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    人教A版高中数学必修一课件:1.3.1 第1课时 函数的单调性

    • 资源ID:57744       资源大小:1MB        全文页数:35页
    • 资源格式: PPTX        下载积分:5积分
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    人教A版高中数学必修一课件:1.3.1 第1课时 函数的单调性

    1、第1课时 函数的单调性,第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值,学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数的单调性,画出函数f(x)x、f(x)x2的图象,并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何?,答案,答案 两函数的图象如下:,函数f(x)x的图象由左到右是上升的;函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.,一般地,单调性是相对于区间来说的,函数图象在某区间上上升,则函数在该区间上为增函数,该区间称为增区间.反之

    2、则为减函数,相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的,而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义: 设函数f(x)的定义域为I: (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 .,梳理,增函数,减函数,思考,知识点二 函数的单调区间,我们已经知道f(x)x2的减区间为(,0,f(x) 的减区间为(,0),这两个减区间能不能交换?,答案,答案 f(x)x2的减区间可以写成(,0),而f(x) 的减区间(,0)不能写成(,0,因为0不属于f(x) 的定义域.,梳理,一般地,有下列常识: (1)函数单

    3、调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大.,题型探究,例1 如图是定义在区间5,5上的函数yf(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?,解答,类型一 求单调区间并判断单调性,解 yf(x)的单调区间有5,2,2,1,1,3,3,5,其中yf(x)在区间5,2,1,3上是减函数,在区间2,1,3,5上是增函数.,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现

    4、两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有.,反思与感悟,跟踪训练1 写出函数y|x22x3|的单调区间,并指出单调性.,解答,所以y|x22x3|的单调区间有(,1,1,1,1,3,3,),其中单调减区间是(,1,1,3;单调增区间是1,1,3,).,命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x) 在其定义域上是增函数.,类型二 证明单调性,证明,设x1,x2是定义域0,)上的任意两个实数,且x1x2,,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),,运用定义判断或证明函数的单调性时,应在

    5、函数的定义域内给定的区间上任意取x1,x2且x1x2的条件下,转化为确定f(x1)与f(x2)的大小,要牢记五大步骤:取值作差变形定号小结.,反思与感悟,证明 设x1,x2是实数集R上的任意实数,且1x1x2,,1x1x2,x1x20,1x1x2,,即f(x1)f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)1.求证:函数f(x)在R上是增函数.,证明,证明 方法一 设x1,x2是实数集上的任意两个实数,且x1x2.令xyx1,yx2,则xx1x20. f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0,f(x)1,f(x)10, f(x1)f(x2)0,即f(x1)f

    6、(x2). 函数f(x)在R上是增函数. 方法二 设x1x2,则x1x20, 从而f(x1x2)1,即f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2),故f(x)在R上是增函数.,因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)f(x2),但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)f(x2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(mn)f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1.求证:f(x)在R上是减函数.,证明,证明 对于任意实数m,n,恒有f(mn)f(

    7、m)f(n),令m1,n0,可得f(1)f(1)f(0), 当x0时,0f(x)1,f(1)0,f(0)1. 令mx0,nx0, 则f(mn)f(0)f(x)f(x)1,f(x)f(x)1, 又x0时,0f(x)1,,对任意实数x,f(x)恒大于0. 设任意x10, 0f(x2x1)1, f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10, f(x)在R上是减函数.,解析 要使f(x)在R上是减函数,需满足:,命题角度1 利用单调性求参数范围,类型三 单调性的应用,答案,解析,分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要接口处

    8、不能反超.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调,则实数a的取值范围为_.,解析 由于二次函数开口向上, 故其增区间为a,),减区间为(,a,而f(x)在区间1,2上单调, 所以1,2a,)或1,2(,a,即a1或a2.,答案,解析,a1或a2,命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数,且f(1a)f(2a1),求a的取值范围.,解答,若已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1),f(x2)的大小;由f(x1),f(x2)的大小,可得x1,x2的大小.,反

    9、思与感悟,跟踪训练5 在例5中若函数yf(x)的定义域为R,且为增函数,f(1a)f(1),f(1)f(1),则x的取值范围是 A.x1 C.11,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.若f(x)的定义域为D,AD,BD,f(x)在A和B上都单调递减,未必有f(x)在AB上单调递减. 2.对增函数的判断,对任意x1x2,都有f(x1)f(x2),也可以用一个不等式来替代:,3.熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数,二次函数,反比例函数等. 4.若f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则:在定义域的交集(非空)上,f(x)g(x)单调递增,f(x)h(x)单调递增,f(x)单调递减, 单调递减(f(x)0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x),证明单调性时,也可以作商 与1比较.,本课结束,


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