F2 BF2,又 BF1F260,| F1F2|2 c,所以

    32、|BF1|4 c,| BF2|2 c,所以 2a4 c2 c,所以 e 2 ,故选 B.3 3ca 34(2018武汉模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F,过焦点 F 且倾斜角为 的直 3线与抛物线相交于 A, B 两点,若| AB|8,则抛物线的方程为( )A y23 x B y24 xC y26 x D y28 x解析:选 C.因为抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F ,所以过点 F 且倾斜角为 的(p2, 0) 3直线方程为 y (x ),联立直线与抛物线的方程,得3p23x25 px p20,设 A(xA, yA), B(xB, yB),则 所以y 3( x p2) ,y

    33、2 2px ) 34 xA xB 53p,xAxB 14p2, )|AB| |xA xB| p8( xA xB) 2 ( yA yB) 2 1 k2 1 3 (53p)2 414p2 83p3,所以抛物线的方程为 y26 x,故选 C.5(2018高考全国卷)设抛物线 C: y24 x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M, N 两点,则 ( )23 FM FN A5 B6C7 D8解析:选 D.法一:过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2),由23 23得 x25 x 40,解得 x1 或 x4,所以 或 不妨设y 23( x 2) ,y2 4x, ) x

    34、1,y 2) x 4,y 4, )M(1,2), N(4,4),易知 F(1,0),所以 (0,2), (3,4),所以 8.故选 D.FM FN FM FN 法二:过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2),由 得23 23 y 23( x 2) ,y2 4x, )x25 x40,设 M(x1, y1), N(x2, y2),则 y10, y20,根据根与系数的关系,得x1 x25, x1x24.易知 F(1,0),所以 ( x11, y1), ( x21, y2),所FM FN 以 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)14 45188.故选 D.FM FN

    35、 x1x26(2018贵阳模拟)过双曲线 1( a0, b0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2的x2a2 y2b2切线 FM,切点为 M,交 y 轴于点 P,若 ,且双曲线的离心率 e ,则 ( )PM MF 62A1 B2C3 D4解析:选 B.如图,| OF| c,| OM| a, OM PF,所以| MF| b,根据射影定理得|PF| ,所以| PM| b,所以 .c2b c2b |PM |MF |c2b bb c2 b2b2 a2b2因为 e2 1 ,所以 .所以 2.故选 B.c2a2 a2 b2a2 b2a2 (62)2 32 b2a2 12二、填空题7(2018合肥第一次质量

    36、检测)抛物线 E: y24 x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴交于点A,过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ,垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为16,则点 P 的坐标为_解析:设 P(x, y),其中 x0, y0,由抛物线的定义知| PF| PQ| x1.根据题意知| AF|2,| QA| y,则 或 (舍去)所以点 P 的坐标为(4,4)2( x 1) 2 y 16,y2 4x ) x 4,y 4) x 9,y 6)答案:(4,4)8(2018贵阳模拟)椭圆 C: 1( a b0)的左顶点为 A,右焦点为 F,过点x2a2 y2b2F 且垂直于 x 轴的直

    37、线交 C 于 P, Q 两点,若 cos PAQ ,则椭圆 C 的离心率 e 为35_解析:根据题意可取 P , Q ,所以(c,b2a) (c, b2a)tan PAF 1 e,cos PAQcos b2aa c b2a2 ac a2 c2a2 ac a ca2 PAFcos 2 PAFsin 2 PAF cos2 PAF sin2 PAFcos2 PAF sin2 PAF 1 tan2 PAF1 tan2 PAF 1 ( 1 e) 21 ( 1 e) 2 ,故 55(1 e)233(1 e)28(1 e)22(1 e)2 .又椭圆的离心率 e 的取值35 14范围为(0,1),所以 1 e

    38、 , e .12 12答案:129已知双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右焦点分别为 F1(1,0), F2(1,0),x2a2 y2b2P 是双曲线上任一点,若双曲线的离心率的取值范围为2,4,则 的最小值的取PF1 PF2 值范围是_解析:设 P(m, n),则 1,m2a2 n2b2即 m2 a2 .(1n2b2)又 F1(1,0), F2(1,0),则 (1 m, n),PF1 (1 m, n),PF2 n2 m21PF1 PF2 n2 a2 1(1n2b2) n2 a21 a21,(1a2b2)当且仅当 n0 时取等号,所以 的最小值为 a21.PF1 PF2 由 2 4,得

    39、a ,1a 14 12故 a21 ,1516 34即 的最小值的取值范围是 .PF1 PF2 1516, 34答案: 1516, 34三、解答题10(2018南昌调研)已知椭圆 C: 1( a b0)的离心率为 ,短轴长为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设直线 l: y kx m 与椭圆 C 交于 M, N 两点, O 为坐标原点,若 kOMkON ,求54原点 O 到直线 l 的距离的取值范围解:(1)由题知 e ,2 b2,又 a2 b2 c2,所以 b1, a2,ca 32所以椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)设 M(x1, y1), N(x2

    40、, y2),联立 得(4 k2 1)x28 kmx4 m240,y kx m,x24 y2 1, )依题意, (8 km)24(4 k21)(4 m24)0,化简得 m24 k21,x1 x2 , x1x2 ,8km4k2 1 4m2 44k2 1y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2,若 kOMkON ,则 ,即 4y1y25 x1x2,54 y1y2x1x2 54所以 4k2x1x24 km(x1 x2)4 m25 x1x2,所以(4 k25) 4 km(4( m2 1)4k2 1)4 m20,8km4k2 1即(4 k25)( m21)8 k2m2

    41、 m2(4k21)0,化简得 m2 k2 ,54由得 0 m2 , k2 ,65 120 54因为原点 O 到直线 l 的距离 d ,|m|1 k2所以 d2 1 ,m21 k2 54 k21 k2 94( 1 k2)又 k2 ,120 54所以 0 d2 ,所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是 .87 0, 2147 )11(2018贵阳模拟)已知椭圆 C: 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,点 M 为短轴的上端点, 0,过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A, B 两MF1 MF2 点,且| AB| .2(1)求椭圆 C 的方程;(2)设经过

    42、点(2,1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G, H 两点若 k1, k2分别为直线 MH, MG 的斜率,求 k1 k2的值解:(1)由 0,得 b c.MF1 MF2 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且| AB| ,2所以 ,b2a 22 .b cb2a 22a2 b2 c2) a2 2b2 1)故椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)设直线 l 的方程为 y1 k(x2),即 y kx2 k1,将 y kx2 k1 代入 y21 得(12 k2)x24 k(2k1) x8 k28 k0,x22由题设可知 16 k(k2)0,设 G(x1, y

    43、1), H(x2, y2),则 x1 x2 , x1x2 ,4k( 2k 1)1 2k2 8k2 8k1 2k2k1 k2 2 ky1 1x1 y2 1x2 kx1 2k 2x1 kx2 2k 2x2( 2k 2) 4k( 2k 1)1 2k28k2 8k1 2k22 k(2 k1)1,所以 k1 k21.12(2018石家庄质量检测(二)已知圆 C:( x a)2( y b)2 的圆心 C 在抛物线94x22 py(p0)上,圆 C 过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,分别在点 A, B 处作抛物线的两条切线交于 P 点,求三角形 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程解:(1)由已知可得圆心 C(a, b),半径 r ,32焦点 F ,准线 y .(0,p2) p2因为圆 C 与抛物线的准线相切,所以 b ,且圆 C 过焦点 F,32 p2又因为圆 C 过原点,所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上,即 b ,p4所以 b ,即


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