1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 20 页 专题 11： 直线与圆、圆与圆 目录 问题归类篇 . 2 类型一： 圆的方程 . 2 类型二：直线与圆相切问题 . 5 类型三：直线与圆的相交问题 . 6 类型四：圆上点到直线或点的距离问题 . 10 类型五：两圆的位置关系问题 11 综合应用 篇 . 12 一、例题分析 . 12 二、反馈巩固 . 17 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 20 页 问题 归类 篇 类型一： 圆的 方程 一、前测回顾 1.经过三点 A(4， 3)， B(5， 2)， C(1， 0)的圆的方程为 2.一个圆
2、经过椭 圆 x216y24 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 3.已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y 2x 1 上，若圆 C 与两个坐标轴都相切，则圆 C 的标准方程是 _. 答案： 1. x2 y2 6x 2y 5 0 2. (x 32) 2 y2 254 ; 3. x 13 2 y 13 2 19 二、方法联想 求 圆的方程 方法 1： 三点代入圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0， 求解 D、 E、 F 方法 2：三角形 两边的垂直平分线交点为圆心 方法 3： 直角三角形外接圆的直径为斜边 优先判断三角形是否为直角三角形 ， 若为直角三角形 ， 用方
3、法 3； 若只涉及圆心 ， 可用方法 2； 方法 1可直接求出圆心和半径 三、 方法应用 例 1.在平面直角坐标系 xoy 中 ， 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， 焦距为 2，一条准线方程为 x 2.P 为椭圆 C 上一点 ， 直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若点 P 的坐标为 (0， b)， 求过 P、 Q、 F2 三 点的圆的方程； (3) 若 F1P QF1 ， 且 12， 2 ， 求 OP OQ 的最大值 解： (1) 由题意得2c 2，a2c 2，解得 c 1， a2 2， 所以 b
4、2 a2 c2 1. 所以椭圆的方程为 x22 y2 1. (2) 因为 P(0， 1)， F1( 1， 0)， 所以 PF1 的方程为 x y 1 0. 由x y 1 0，x22 y2 1，解得x 0，y 1， 或 x 43，y 13，所以点 Q 的坐标为 43， 13 . (解法 1)因为 kPF1 kPF2 1， 所以 PQF2 为直角三角形 因为 QF2 的中点为 16， 16 ， QF2 5 23 ， 所以圆的方程为 x 162 y 162 2518. 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 20 页 (解法 2)设过 P、 Q、 F2 三点的圆为 x2 y
5、2 Dx Ey F 0， 则1 E F 0，1 D F 0，179 43D13E F 0，解得D 13，E 13，F 43.所以圆的方程为 x2 y2 13x 13y 43 0. (3) 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 则 F1P (x1 1， y1)， QF1 ( 1 x2， y2) 因为 F1P QF1 ， 所以x1 1 （ 1 x2） ，y1 y2， 即x1 1 x2，y1 y2， 所以（ 1 x2） 22 2y22 1，x222 y22 1，解得 x2 1 32 . 所以 OP OQ x1x2 y1y2 x2( 1 x2) y22 2x22 (1 )x2 2 1 322
6、 (1 )1 32 74 58 1 . 因为 12， 2 ， 所以 1 2 1 2， 当且仅当 1， 即 1 时取等号 所以 OP OQ 12， 即 OP OQ 的 最大值为 12. （考查 椭圆方程，圆的方程，向量的坐标运算，函数最值） 例 2.设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | | 8AB （ 1）求 l 的方程 （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 解：（ 1）由题意得 1,0F ， l 的方程为 1y k x ， 0k 设 11,Ax y ， 22,Bx y 由 214y
7、k xyx 得 2 2 2 22 4 0k x k x k 故 212 224kxx k 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 20 页 DCBAOyx所以 212 24411 kA B A F B F x x k 由题设知 22448kk ， 解得 1k （舍去）， 1k 因此 l 的方程为 1yx （ 2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 3,2 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 23yx ， 即 5yx 设所求圆的圆心坐标为 00,xy ，则 0022 000511 1 62yxyxx ， 解得 0032xy 或 00116xy ， 因此所求圆的方程为 223
8、 2 16xy 或 221 1 6 1 4 4xy （考查 抛物线定义 ，圆的方程） 例 3.如图，在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A( 3， 4)， B(9， 0)， C， D 分别为线段 OA， OB 上的动点，且满足 AC BD （ 1）若 AC 4，求直线 CD 的方程； （ 2）证明： OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O） 解 (1)： 因为 A( 3， 4)， 所以 OA （ 3） 2 42 5. 因为 AC 4， 所以 OC 1， 所以 C 35， 45 . 由 BD 4， 得 D(5， 0)， 所以直线 CD 的斜率为0 455 35 17， 所以直线 CD 的方程为
9、 y 17(x 5)， 即 x 7y 5 0. (2) 证明： 设 C( 3m， 4m)(00)在交点处的切线互相垂直 ,则 r 答案： (1) x 1 或 5x 12y 5 0； 2； 3x 2y 7 0 (2)(x 3)2 (y 1)2 5 (3)3 二、方法联想 相切 问题 (1) 位置判断 ： 方法 1： 利用 d r； 方法 2： 在已知切点坐标的情况下 ， 利用圆心和切点的连线与切线垂直 (2)如图， 在 Rt PAC 中 ， 切线长 PA PC2 R2； 当圆外一点引两条切线时 ， (1)P、 A、 B、 C 四点共圆 (或 A、 B、 C 三点共圆 )，其中 PC 为 直径 ；
10、 (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程 (3)PC 为 APB 的平分线 ， 且垂直平分线段 AB 三、 方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知圆 C： x2 (y 3)2 2， 点 A 是 x 轴上的一个动点 ， AP， AQ 分别切圆 C 于 P， Q 两点 ， 则线段 PQ 的长的取值范围是 _ (直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化 ) 答案： 23 14,2 2) 例 2.已知圆 M： (x 1)2 (y 1)2 4， 直线 l： x y 6 0， A 为直线 l 上一点 若圆 M 上存在两点 B， C，使得 BAC 60 ， 则点
11、 A 横坐标的取值范围是 _ ( BAC 最大 时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题 ) 答案： 1， 5 四、 归类巩固 *1 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 以点 (1,0)为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)相切的所有圆中 ，半径最大的圆的标准方程为 _ (已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值 ；或者紧扣直线过定点解题 ) 答案： (x 1)2 y2 2 *2.平面直角坐标系 xOy 中 ，点 P 在 x 轴上，从点 P 向圆 C1： x2 (y 3)2 5 引切线，切线长为 d1，从点 P 向圆 C2： (x 5)2 (y 4)2 7 引切线，切
12、线长为 d2，则 d1 d2 的最小值为 _ P ABC南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 6 页 共 20 页 (求切线长问题再利用数形结合思想 解决最值问题 ) 答案： 5 2 解： 设点 P(x， 0)，则 d1 x2 ( 3)2 5， d2 (x 5)2 42 7， d1 d2 x2 4 (x 5)2 9， 几何意义：点 P(x， 0)到点 M(0， 2)， N(5， 3)的距离和 当 M， P， N 三点共线时， d1 d2有最小值 5 2，此时 P(2， 0) *3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 1)， B(1， 1)，点 P 为圆 (x 4)2
13、 y 2 4 上任意一点， 记 OAP 和 OBP 的面积 分别为 S1 和 S2，则 S1S2的最小值 是 答案： 2 3 (数形结合利用相切情况解决最值问题 ) 类型 三 ： 直线与圆的相交问题 一、 前测回顾 1.已知过定点 P(1， 2)的直线 l 交圆 O： x2 y2 9 于 A， B 两点 ，若 AB 4 2， 则直线 l 的方程为 ； 当 P 为线段 AB 的中点时 ， 则直线 l 的方程为 2.已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0.设该圆过点 ( 1， 4)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 答案： 1.x 1 或 3x 4y 5 0；
14、 x 2y 5 0 2.30; 二、方法联想 相交弦问题 直线与圆的位置关系 判断方法： 代数法和几何法 . (1) 圆心角 、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式 如 ： (L2)2 d2 R2， d Rcos 2 ， L2 Rsin 2 (2)相交弦的垂直平分线过圆心 (3)过圆内一定点 ， 最长的弦为直径 ， 最短的弦与过定点的直径垂直 三、 方法应用 例 1 如图 ， 某工业园区是半径为 10 km 的圆形区域 ， 离园区中心 O 点 5 km 处有一中转站 P， 现准备在园区内修建一条 笔直公路 AB 经过中转站 ， 公路 AB 把园区分成两个区域 (1) 设中心
15、 O 对公路 AB 的视角为 ， 求 的最小值 ， 并求较小区域面积的 最小值； (2) 为方便交通 ， 准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD， 求两条公路长度和的最小值 解： (1) 如图 1， 作 OH AB， 设垂足为 H， 记 OH d， 2 AOH， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 7 页 共 20 页 因为 cos AOH d10， 要使 有最小值 ， 只需要 d 有最大值 ， 结合图象可得d OP 5 km， 当且仅当 AB OP 时 ， dmax 5 km. 此时 min 2 AOH 2 3 23 . 设 AB 把园区分成两个
16、区域 ， 其中较小区域面积记为 S， 根据题意可得 S f() S 扇形 S AOB 50( sin )， f () 50(1 cos ) 0 恒成 立， f()为增函数 ， 所以 Smin f 23 50 23 32 km2.(8 分 ) 答：视角的最小值是 23 ， 较小区域面积的最小值是 50 23 32 km2. (2) 如图 2， 过 O 分别作 OH AB， OH1 CD， 垂足分别是 H， H1， 记 OH d1， OH1 d2， 由 (1)可知 d1 0， 5， 所以 d21 d22 OP2 25， 且 d22 25 d21.(10 分 ) 因为 AB 2 100 d21， C
17、D 2 100 d22， 所以 AB CD 2( 100 d21 100 d22) 2( 100 d21 75 d21)， (11 分 ) 记 L(d1) AB CD 2( 100 d21 75 d21)， 可得 L2(d1) 4175 2 （ 100 d21）（ 75 d21） ， 由 d21 0， 25， 可得 d21 0， 或 d21 25 时 ， L2(d1)的最小值是 100(7 4 3)， 从而 AB CD 的最小值是 20 10 3 km. 答：两条公路长度和的最小值是 20 10 3 km. （考查圆的垂径定理，圆的几何性质，弓形面积求法，函数的最值的求法等等） . 例 2.
18、如图， 在平面 直角坐标系 xOy 中， 已知点 (2,4)P ，圆 O： 224xy与 x 轴的正半轴的交点是 Q，过点 P 的直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A， B （ 1）若直线 l 与 y 轴交于 D，且 16DP DQ，求直线 l 的方程； （ 2）设直线 QA， QB 的斜率分别是 12,kk， 求 12kk 的值； （ 3）设 AB 的中点为 M，点 N 4( ,0)3 ， 若 133MN OM ，求 QAB 的面积 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 8 页 共 20 页 xyDMBAQOPN解：（ 1）若直线 l 垂直与 x 轴，则方程为 2x ， 与
19、圆只有一个交点，不合题意 故 l 存在斜率，设直线 l 的方程为 4 ( 2)y k x 即 2 4 0kx y k ， 圆心到直线 l 的距离2241kd k ， 因为直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A， B，所以224 21kd k ， 解得 34k 又 (0, 2 4)Dk， (2,0)Q ， 所以 ( 2 , 2 4 ) , ( 2 , 2 )D Q k D P k 所以 4 2 ( 2 4 ) 1 6D P D Q k k ， 解得 3k 或 1k （ 舍去）， 所以直线 l 的方程是 3 2 0xy （ 2）联立224 ( 2)4y k xxy 得 2 2 2(1 ) 4 (
20、2 ) ( 2 4 ) 4 0k x k k x k 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 则12 2212 24 ( 2 )1( 2 4 ) 41kkxxkkxxk 所以 1212 1 2 1 2( 2 ) 4 ( 2 ) 42 2 2 2yy k x k xkk x x x x 121 2 1 2 1 24 ( 4 )44222 2 2 ( ) 4xxkkx x x x x x 22224 ( 2 )4 ( 4 )12( 2 4 ) 4 4 ( 2 )2411kkkkk k kkk 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 9 页 共 20 页 4
21、 ( 8 4 )2 2 2 1 116kk k k 即 12kk 的值是 1 （ 3） 法 一 ：设中点 00( , )M x y ， 则由（ 2）知120 200 24 ( 2 )212 ( 2 )( 2 ) 41xx kkxkky k xk （ *） 又由 133MN OM ， 得 2 2 2 20 0 0 04 1 3( ) ( )39x y x y 化简得 220 0 06 4 0x y x ， 将 （ *） 代入解得 1k 因为圆心到直线 l 的距离224 21kd k ， 所以 22 4 2 2A B d ， Q 到直线 l 的距离 22h ， 所以 1 42ABQS A B h
22、即 QAB 面积为 4 法二：设中点 ( , )M x y ， 由 133MN OM ， 化简得 22 6 4 0x y x ， 又 OM PM ， 所以 M 在以 OM 为直径的圆上（在圆 O 的内部） 即 22( 1) ( 2 ) 5xy 联立解得 ( 1, 1)M ， 再求得 QAB 面积为 4 四、 归类巩固 *1.直线 l1： y kx 3 与 圆 C： (x 2)2 (y 3)2 4 相交于 M， N 两点，若 MN 2 3，则 k 的 的 取值范围是 _ (已知弦长范围，求参数取值范围 ) 答案： 33 ,33 *2.过点 P( 4,0)的直线 l 与圆 C： (x 1)2 y2
23、 5 相交于 A,B 两点 ,若点 A 恰好是线段 PB 的中点 ， 则直线 l 的方程为 _ (已知弦的性质，求直线方程 ) 答案： x3 y 4 0 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 10 页 共 20 页 *3.已知直线 l： mx y 3m 3 0 与圆 x2 y2 12 交于 A， B 两点，过 A， B 分别作 l 的垂线交 x 轴于C， D 两点，若 AB 2 3，则 CD (已知弦长，求直线方程及有关量的取值 ) 答案： 4 *4.在平面直角坐标系 xOy 中 ， 圆 C1： (x 1)2 (y 6)2 25， 圆 C2： (x 17)2 (y 30)2 r
24、2.若圆 C2 上存在一点 P， 使得过点 P 可作一条射线与圆 C1依次交于点 A， B， 满足 PA 2AB， 则半径 r 的取值范围是_ (已知 两 弦长 关系求参数范围 问题 ) 答案： 5， 55 类型 四：圆上点到直线或点的距离问题 一、 前测回顾 1.已知实数 x,y 满足 x2 y2 4， 则 (x 3)2 (y 4)2的范围是 . 2.圆 C： x2 (y 2)2 R2(R 0)上恰好存在 2 个点 ， 它到 直线 y 3x 2 上的距离 为 1， 则 R 的取值范围为 答案： 1. 9， 49; 2.1 R 3 二、方法联想 圆上的点到直线的距离 (1)当直线与圆相离时 ，
25、 圆上点到直线距离 ， 在点 A 处取到最大值 d R， 在点 B 取到最小值 d R (2)当直线与圆 ； 在圆外时，圆上的点到点的最大距离是 d R， 最小距离是 d R (1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d R， 最小距离是 R d. 圆上的点到点 的距离 (1)当已知点在 圆 外 时 ， 圆上点到已知点 距离最大值 d R， 最小值 d R (2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d R， 最小距离是 R d. 三、 方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知点 P 是直线 l： y x 2 上的动点，点 A,B 分别是圆 C1： (x 3)2
26、(y 1)2 4 和 圆 C2： x2 (y 3)2 1 上的两个动点，则 PA+PB 的最小值为 . 答案： 73 3. (考查 点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题 ) 例 2. 已知点 A(0， 2)为圆 M： x2 y2 2ax 2ay 0(a 0)外一点 ， 圆 M 上存在点 T 使得 MAT 45 ，则实数 a 的取值范围是 _ 答案： 3 1 a 1 解析： 点 A(0， 2)在圆 M： x2 y2 2ax 2ay 0(a 0)外 ， 得 4 4a 0， 则 a 1.圆 M 上存在点 T 使得 MAT 45 ， 则 AM2 r 2a， 即 AM 2a， (a 2)2 a2 4a
27、2(a 0)， 解得 3 1 a.综上 ， 实数 a 的取值范围是 3 1 a 1. （ 考查了点与圆的位置关系 ， 两点之间的距离 ， 一元二次不等式解法等内容 ） 例 3.已知圆 C： (x 2)2 y2 4， 线段 EF 在直线 l： y x 1 上运动 ， 点 P 为线段 EF 上任意一点 ， 若圆 C上存在两点 A， B， 使得 PA PB 0， 则线段 EF 长度的最大值是 _ 答案： 14 (考查 直线与圆的位置关系， 解三角形，向量的数量积 ，两点间距离 ) 四、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0
28、 的距离为 1，则实数 c的取值范围是 . C BA 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 11 页 共 20 页 答案：（ 13， 13） (已知圆上点到直线距离求参数范围 ) *2.在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5，圆 C 与 y 轴交于点 O,B，其中 O为原点设 P 为直 线 l:x y 2 0 上 的动点， Q 为圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标 答案： PB+PQ 的最小值为 2 5,此时 P 点坐标为 ( 43， 23) 考查点圆距离与点线距离的综合问题 类型 五 ： 两圆的位置关
29、系问题 一、 前测回顾 1.已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 和圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0， 若两圆相交 ， 实数m 的取值范围为 2.已知圆 O1： x2 y2 4x 2y 4 0， 圆 O2： x2 y2 6x 2y 6 0， 则两圆的 公共弦长度为 答案： 1. 5 m 2 或 1 m 2;2.4 二、 方法联想 两圆位置关系 问题 位置关系 d 与 r1， r2的关系 公切线条数 外离 d r1 r2 4 外切 d r1 r2 3 相交 |r1 r2| d r1 r2 2 内切 d |r1 r2| 1 内含 0 d |r1 r2| 0 两圆
30、相交 问题 (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程 (2)两圆相交时 ， 两圆圆心的连线垂直平分公共弦 两圆相切 问题 两圆相切时 ， 两圆圆心的连线过两圆的切点 三、 方法应用 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知直线 y x 1 与 x 轴 ， y 轴 分别交于 M,N 两点，点 P 在圆 (x a)2 y2 2 上运动，若 MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是 . 答案： (， 1 7) ( 7 1， ) (考查 两圆的位置关系 ) 例 2.在平面直角坐标系 xOy 中 ， A， B 为 x 轴正半轴上的两个动点 ， P(异于原点 O)为 y 轴上的一个定点 若以 A
31、B 为直径的圆与圆 x2 (y 2)2 1 相外切 ， 且 APB 的大小恒为定值 ， 则线段 OP 的长为 _ 答案： 3 (考查 两圆的位置关系，定值问 题处理方法 ) 例 3.已知直线 l ： 20xy与 x 轴交于点 A ，点 P 在直线 l 上，圆 C ： 22( 2) 2xy 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 20 页 上有且仅有一个点 B 满足 AB BP ，则点 P 的横坐标的取值集合为 答案： 1,53(考查 两圆的内切外切关系，计算量较大，也可以两圆相减转化为线圆相切等 ) 四、 归类巩固 *1. 若两点 A(1， 0)， B(3， 2 3
32、)到直线 l 的距离均等于 1，则直线 l 的方程为 (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段 A B 平行和过线段 A B 中点两种情况 ) 答案： 3x y 2 3 0 或 3x y 2 3 0 或 x 3y 1 0 或 x 2 0. *2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 1)2 (y 1)2 9，直线 l： y kx 3 与圆 C 相交于 A，B 两点 ， M 为弦 AB 上一动点 ， 以 M 为圆心 ， 2 为半径的圆与圆 C 总有公共点 ， 则实数 k 的取值范围为 _ (已知两圆位置关系，求参数取值范围 ) 答案： 34, ) *3.在平面直角坐标系
33、 xOy 中 ,已知圆 O： x2 y2 1， O1： (x 4)2 y2 4， 动点 P 在直线 x 3y b0 上 ， 过 P 分别作圆 O， O1的切线 ， 切点分别为 A， B， 若满足 PB 2PA 的点 P 有且只有两个 ， 则实数 b 的取值范围是 _ (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围 ) 答案： ( 203 ,4) 综合 应用 篇 一、例题分析 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆 C 上 一 点 P（ 0， 2）到椭圆 C 的右焦点的距离为 6 *（ 1） 求椭圆 C 的方程； *（ 2） 过点 P 作互相垂直的两条直线 l1， l2，且 l1交椭圆 C 于
34、A， B 两点，直线 l2交圆 Q 于 C， D 两点，且 M 为 CD 的中点，求 MAB 的面积的取值范围 解： (1)x28y24 1 (2) 记 MAB 的面积 为 S， 当直线 l1 的斜率不存在时，可求得 S 4. 当直线 l1 的斜率存在时，设为 k(k 0),则 l1:y kx 2， l2:y 1kx 2 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 由南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 13 页 共 20 页 x28 y24 1y kx 2得 (1 2k2)x2 4 2kx 4 0 ，则 x1 x2 4 2k1 2k2， x1x2 41 2k2 ， AB 1
35、 k2|x1 x2| 4 (1 k2)(4k2 1)2k2 1 又圆心 Q(2， 2)到 l2的距离 d1 21 k2 2 ，得 k2 1 又 MP AB， QM CD，所以 M 点到 AB 的距离等于 Q 点到 AB 的 距离，设为 d2，即 d2 |2k 2 2|1 k2 2|k|1 k2 所以 MAB 面积 S 12|AB|d2 4|k| 4k2 12k2 1 4k2(4k2 1)(2k2 1)2 令 t 2k2 1( 3， ) ， ，则 1t( 0， 13)， S 4 2t2 3t 12t2 412(1t32)2 18(4 53 ， 4)， 综上， MAB 面 积的取值范围为 (4 5
36、3 ， 4. 教学建议 （ 1）问题归类与方法 ： 1.相交弦问题 直线与圆的位置关系 判断方法： 代数法和几何法 . 1 圆心角 、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式 如 ： (L2)2 d2 R 2， d Rcos 2 ， L2 Rsin 2 2 相交弦的垂直平分线过圆心 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值 （ 2）方法选择与优化 ： 本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求 M 点坐标，也可以利用勾股定理求高 22, M QP M P Q M Q即是点 Q 到 PD 的距离，此题也可以设直线 PD 的斜率
37、为 k，简化 PM 的形式 . 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 如图 ， 已知 A1、 A2、 B1、 B2是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的四个顶点 ， A1B1B2是一个边长为 2 的等边三角形 ， 其外接圆为圆 M. * (1) 求椭圆 C 及圆 M 的方程； (2) 若点 D 是圆 M 劣弧 A1B2 上一动点 (点 D 异于端点 A1、 B2)， 直线 B1D 分别交线段 A1B2、椭 圆 C 于点 E、 G， 直线 B2G 与 A1B1 交于点 F. * * * ( ) 求 GB1EB1的最大值； * * ( ) 试问： E、 F 两点的 横坐标之和是否为
38、定值？若是 ， 求出该定值；若不是 ， 说明理由 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 14 页 共 20 页 解： (1) 由题意知 ， B2(0， 1)， A1( 3， 0)， 所以 b 1， a 3， 所以椭圆 C 的方程为 x23 y2 1. 易得圆心 M 33 ， 0 ， A1M 2 33 ， 所以圆 M 的方程为 x 332 y2 43. (2) 设直线 B1D 的方程为 y kx 1 k 33 ， 与直线 A1B2的方程 y 33 x 1 联立 ， 解得点 E( 2 33k 1， 3k 13k 1)， 联立y kx 1，x23 y2 1，消去 y 并整理 ， 得
39、(1 3k2)x2 6kx 0， 解得点 G 6k3k2 1， 3k2 13k2 1 ， ( ) GB1EB1 |xG|xE| 6k3k2 1| 2 33k 1| 3k2 3k3k2 1 13k 13k2 1 1 1（ 3k 1） 2 （ 3k 1） 2 1 12 2 2 2 12 ， 当且仅当 k 6 33 时 ， 取 “ ” ， 所以 GB1EB1的最大值为 2 12 . ( ) 直 线 B2G 的方程为 y3k2 13k2 1 16k3k2 1x 1 13kx 1， 与直线 A1B1的方程 y 33 x 1 联立 ， 解得点 F( 6k3k 1， 3k 13k 1)， 所以 E、 F 两
40、点的横坐标之和为 2 33k 1 6k3k 1 2 3. 故 E、 F 两点的横坐标之和为定值 ， 该定值为 2 3. 教学建议 （ 1） 问题归类与方法 ： 1.求 圆的方程 方法 1： 三点代入圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0， 求解 D、 E、 F 方法 2：三角形 两边的垂直平分线交点为圆心 方法 3： 直角三角形外接 圆的直径为斜边 2.联立两直线方程求交点坐标 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 15 页 共 20 页 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值 （ 2）方法选择与优化 ： （ 1）问中求圆的方程方法 1 与 2
41、 都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“ a 2”； （ 2）问中斜率 k 的范围易错，以斜率 k 为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法 .也可以借助 椭圆参数方程 设 G( 3cos， sin )( 2 ) , 上面的方法中的 k kGB1 sin 13cos ，最后 GB1EB1sin cos 12 2sin( 4 ) 12 形式比较简洁 ,此法也可以参考 . 例 3.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 椭圆 E:x22 y2 1 ， 如图，动直线 l ：1 32y k x交椭圆 E 于 ,AB两点， C 是椭圆 E 上一点， 直线 OC 的斜率为 2k ，且12 24kk， M 是线段 OC 延长线上一点，且: 2 :3MC AB ， M 的半径为 MC ， ,OSOT 是 M 的两条切线，切点分别为 ,ST.求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率 . 解： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，联立方程 x22 y2 1y k1x 32得 (4k21 2)x2 4 3k1x 1 0，由题意知 0，且 x1 x2 2 3k12k21 1，x1x2 12(2k21 1)， 所以 |AB| 1 k21|x1 x2| 2 1 k21 1 8k212k21 1 . 由题意可知圆 M
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