1、专题 09 复数、推理与证明【训练目标】1、 掌握复数的概念及复数的分类；2、 掌握复数的四则运算，复平面问题；3、 掌握共轭复数的概念，模长的计算；4、 理解复数的几何意义；5、 掌握归纳推理和类比推理的方法；6、 掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。【温馨小提示】本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分 题，主要考察复数的运算及复平面；推理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。【名校试题荟萃】1.若集合，则 等于（ ）A B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以。2.设复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A
2、.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题意，对应点为 ，在第四象限故选 D3.若复数是纯虚数，则 的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由题意可得因为复数 z 是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为 且 ，所以.所以.因为.故选 A.4.设 为虚数单位，如果复数 满足，那么 的虚部为（ ）A. B. C. D.【答案】B5.设复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】可得，则，则 6. 是 的共轭复数，若 ，（ 为虚数单位），则 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：设 （ ），则 ， 又， ，故
3、 方法二：，又 ， .7、已知 为实数，若 ，则实数 等于（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】且复数不可比较大小， 必为实 数， ， .故选 B.8、已知 ， ，定义：.给出下列命题:（1）对任意 ,都有 ；（2）若 是复数 z 的共轭复数，则恒成立； （3）若，则 ；（4）对任意 ，结论恒成立.则其中真命题是（ ）A.（1）（2）（3）（4） B.（2 ）（3）（4） C.（2）（4） D. （2）（3）【答案】C9、复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选 A.10、考察下列等式：，其中 为虚数单位，均为实数由归纳可得，的值为 .【答案】0【解析】通过
4、归纳可得，从而11、 是复平面内的平行四边形， 三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为_.【答案】12、下面四个命题中， 复数，则其实部、虚部分别是 ； 复数 满足，则 对应的点集合构成一条直线； 由，可得； 为虚数单位，则正确命题的序号是 .【答案】 13、已知复数和复数,则 的值_.【答案】【解析】.14、若 是实数， ，则 .【答案】【解析】，因为 是实数，所以 是实数，又 ，故 .15、设 ，复数 满足：且 （其中 为虚数单位），求 的值为 【答案】16、下列说法中正确的序号是 _.若一个数是实数,则其虚部不存在虚轴上的点表示的数都是纯虚数设 ( 为虚数单位),若复数 在复平面内对应
5、的向量为 ,则向量 的模是若 ,则 对应的点在复平面内的第四象限.【答案】17、观察下列各式： ， ， ，则 的末两位数字为（ ）A.01 B.43 C.07 D.4 【答案】B18、观察下列各式：，若，则 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】.所以，所以，所以，故选 C.19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯 在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )A.
6、甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丁 D.甲、丁【答案】B【解析】由四个所说，得上面的表，由于是两对两 错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙。20、我国古代数学名著孙子算经中有如下故事:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归.”意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家,聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开.”假如回娘家一次算回家一天,若当地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是( ) A.小女儿回家 68 天B.二女儿
7、回家 52 天C.大女儿回家 38 天D.有女儿在娘家的天数为 119 天【答案】D21、(2018 山东日照一模) 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 ,所以 的所有正约数之和为, 参照上述方法 ,可求得 200 的所有正约数之和为( )A.930 B.465 C.360 D.240 【答案】B【解析】类比 36 的所有正约数之和的方法有:200 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以 的所有正约数之和为,所以 200 的所有正约数之和为 465,故选 B.22、将正偶数排列如图，其中第 行第 列的数表示为，例如 ，若 ，则_.【答 案】6223、在平面几何中， 的内角平分线 分
8、所成线段的比为 ，把这个结论类比到空间： 三棱锥 中（如图所示），面 平分二面角且与 相交于 ，则得到的类比的结论是_.【答案】【解析】在 中，作 于 ， 于 ，则 ，所以，根据面积类比体积，长度类比面积可得，即24、设 是坐标原点，AB 是圆锥曲线的一条不经过点 且不垂直于坐标轴的弦， 是弦 的中点，分别表示直线 的斜率.在圆中，在椭圆中，类比上述结论可得_【答案】25、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是_【答案】小乐，小强，小明
9、【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才 对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌26、凸函数的性质定理如下:如果函数 在区间 上是凸函数,则对于区间 内的任意 , ,有.已知函数 在区间 上是凸函数,则在 中,的最大值为_.【答案】【解析】 在区间 上是凸函数,且,即,的最大值为 .27、记 为有限集合 的某项指标，已知 ，
10、运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若， _（结果用含 的式子表示）.【答案】 28、观察如下规律:,则该数列的前 120 项和等于_.【答案】150【解析】 由,发现该数列,由 个 , 个 , 个 , 个 组成,该数列前 项,由 个 , 个 , 个, 个 组成,即,故答案为 .29、若 是抛物线上的一点，则抛物线在点 处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在两边同时对 求导，得 ，即 ，所以抛物线在点 P 处的切线的斜率 请类比上述方法，求出双曲线在点处的切线的方程为_.【答案】30、 称为取整函数,是指不超过 的最大整数,如 ,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.运用取整的观点,我们可以解决如下问题.已知 ,且,则 _.【答案】4【解析】,就,则,从而所求.31、已知等式“”、“ ”、“ ”均成立则_【答案】4【解析】观察已知等式，推测： 所以答案应填：4
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