1、第 1 讲 坐标系与参数方程年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 极坐标及其应用T 22卷 参数方程及其应用T 222018卷 参数方程及其应用T 22卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T 22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T 222017卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T 22卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T 23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T 232016卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T 231.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考
2、考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.极坐标方程及其应用(综合型)圆的极坐标方程若圆心为 M( 0， 0)，半径为 r，则圆的方程为： 22 0 cos( 0) r20.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(a，0)，半径为 a： 2 acos ；(3)当圆心位于 M ，半径为 a： 2 asin .(a， 2)直线的极坐标方程若直线过点 M( 0， 0)，且极轴与此直线所成的角为 ，则它
3、的方程为： sin( ) 0sin( 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点： 0和 0；(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴： cos a；(3)直线过点 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)典型例题(2018南昌模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为( 为参数) ，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系x 2cos y 2sin 2)(1)求 C 的极坐标方程；(2)若直线 l1， l2的极坐标方程分别为 ( R)， ( R)，设直线 6 23l1， l2与曲线 C 的交点为 O， M， N，求 OMN 的面积【解】 (1)由参
4、数方程 ( 为参数)，得普通方程为 x2( y2)x 2cos y 2sin 2)24，所以 C 的极坐标方程为 2cos2 2sin2 4 sin 0，即 4sin .(2)不妨设直线 l1： ( R)与曲线 C 的交点为 O， M，则 M| OM|4sin 2. 6 6又直线 l2： ( R)与曲线 C 的交点为 O， N，则 N| ON|4sin 2 .又23 23 3 MON ，所以 S OMN |OM|ON| 22 2 . 2 12 12 3 3(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos ， sin ， 2的形成，然后
5、利用公式代入化简得到普通方程巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程将直角坐标方程中的 x 换成 cos ，将 y 换成 sin ，即可得到其极坐标方程(2)求解与极坐标有关问题的主要方法直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标对点训练1在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos 1， M， N 分别为曲线 C 与 x 轴， y 轴的交点( 3)(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M， N
6、 的极坐极；(2)设 M， N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解：(1)因为 cos 1，( 3)所以 cos cos sin sin 1. 3 3又 所以 x y1，x cos ，y sin ， ) 12 32即曲线 C 的直角坐标方程为 x y20，令 y0，则 x2；令 x0，则 y .3233所以 M(2，0)， N .(0，233)所以 M 的极坐标为(2，0)， N 的极坐标为 .(233， 2)(2)因为 M， N 连线的中点 P 的直角坐标为 ，所以 P 的极角为 ，(1，33) 6所以直线 OP 的极坐标方程为 ( R) 62(2018高考全国卷)在直角坐标系 xO
7、y 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为l1， y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且
8、l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时， A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个43 43公共点， l2与 C2有两个公共点当 l2与 C2只有一个公共点时， A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0|k 2|k2 1或 k .经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点综上，43 43所求 C1的方程为 y |x|2.43参数方程及其应用(综
9、合型)直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程 参数方程直线 y y0tan (x x0) x x0 tcos ，y y0 tsin )(t 为参数)圆 (x x0)2( y y0)2 r2 x x0 rcos ，y y0 rsin )( 为参数)椭圆 1( ab0)x2a2 y2b2 x acos ，y bsin )( 为参数)双曲线 1( a0， b0)x2a2 y2b2 x acos ，y btan )( 为参数)抛物线y22 px x 2pt2，y 2pt )(t 为参数)典型例题(2018武汉调研)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (x 4cos y 2si
10、n )为参数)，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点x t 3，y 2t 23)(1)求| AB|的值；(2)若 F 为曲线 C 的左焦点，求 的值FA FB 【解】 (1)由 ( 为参数)，消去参数 得 1.x 4cos y 2sin ) x216 y24由 消去参数 t 得 y2 x4 .x t 3，y 2t 23) 3将 y2 x4 代入 x24 y216 中，得 17x264 x1760.3 3设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则x1 x2 64317，x1x2 17617. )所以| AB| |x1 x2| ，所以| AB|的
11、1 221 417 （ 643） 2 417176 4017值为 .4017(2)由(1)得， F(2 ，0)，则3 ( x12 ， y1)(x22 ， y2)FA FB 3 3( x12 )(x22 )(2 x14 )(2x24 )3 3 3 3 x1x22 (x1 x2)124 x1x22 (x1 x2)123 35 x1x26 (x1 x2)6035 6 6017617 3 6431744，所以 的值为 44.FA FB (1)有关参数方程问题的 2 个关键点参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义(2)利用直线
12、的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x x0 tcos ，y y0 tsin )若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到： t0 .t1 t22| PM| t0| .|t1 t22 | AB| t2 t1|.| PA|PB| t1t2|. 对点训练1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为( 为参数)，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x 2cos y 4sin ) x 1 t
13、cos y 2 tsin )(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.x24 y216当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则 t1 t20.又由得 t1 t2 ，4（ 2cos
14、sin ）1 3cos2故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2已知曲线 C： 1，直线 l： (t 为参数 )x24 y29 x 2 t，y 2 2t)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值解：(1)曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)直线 l 的普通方程为x 2cos y 3sin )2x y60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d |4cos 3sin 55 6|.则| PA| |5sin( )6|
15、，其中 为锐角，且 tan .dsin 30255 43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .当 sin( )1 时，2255|PA|取得最小值，最小值为 .255极坐标方程与参数方程的综合问题(综合型)典型例题(2018郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 cos(2， 4) a，且 l 过点 A，曲线 C1的参数方程为 ( 为参数)( 4) x 2cos y 3sin )(1)求曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)过点 B(1，1)且与直线 l 平
16、行的直线 l1与曲线 C1交于 M， N 两点，求| BM|BN|的值【解】 (1)由直线 l 过点 A 可得 cos a，故 a ，则易得直线 l 的直角2 ( 4 4) 2坐标方程为 x y20.根据点到直线的距离公式可得曲线 C1上的点到直线 l 的距离 d ，其中 sin ，cos ，|2cos 3sin 2|2 |7（ sin ） 2|2 277 217所以 dmax .7 22 14 222即曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值为 .14 222(2)由(1)知直线 l 的倾斜角为 ，34则直线 l1的参数方程为 (t 为参数)x 1 tcos 34y 1 tsin 34 )
17、易知曲线 C1的普通方程为 1.x24 y23把直线 l1的参数方程代入曲线 C1的普通方程可得 t27 t50，设 M， N 两点对72 2应的参数分别为 t1， t2，所以 t1t2 ，根据参数 t 的几何意义可知107|BM|BN| t1t2| .107解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练(2018贵阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：
18、( 为参数)，在x 3cos y sin )以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos221.( 4)(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)过点 M(1，0)且与直线 l 平行的直线 l1交曲线 C 于 A， B 两点，求点 M 到 A， B 两点的距离之和解：(1)曲线 C 的普通方程为 y21，x23由 cos 1，得 cos sin 2，所以直线 l 的直角坐标方22 ( 4)程为 x y20.(2)直线 l1的参数方程为 (t 为参数)，将其代入 y21 中，化简得：x 1 22ty 22t ) x232t2 t2
19、0，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 ， t1t21，22所以| MA| MB| t1| t2| t1 t2| （ t1 t2） 2 4t1t2 .(22)2 4（ 1） 3221(2018益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为( 为参数)以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐x 2cos y sin )标系，直线 l 的极坐标方程为 cos .直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点( 3) 12(1)求直线 l 的直角坐标方程；(2)设点 P(1，0)，求| PA|PB|的值解：(1)由 cos 得 cos c
20、os sin sin ，( 3) 12 3 3 12又 cos x， sin y，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y10.3(2)由 ( 为参数 )得曲线 C 的普通方程为 x24 y24，x 2cos y sin )因为 P(1，0)在直线 l 上，故可设直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，x 32t 1y 12t )将其代入 x24 y24 得 7t24 t120，3所以 t1t2 ，127故| PA|PB| t1|t2| t1t2| .1272(2018合肥第一次质量检测)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： ( 为x 3cos y 2sin )参数)，在以 O 为极点， x
21、轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2cos 0.(1)求曲线 C2的直角坐标方程；(2)若曲线 C1上有一动点 M，曲线 C2上有一动点 N，求| MN|的最小值解：(1)由 2cos 0 得 22 cos 0.因为 2 x2 y2， cos x，所以 x2 y22 x0，即曲线 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y21.(2)由(1)可知，圆 C2的圆心为 C2(1，0)，半径为 1.设曲线 C1的动点 M(3cos ，2sin )，由动点 N 在圆 C2上可得| MN|min| MC2|min1.因为| MC2| ，（ 3cos 1） 2 4sin2 5cos2 6cos 5所
22、以当 cos 时，| MC2|min ，35 455所以| MN|min| MC2|min1 1.4553(2018高考全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为( 为参数)，过点 (0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点x cos y sin ) 2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解：(1) O 的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx .l 与 O 交于两点当且仅当 2 21，|21 k2|解得 k1 或 k1，即 或 .( 4， 2) ( 2，
23、34)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为 (t 为参数， )x tcos y 2 tsin ) 4 34设 A， B， P 对应的参数分别为 tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足 t22 tsin tA tB2 2 10.于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P 的坐标( x， y)满足 x tPcos ，y 2 tPsin ， )所以点 P 的轨迹的参数方程是( 为参数， )x 22sin 2y 22 22cos 2 ) 4 344(2018昆明调研)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点A(2，1)以坐标
24、原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P， Q 两点(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若| PQ|2| AP|AQ|，求直线 l 的斜率 k.解：(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) x 2 tcos y 1 tsin )曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2(4cos )t30，由 (4cos )2430，得 cos2 ，34由根与系数的关系，得 t1 t24cos ， t1t23，由参数的几何意义知，|
25、 AP| t1|，| AQ| t2|，| PQ| t1 t2|，由题意知，( t1 t2)2 t1t2，则( t1 t2)25 t1t2，得(4cos )253，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 115所以直线 l 的斜率 ktan .15155(一题多解)(2018郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点(1，0)，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 .8cos 1 cos2(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若 ，设直线 l 与
26、曲线 C 交于 A， B 两点，求 AOB 的面积 4解：(1)由题知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )x 1 tcos y tsin )因为 ，8cos 1 cos2所以 sin2 8cos ，所以 2sin2 8 cos ，即 y28 x.(2)法一：当 时，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， 4 x 1 22ty 22t )代入 y28 x 可得 t28 t160，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t28 ，2t1t216，所以| AB| t1 t2| 8 .（ t1 t2） 2 4t1t2 3又点 O 到直线 AB 的距离 d1sin ， 4 2
27、2所以 S AOB |AB|d 8 2 .12 12 3 22 6法二：当 时，直线 l 的方程为 y x1， 4设 M(1，0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 得 y28( y1) ，即 y28 y80，y2 8x，y x 1， )由根与系数的关系得 y1 y2 8，y1y2 8， )S AOB |OM|y1 y2| 1 412 12 （ y1 y2） 2 4y1y2 12 82 4（ 8） 12 2 .6 66(2018陕西教学质量检测(一)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 (t0， 为参数 )以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐
28、标x tcos y sin )系，直线 l 的极坐标方程为 sin 3.2 ( 4)(1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围解：(1)由 sin 3 得 sin cos 3，2 ( 4)把 x cos ， y sin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 x y30，当 t1 时，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 )，x cos y sin )消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2 y21，所以曲线 C 为圆，且圆心为 O，则点 O 到直线 l 的距离 d ，|0 0 3|2 322所以曲线 C 上
29、的点到直线 l 的距离的最大值为 1 .322(2)因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，所以对任意的 R， tcos sin 30，所以 00)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： cos .( 4) 2(1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围；(2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 ，求 t 的值62 2解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos ，即 cos sin ( 4) 2 2，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y2.因为曲线 C 的参数方程为 ( 为参数， t0)，x tcos y sin )所以曲线 C 的普
30、通方程为 y21( t0)，x2t2由 消去 x 得， (1 t2)y24 y4 t20，x y 2，x2t2 y2 1， )所以 164(1 t2)(4 t2)0，所以 00，所以 t .28(2018潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为( 为参数) ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线x 2cos y 2 2sin )C2的极坐标方程为 cos2 sin ( 0，0 )(1)写出曲线 C1的极坐标方程，并求 C1与 C2交点的极坐标；(2)射线 与曲线 C1， C2分别交于点 A， B(A， B 异于原点)，求( 6 3)的取值范围|OA
31、|OB|解：(1)由题意可得曲线 C1的普通方程为 x2( y2) 24，把 x cos ， y sin 代入，得曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，联立 4sin ， cos2 sin ， )得 4sin cos2 sin ，此时 0 ，当 sin 0 时， 0， 0，得交点的极坐标为(0，0)；当 sin 0 时，cos 2 ，当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐14 12 3 3标为 ，(23， 3)当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 23 3 (23， 23)所以 C1与 C2交点的极坐标为(0，0)， ， .(23， 3) (23， 23)(2)将 代入 C1的极坐标方程中，得 14sin ，代入 C2的极坐标方程中，得 2 ，sin cos2所以 4cos 2 ，因为 ，|OA|OB| 4sin sin cos2 6 3所以 14cos 2 3，所以 的取值范围为1，3|OA|OB|
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