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    人教A版高中数学必修一课件:1.3.2 第1课时 奇偶性的概念

    • 资源ID:57746       资源大小:1.56MB        全文页数:44页
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    人教A版高中数学必修一课件:1.3.2 第1课时 奇偶性的概念

    1、第1课时 奇偶性的概念,第一章 1.3.2 奇偶性,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数奇偶性的几何特征,下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?,答案,答案 关于y轴对称,关于原点对称.,一般地,图象关于y轴对称的函数称为 函数,图象关于原点对称的函数称为 函数.,梳理,奇,偶,思考1,知识点二 函数奇偶性的定义,为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性?,答案,答案 因为很多函数图象我们不知道,即使画出

    2、来,细微之处是否对称也难以精确判断.,思考2,利用点对称来刻画图象对称有什么好处?,答案,答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作:要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可,不知道函数图象也能操作.,梳理,函数奇偶性的概念: (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x)关于y轴的对称点(x,f(x)也在f(x)图象上. (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.其实

    3、质是函数f(x)上任一点(x,f(x)关于原点的对称点(x,f(x)也在f(x)图象上.,f(x)f(x),任意,f(x)f(x),任意,思考,知识点三 奇(偶)函数的定义域特征,如果一个函数f(x)的定义域是(1,1,那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗?,答案,答案 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数x必须也在定义域内,才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中,1(1,1,1(1,1,f(1)无定义,自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数,也非偶函数.,一般地,判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于 对称.,原点,梳理,题型探究

    4、,命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性,证明,类型一 证明函数的奇偶性,证明 因为它的定义域为x|xR且x1, 所以对于定义域内的1,其相反数1不在定义域内,,(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数;,证明,证明 函数的定义域为R,因函数f(x)(x1)(x1)x21, 又因f(x)(x)21x21f(x), 所以函数为偶函数.,(3)证明f(x) 既是奇函数又是偶函数.,证明,证明 定义域为1,1,因为对定义域内的每一个x,都有f(x)0, 所以f(x)f(x),,即该函数既是奇函数又是偶函数.,利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任

    5、意一个x,则x也一定属于定义域.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数;,证明,证明 由 0,得定义域为2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.,(2)证明f(x)x|x|是奇函数.,证明,证明 函数的定义域为R,因f(x)(x)|x|x|x|f(x), 所以函数为奇函数.,命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f(x) 的奇偶性.,解答,解 由题意可知f(x)的定义域为(6,11,6), 关于原点对称, 当x(6,1时,x1,6), 所以f(x)(x5)24(x5)24f(x); 当x1,6)时,x(6,1, 所以f(x)(x5)24(

    6、x5)24f(x). 综上可知对于任意的x(6,11,6), 都有f(x)f(x),,分段函数也是函数,证明奇偶性也是抓住两点: (1)定义域是否关于原点对称; (2)对于定义域内的任意x,是否都有f(x)f(x)(或f(x),只不过对于不同的x,f(x)有不同的表达式,要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x).,反思与感悟,跟踪训练2 证明f(x) 是奇函数.,证明,证明 定义域为x|x0. 若x0, f(x)x2,f(x)x2,f(x)f(x); 若x0,则x0.,解答,解 xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).,引申探究 把

    7、例4中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.,解答,解 (1)f(x)的图象如图所示:,(2)xf(x)0的解集是(,2)(0,2).,鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.,反思与感悟,跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.,解答,(1)画出在区间5,0上的图象;,解 如图,在0,5上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D. 分别描出它们关于原点的对称点O,A,B,C,D, 再用光滑曲线连接即得.,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解答,解 由(1)图可知,当且仅当x(2,0)(2,5)时

    8、,f(x)0. 使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5).,命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值 例5 若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,定义域为a1,2a,则a_,b_.,答案,解析,解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a12a,,0,又f(x)为偶函数,,函数奇偶性的定义有两处常用:定义域关于原点对称;对定义域内任意x,恒有f(x)f(x)(或f(x)成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.,反思与感悟,答案,解析,0,当a1,b1时,经检验知f(x)为奇函数,故ab0.,当堂训练,1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.

    9、f(x)2x2x D.f(x)2x2x,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 D中,f(x)2x2xf(x), f(x)为偶函数.,2.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案,2,3,4,5,1,3.已知函数yf(x)x是偶函数,且f(2)1,则f(2)等于 A.1 B.1 C.5 D.5,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 函数yf(x)x是偶函数,x2时函数值相等. f(2)2f(2)2,f(2)5,故选D.,4.若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数,则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,

    10、答案,2,3,4,5,1,5.下列说法错误的个数是 图象关于原点对称的函数是奇函数; 图象关于y轴对称的函数是偶函数; 奇函数的图象一定过原点; 偶函数的图象一定与y轴相交; 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR). A.4 B.3 C.2 D.0,2,3,4,5,1,答案,规律与方法,1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数;如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数它的图象关于原点对称;函数为偶函数它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.,本课结束,


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