1、 专题 23 与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9 m 和 15 m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角CAD45，则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD_ m.【答案】 18 【解析】：设 BDx m，作 AHCD，垂足为 H，记HAC，HAD，则 45.因为 tan ， tan ，且 tan()1，得 1，6x 9x6x 9x1 6x9x即 x215x540，即(x3)(x18)0，解得 x18.在解方程的过程中，若记 t，则 5t16t 2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方解 后 反 思3x
2、程的根2.如图 1，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角 MAN60， C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.【答案】 150 【解析】 根据图示， AC100 m.在 MAC 中，2 CMA180756045. 由正弦定理得 AM100 m.在 AMN 中，ACsin 45 AMsin 60 3sin 60， MN100 150(m)MNAM 3 323.如图 2，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB， C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于
3、 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分 钟，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米. 【答案】 7504、如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心， AB 为直径)，现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D， OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2.设 AOC x rad.(1) 写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；(2) 试问 AOC 多大时，改建后的绿
4、化区域面积 S 取得最大值？思路分析 对于(1)，面积 S 由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式 S r 2可得，另一个12是 OCD 的面积，根据三角形的面积公式 absinC 可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，12因 此，采用导数法来研究它的最值【解析】： (1) 因为扇形 AOC 的半径为 40 m， AOC x rad，所以扇形 AOC 的面积 S 扇形AOC 800 x,0 x.(2 分)xOA22在 COD 中， OD80， OC40， COD x，所以 COD 的面积 S COD OCODsin COD1 600sin( x)1 600sin x，(
5、4 分)12从而 S S COD S 扇形 AOC1600sin x800 x,0 x.(6 分)【问题探究，变式训练】例 1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分成 AD，CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60，杆 AC 长为 1 米若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆 BD 的成本是 4a 元/米设ADB，制作整个支架的总成本记为 S 元(1) 求 S 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；(2) 问 AD 段多长时，S 最小？【解析】：
6、(1) 在ABD 中，由正弦定理得 ，(1 分)1sin BDsin 3 ADsin(23 )所以 BD ，AD ，(3 分)32sin 3cos2sin 12则 Sa 2a 4a a ， .(7 分)(3cos2sin 12) 1 (3cos2sin 12) ( 32sin ) (43 3cos2sin 32) ( 3， 23)(2) 令 S a 0，设 cos 0 .(9 分)31 4cos2sin2 14 ( 3， 0) 0 ( 0， 23)cos (14， 12) 14 ( 12， 14)S 0 S 单调递减 极小 单调递增(11 分)所以当 cos 时，S 最小，此时 sin ，AD
7、 .(12 分)14 154 3cos2sin 12 5 510答：(1)S 关于 的函数表达式为 Sa ，且 ；(43 3cos2sin 32) ( 3， 23)(2)当 AD 时，S 最小(14 分)5 510【变式 1】 、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6，O 是圆心，且 OCAB.在 OC 上有一座观赏亭 Q，其中AQC .计划在 上再建一座观赏亭 P，记POB .23 BC (00，且 (0， )，所以当 tan 取最大值 时， 也取得最大值22答：游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时， sin .(16 分) 33解法 2 记 T ， ，则 T cosT sin
8、(1，T)( cos， sin) ，得cos3 sin (0， 2) 3 1 T2T ，当且仅当 tan ，即 sin 时取等号(13 分) 22 22 33所以 tan 的最大值为 .显然 tan0，所以当 tan 时， 取最大值22 22答：游客在 观赏亭 P 处的观赏效果最佳时， sin .(16 分) 33【变式 2】 、 ） ）(2017 苏锡常镇调研（一） ） （C13,17. (本小题满分 14 分)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC(如图)设计要求彩门的面积为S(单位：m 2)，高为 h(单位：m)( S， h 为常数)彩门的下底 BC 固定在
9、广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度之和记为 l.(1) 请将 l 表示成关于 的函数 l f( )；(2) 问：当 为何值时 l 最小，并求最小值(2) f( ) h h ，(8 分)( 2cossin2 1sin2 ) 1 2cossin2令 f( ) h 0，得 .(9 分)1 2cossin2 3当 变化时， f( )， f( )的变化情况如下表： (0， 3) 3 ( 3， 2)f( ) 0 f( ) 极小值 所以 lmin f h .(12 分)( 3) 3 Sh答：(1) l 表示成关于 的函数为 l f( ) h ；Sh ( 2sin
10、1tan )(0 2)(2) 当 时， l 有最小值，为 h .(14 分) 3 3 Sh【变式 3】 、 在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域 ABC，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图） 看台，看台是分别以 AB， AC 为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的 3 倍；矩形表演台 BCDE 中， CD10 米；三角形水域 ABC 的面积为 400 平方米设3 BAC （1）求 BC 的长（用含 的式子表示） ；（2）若表演台每平方米的造价为 0.3 万元，求表演台的最低造价【解析】：（1）因为看台的面积是看台的面积的 3 倍，所以 AB AC3在 AB
11、C 中， S ABC ABACsin 400 ，12 3所以 AC2 3 分800sin由余弦定理可得 BC2 AB2 AC22 ABACcos ，4 AC22 AC2 cos 3(42 cos ) ，3800sin即 BC 40 所以 BC40 ， (0，) 7 分（2）设表演台的总造价为 W 万元因为 CD10m，表演台每平方米的造价为 0.3 万元，所以 W3 BC120 ， (0，) 9 分记 f( ) ， (0，)则 f ( ) 11 分由 f ( )0，解得 6当 (0， )时， f ( )0；当 ( ，)时， f ( )0 6 6故 f( )在(0， )上单调递减，在( ，)上单
12、调递增， 6 6从而当 时， f( )取得最小值，最小值为 f( )1 6 6所以 Wmin120(万元) 答：表演台的最低造价为 120 万元 14 分例 2、如图，海上有 A， B 两个小岛相距 10km，船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60，现从船 O上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业，且 OC BO.设 AC xkm.(1) 用 x 分别表示 OA2 OB2和 OAOB，并求出 x 的取值范围；(2) 晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛， B 岛至光线 CA 的距离为 BD，求 BD 的最大值【解析】： (1) 在 OAC 中， AOC12
13、0， AC x.由余弦定理得 OA2 OC22 OAOCcos120 x2.又 OC BO，所以OA2 OB22 OAOBcos120 x2 .(2 分)在 OAB 中， AB10， AOB60.由余弦定理得OA2 OB22 OAOBcos60100 .(4 分)得 OA2 OB2 .x2 1002得 4OAOBcos60 x2100，即 OAOB .(6 分)x2 1002又 OA2 OB22 OAOB，所以 2 ，即 x2300.又 OAOB 0，即 x2100，所以x2 1002 x2 1002 x2 1002100，(14 分)32(1 100x2)则 f(x)在(10,10 上是单调
14、增函数，所以 f(x)的最大值为 f(10 )10，即 BD 的最大值为 10.(16 分)3 3(利用单调性定义证明 f(x)在(10,10 上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出 f(x)在(10,10 上3 3是增函数，但未给出证明，扣 2 分)【变式 1】 、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD， ， ABC， 百米，2CD百米该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 P（宽度忽略不计） ，点 P在道路 A上（异于 ， 两点） ， （1）用 表示直道 P的长度；（2）计划在 D区域内种植观赏植物，在 CDP区域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米 2万元，种植经济作
15、物的成本为每平方百米 1万元，新建道路 DP的成本为每百米 1万元，求以上三项费用总和的最小值【解析】： （1）过点 D作 垂直于线段 AB，垂足为 D在直角 ABC 中，因为 AB BC， 6C ， 3，所以 3C在直角 中，因为 1A， ，所以 2，则 ，故 3D ，又 6BAC ，所以 6DP 2 分在 P 中，由正弦定理得 sinA=，所以 1sinD， 56 6 分（2）在 AP 中，由正弦定理得 ，所以 所以 又 所以 8 分设三项费用总和为 ()f，则CBA（第 17 题）DPD， 56， 10 分所以 ，令 ()0f，则 23列表：所以 23时， 答：以上三项费用总和的最小值为
16、 23万元 14 分【变式 2】 、如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB， AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M， N (异于村庄 A)，要求 PM PN MN2(单位：km)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?(第 17 题)263， 232536，()f 0 2Z答：设计 AMN 为 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小(14 分)解法 2 (构造直角三角形) 设 PMB .当 0 时，在 PMD 中，因为 PM2，所以 PD2sin ， MD2cos . (2 分) 2在 AMN 中， A
17、NM PMB ，所以 ， AM sin ，所以 AD sin 2cos MNsin60 AMsin 433 433.(6 分)( 2时 ， 结 论 也 正 确 )AP2 AD2 PD2 2(2sin )2(433sin 2cos ) sin2 sin cos 4cos 2 4sin 2 (8 分)163 1633 sin2 4163 1 cos22 833 sin2 cos2 833 83 203 sin ， . (12 分)203 163 (2 6) (0， 23)当且仅当 2 ，即 时， AP2取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 . 6 2 3 3此时 AM AN2， PAB30.
18、(14 分)解法 3 设 AM x， AN y， AMN .在 AMN 中，因为 MN2， MAN60，所以 MN2 AM2 AN22 AMANcos MAN，即 x2 y22 xycos60 x2 y2 xy4.(2 分)因为 ，即 ，所以 sin y，MNsin60 ANsin 2sin60 ysin 34cos .(6 分)x2 4 y222x x2 x2 xy4x 2x y4cos AMPcos( 60) cos sin y .(8 分)12 32 12 2x y4 32 34 x 2y4在 AMP 中， AP2 AM2 PM22 AMPMcos AMP，即 AP2 x2422 x x
19、24 x(x2 y)x 2y442 xy.(12 分)因为 x2 y2 xy4,4 xy x2 y22 xy，即 xy4.所以 AP212，即 AP2 .3当且仅当 x y2 时， AP 取得最大值 2 .3答：设计 AM AN2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小(14 分)例 3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆 O的圆心与矩形 ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切( E为上切点)，与左右两边相交( F， G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m，且 12ABD 设 EF，透光区域的面积为 S（1）求 S关于 的函数
20、关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边 AB的长度【解析】 （1）过点 O作 HFG于点 ，则 ，所以 ，2 分所以 sin2，6 分因为 1ABD ，所以 1sin2 ，所以定义域为 ,)628 分（2）矩形窗面的面积为 则透光区域与矩形窗面的面积比值为 10 分设 ， 62 则，12 分因为 62 ，所以 1sin2 ，所以 ，故 ()0f，所以函数 ()f在 ,)6上单调减所以当 时， (f有最大值 364，此时 (m) 14 分答：（1） S关于 的函数关系式为 ，定义域为 ,)62；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，
21、 AB的长度为 1m16 分【变式 1】 、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 l1排，在路南侧沿直线 l2排，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1与 l2接通已知 AB60m， BC80m，公路两侧排管费用为每米 1 万元，穿过公路的部分的排管费用为每米 2 万元，设 EF 与 AB 所成的小于 90的角为 .A BCDFEOGH(1) 求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 的函数关系式；(2) 求排管的最小费用及相应的角 . 【解析】 (1) 如图，过 E 作 EM BC，垂足为点 M.由题意得 MEF ，故有(0 tan 43)MF60ta
22、n ， EF ， AE FC8060tan .(4 分)60cos所以 W(8060tan )1 2(5 分)60cos80 60sincos 120cos80 .(8 分)60 sin 2cos(2) 解法 1 设 f( ) 其中 0 0 ，tan 0 ，sin 2cos 2 43则 f( ) .(10 分)cos cos sin sin 2cos2 1 2sincos2令 f( )0 得 12sin 0，即 sin ，得 .(11 分)12 6列表 (0， 6) 6 ( 6， 0)f( ) 0 f( ) 极大值 所以当 时有 f( )max ，此时有 Wmin8060 .(15 分) 6
23、3 3答：排管的最小费用为(8060 )万元，相应的角 .(16 分)3 6解法 2 f( ) ，2 sincos 32 1 sin 12 1 sin cos 32 1 sin 12 1 sin cos 32当且仅当 (1sin ) (1sin )时成立，此时 sin ， .(11 分)32 12 12 6以下同解法 1.【变 式 2】 、如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为 的中点，其所在圆 O 的半径为 4 dm(圆心 O 在弓 形 EMFEF内)， EOF .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损耗)， AD EF，且点 A， D 在 上，23 EF设 AOD2 .(
24、1) 求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式；(2) 当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 cos 的值(第 18 题)【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为 S， AOM . 当 0 时(如图 1)， AB4cos 2， AD24sin ， 3S ABAD(4cos 2)(24sin )16sin (2cos 1)(3 分)当 时(如图 2)， AB24cos ， AD24sin ，故 S ABAD64sin cos 32sin 3 22 .综上得，矩形铁片的面积 S 关于 的函数关系式为SError! (7 分)【变式 3】 、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场， AB2
25、0 m，广场的一角是半径为 16 m 的扇形 BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN(宽度不计)，点 M 在线段 AD 上，并且与曲线 CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线 CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为 2a 元/m，单人弧形椅的造价为 a 元/m，记锐角 NBE ，总造价为 W 元(1) 试将 W 表示为 的函数 W( )，并写出 cos 的取值范围；(2) 如何选取点 M 的位置，能使总造价 W 最小？【解析】;： (1) 过点 N 作 AB 的垂线，垂足为 F；过 M 作 NF 的
26、垂线，垂足为 G.在 Rt BNF 中， BF16cos ，则 MG2016cos .在 Rt MNG 中， MN .(4 分)20 16cossin由题意易得 CN16 ，(6 分)( 2 )因此， W( )2 a 16 a ，(7 分)20 16cossin ( 2 )当点 M 与点 A 重合时，cos ；1620 45当点 M 与点 D 重合时，cos 0，故 cos .(9 分)(0，45)(2) W( )16 a8 a4 5cossin28 a . 2cos 1 cos 2sin2令 W( )0，cos ，因为 ，所以 .(12 分)12 (0， 2) 3设锐角 1满足 cos 1 ， 1 .当 时， W( )0， W( )单调递减；45 (0， 3) ( 1， 3)当 时， W( )0， W( )单调递增(14 分)( 3， 2)所以当 时，总造价 W 最小，最小值为 a 元，此时 MN8 ， NG4 ， NF8 ，因此当 3 (163 83) 3 3 3AM4 m 时，总造价最小(16 分)3易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少
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