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    高考文科数学命题热点名师解密专题:圆的解题方法(含答案)

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    高考文科数学命题热点名师解密专题:圆的解题方法(含答案)

    1、专题 26 圆的解题方法一 【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程,会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题;体会用代数法处理几何问题的思想.二方法规律总结1.在求圆的方程时,应根据题意,合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径,便于作图使用;圆的一般方程是二元一次方程的形式,便于代数运算;而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时,在选择方程形式时,应熟悉它们的互化.如果问题中给

    2、出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时,一般用标准方程;如果给出圆上的三个点的坐标,一般用一般方程.2.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项,只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的几何性质,这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法,即利用圆心到直线的距离,两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x 0,y 0)的圆的切线方程:(1)几何方法:设切线方程为 yy 0k(x x 0),即 kxy kx0y 00.由圆心

    3、到直线的距离等于半径,可求得 k,切线方程即可求出.(2)代数方法:设切线方程为 yy 0k(xx 0),即 ykx kx0y 0,代入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 0,求得 k,切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法:运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|2 .r2 d2(2)代数方法:运用韦达定理.弦长|AB| .(xA xB)2 4xAxB(1 k2)7.注意利用圆的几何性质解题.如:圆心在弦的垂直平分线上 ,切线垂直于过切点的半径,切割线定理等,在考查圆的相关问

    4、题时,常结合这些性质一同考查,因此要注意灵活运用圆的性质解题.三【典例分析及 训练】例 1圆 :与 轴正半轴交点为 ,圆 上的点 , 分别位于第一、二象限,并且,若点 的坐标为 ,则点 的坐标为( )A B C D【答案】B【解析】由题意知, ,设 的坐标为 ,则 , , ,因为 ,所以 ,即 ,又 ,联立解得 或 ,因为 在第二象限,故只有 满足,即 .故答案为 B.练习 1已知圆 上的动点 和定点 ,则 的最小值为( )A B C D【答案】D【解析】如图,取点 ,连接 , , ,因为 ,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为 的长,故选 D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化

    5、与划归思想的应用,属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,解答本题的关键是将 转化为 .练习 2已知点 为函数 的图象上任意一点,点 为圆 上任意一点,则线段的长度的最小值为( )A B C D【答案】A【解析】依题意,圆心为 ,设 点的坐标为 ,由两点间距离公式得,设 ,令 解得 ,由于 ,可知当时, 递增, 时, , 递减,故当 时取得极大值也是最大值为 ,故,故 时, 且 ,所以 ,函数单调递减.

    6、当 时, ,当 时, ,即 单调递增,且 ,即 , 单调递增,而 ,故当 时,函数单调递增,故函数在 处取得极小值也是最小值为 ,故 的最小值为,此时 .故选 A.练习 3直线 l 是圆 C1:(x+1 ) 2+y2=1 与圆 C2:(x+4) 2+y2=4 的公切线,并且 l 分别与 x 轴正半轴,y轴正半轴相交于 A,B 两点,则AOB 的面积为A B C D【答案】A【解析】如图,设 OA=a,OB=b,由三角形相似可得: ,得 a=2再由三角形相似可得: ,解得 b= AOB 的面积为 故选 A(二)圆的一般方程例 2若由方程 x2 y20 和 x2( y b)22 所组成的方程组至多

    7、有两组不同的实数解,则实数 b 的取值范围是( )A b2 或 b2 B b2 或 b2 C 2 b2 D2 b2【答案】B练习 1若圆 的圆心在第一象限,则直线 一定不经过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为圆 的圆心坐标为 ,由圆心在第一象限可得 ,所以直线 的斜率 , 轴上的截距为 ,所以直线不过第一象限. 练习 2若方程 a2x2+(a+2)y 2+2ax+a=0 表示圆,则 a 的值为A a=1 或 a=2 Ba=2 或 a=1 Ca=1 Da=2【答案】C【解析】若方程 a2x2+(a+2)y 2+2ax+a=0 表示圆,则 ,解得 a=1故答

    8、案为:C(三)点与圆的位置关系例 3例 3过点 作直线 的垂线,垂足为 M,已知点 ,则当 变化时, 的取值范围是 A B C D【答案】B练习 1.已知点 , , 是圆 内一点,直线 , , 围成的四边形的面积为 ,则下列说法正确的是( )A B C D【答案】A【解析】由已知 ,四条直线围成的四边形面积 ,故选 A.练习 2设点 M(3,4)在圆 外,若圆 O 上存在点 N,使得 ,则实数 r 的取值范围是( )A B C D【答案】C【解析】如图,要使圆 O:x 2+y2r 2(r0)上存在点 N,使得OMN ,则OMN 的最大值大于或等于 时一定存在点 N,使得 OMN ,而当 MN

    9、与圆相切时OMN 取得最大值,此时 OM5,ON ,又点 M(3,4)在圆x2+y2r 2(r0)外,实数 r 的取值范围是 故选:C(四)圆的几何性质例 4如图,在平面直角坐标系内,已知点 , ,圆 C 的方程为 ,点P 为圆上的动点求过点 A 的圆 C 的切线方程求 的最大值及此时对应的点 P 的坐标【答案】 (1) 或 ;(2)最大值为 , .【解析】 当 k 存在时,设过点 A 切线的方程为 ,圆心坐标为 ,半径 , ,解得 ,所求的切线方程为 ,当 k 不存在时方程 也满足;综上所述,所求的直线方程为: 或 ;设点 ,则由两点之间的距离公式知 ,要 取得最大值只要使 最大即可,又 P

    10、 为圆上的点, ,此时直线 OC: ,由 ,解得 舍去 或 , 点 P 的坐标为练习 1已知圆心在 x 轴正半轴上的圆 C 与直线 相切,与 y 轴交于 M, N 两点,且 求圆 C 的标准方程; 过点 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 D, E,若 时,求直线 l 的方程; 已知 Q 是圆 C 上任意一点,问:在 x 轴上是否存在两定点 A, B,使得 ?若存在,求出 A, B 两点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】 (I) ;(II) 或 ;(III)存在 , 或 ,满 足题意.【解析】 由题意知圆心 ,且 ,由 知 中, , ,则 ,于是可设圆 C 的方程为 又点 C 到直线 的距

    11、离为 ,所以 或 舍 ,故圆 C 的方程为 , 设直线 l 的方程为 即 ,则由题意可知,圆心 C 到直线 l 的距离 ,故 ,解得 ,又当 时满足题意,因此所求的直线方程为 或 , 方法一:假设在 x 轴上存在两定点 , ,设 是圆 C 上任意一点,则 即,则 ,令 ,解得 或 ,因此存在 , , 或 , 满足题意,方法二:设 是圆 C 上任意一点,由 得 ,化简可得 ,对照圆 C 的标准方程 即 ,可得 ,解得解得 或 ,因此存在 , 或 , 满足题意练习 2设点 P 是函数 图象上任意一点,点 Q 坐标为 ,当 取得最小值时圆 与圆 相外切,则 的最大值为A B C D【答案】C【解析】

    12、根据题意,函数 y ,即( x1) 2+y24, ( y0) ,对应的曲线为圆心在 C(1,0) ,半径为 2 的圆的下半部分,又由点 Q(2 a, a3) ,则 Q 在直线 x2 y60 上,当| PQ|取得最小值时, PQ 与直线 x2 y60 垂直,此时有 2,解可得 a1,圆 C1:( x m) 2+( y+2) 24 与圆 C2:( x+n) 2+( y+2) 29 相外切,则有 3+25,变形可得:( m+n) 225,则 mn ,故选: C练习 3已知 , 是单位向量, 0若向量 满足| |1,则| |的最大值为( )A B C D【答案】C【解析】| | |1,且 ,可设 ,

    13、, , ,即(x1) 2+(y1) 21 的最大值 故选:C练习 4设 P,Q 分别是圆 和椭圆 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( )A B C D【答案】C【解析】圆 的圆心为 M(0,6),半径为 ,设 ,则 , 即 ,当 时, ,故 的最大值为 .故选 C.(五)轨迹问题例 5.已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(3,0) ,端点 A 在圆 上运动;(1)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程;(2)过点 C(1,1)的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点,当 GOH (O 为坐标原点)的面积最大时,求直线 m 的方程并求出GOH 面积的最大值.(3)若点 C(1,1) ,且

    14、 P 在 M 轨迹上运动,求 的取值范围.【答案】 (1) ;(2) ;(3) 【解析】 (1)解:设点由中点坐标公式有 又点 在圆 上,将 点坐标代入圆方程得:点的轨迹方程为: (2)令 ,则当 ,即 时 面积最大为 2 又直线 过点 , , 到直线 的距离为 ,当直线 斜率不存在时 , 到 的距离为1 不满足,令故直线 的方程为: (3)设点 ,由于点则 ,令有 ,由于点 在圆 上运动,故满足圆的方程.当直线 与圆相切时, 取得最大或最小故有所以练习 1已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(3,0) ,端点 A 在圆 上运动;(1)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程;(2)过点 C(1,1

    15、)的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点,求以弦 GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m 的方程.学-科网(3)若点 C(1,1) ,且 P 在 M 轨迹上运动,求 的取值范围.(O 为坐标原点)【答案】 (1) ;(2)圆的面积最小值 (3)【解析】 (1)解:设点由中点坐标公式有 又点 在圆 上,将 点坐标代入圆方程得:点的轨迹方程为: (2)由题意知,原心到直线的距离 当 即 当 时,弦长 最短,此时圆的面积最小,圆的半径 ,面积 又 ,所以直线 斜率 ,又过点故直线 的方程为: (3)设点 ,由于点法一:所以 ,令 有 ,由于点 在圆 上运动,故满足圆的方程.当直 线 与圆相切

    16、时, 取得最大或最小故有所以 法二: 从而练习 2四棱锥 P-ABCD 中, AD面 PAB, BC 面 PAB,底面 ABCD 为梯形,AD=4, BC=8, AB=6, APD= CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是( )A圆的一部分 B椭圆的一部分 C 球的一部分 D抛物线的一部分【答案】A练习 3已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过 的直线 与过 的直线 交于点 ,设 点的坐标,若 ,则下列结论中不正确的是( )A B C D【答案】A【解析】由椭圆 的左右焦点分别为 F1(1,0) ,F 2(1,0) ,过 F1 的直线 l1 与过 F2 的直线 l2 交于点 P,且 l1l

    17、 2,P 在线段 F1F2 为直径的圆上,故 x02+y021, 1,故 A 错误,B 正确;3x02+2y022x 02+2y022(x 02+y02)21,故 C 正确;由圆 x2+y21 在 P(x 0,y 0)的切线方程为:x 0x +y0y1,如图,坐标原点 O(0,0)与点( )在直线 x0x+y0y1 的同侧,且 x00+y0001, ,故 D 正确 不正确的选项是 A故选:A练习 4已知圆 C: ( 为锐角 ) ,直线 l:y=kx,则A对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 相切 B对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 有公共点C对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C

    18、 相交 D对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 相离【答案】B【解析】由题意,圆心坐标为: ,所以圆心的轨迹方程为: ,所以圆心与原点的距离为 1,所以圆必过原点.由于直线过原点,所以直线与圆必有交点.故选 B.(六)直线与圆的位置关系例 6.已知抛物线 的顶点在坐标原点,其焦点 在 轴正半轴上, 为直线 上一点,圆 与 轴相切( 为圆心) ,且 , 关于点 对称.(1)求圆 和抛物线 的标准方程;(2)过 的直线 交圆 于 , 两点,交抛物线 于 , 两点,求证: .【答案】 (1) 的标准方程为 . 的标准方程为 (2)见证明【解析】 (1)设抛物线 的标准方程为 ,则焦点 的坐标为

    19、.已知 在直线 上,故可设因为 , 关于 对称,所以 ,解得所以 的标准方程为 .因为 与 轴相切,故半径 ,所以 的标准方程为 .(2)由(1)知,直线 的斜率存在,设为 ,且方程为则 到直线 的距离为 ,所以 ,由 消去 并整理得: .设 , ,则 , , .所以 因为 , , ,所以所以 ,即 .练习 1已知以点 为圆心的圆经过点 和 ,线段 的垂直平分线交圆 于点 和 ,且(1)求直线 的方程;(2)求圆 的方程【答案】 (1) ;(2) 或 .【解析】 (1) 直线 的斜率 , 的中点坐标为直线 的方程为(2)设圆心 ,则由点 在 上,得 又 直径 , , 由解得 或 , 圆心 或

    20、圆 的方程为 或练习 2已知直线 ,曲线 ,若直线 与曲线 相交于 、 两点,则 的取值范围是_; 的最小值是_.【答案】 【解析】直线 l:kxy k0 过定点(1, ) ,曲线 C 为半圆:(x2) 2+y24(y0)如图:由图可知:k OP ,k PE , ;要使弦长 AB 最小,只需 CPAB,此时|AB| 2 2 ,故答案为: , ; 练习 3阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点 M 与两定点 A、B 的距离之比为 (0

    21、, 1) ,那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面,我们来研究与此相关的一个问题已知圆:x 2+y21 和点 ,点 B(1 ,1) ,M 为圆 O 上动点,则 2|MA|+|MB|的最小值为_【答案】 【解析】如图所示,取点 K(2,0) ,连接 OM、MKOM1,OA ,OK2, ,MOKAOM,MOKAOM, ,MK2MA,|MB|+2|MA|MB|+|MK|,在MBK 中,|MB|+|MK|BK|,|MB|+2|MA|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长,B(1,1) ,K(2,0) ,|BK| .故答案为: 练习 4已知直线 l:mxy1,若直线 l 与直线 x+m(m1 )y 2

    22、垂直,则 m 的值为_,动直线l:mxy1 被圆 C:x 22x+ y280 截得的最短弦长为_【答案】0 或 2 (七)圆与圆的位置关系例 1在平面直角坐标系 中,已知点 和直线 : ,设圆 的半径为 1,圆心在直线 上.()若圆心 也在直线 上,过点 作圆 的切线.(1)求圆 的方程;(2)求切线的方程;()若圆 上存在点 ,使 ,求圆心 的横坐标 的取值范围.【答案】 ()(1) 或 (2) 或 ()【解析】 ()(1)由 得圆心 为 ,圆 的半径为 1,圆 的方程为: .(2)由圆 方程可知过 的切线斜率一定存在,设所求圆 的切线方程为 ,即 , ,解之得: 或 , 所求圆 的切线方程

    23、为: 或 .即 或 .()圆 的圆心在直线: 上,设圆心 为 ,则圆 的方程为: ,又 ,设 为 ,则整理得: ,设为圆 ,点 应该既在圆 上又在圆 上圆 和圆 有公共点, ,即: ,解之得:即 的取值范围为: .练习 1在平面直角坐标系 中,已知 的顶点坐标分别是 , , ,记 外接圆为圆 .(1)求圆 的方程;(2)在圆 上是否存在点 ,使得 ?若存在,求点 的个数;若不存在,说明理由【答案】 (1) (2)存在,且个数为 2【解析】(1)设 外接圆 的方程为 ,将 代入上述方程得:解得则圆 的方程为(2)设点 的坐标为 ,因为 ,所以化简得: .即考查直线 与圆 的位置关系点 到直线 的

    24、距离为所以直线 与圆 相交,故满足条件的点 有两个。.练习 2已知圆 和(1)求证:圆 和圆 相交;(2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。【答案】 (1)见解析;(2)【解析】(1)圆 的圆心 ,半径 ,圆 的圆心 ,半径两圆圆心距 所以 ,圆 和 相交;(2)圆 和圆 的方程相减,得 ,所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ,圆心 到直线 的距离为:故公共弦长为练习 3已知圆 ,圆 (1)试判断圆 与圆 是否相交,若相交,求两圆公共弦所在直线的方程,若不相交,说明理由;(2)若直线 与圆 交于 A,B 两点,且 ,求实数 k 的值【答案】 (1) ; (2) 或 。.【解析】 (1

    25、), 两圆相交,两圆做差得即公共弦所在直线为:(2 )由题可知,设将 代入得 整理得,由韦达定理得化简得 ,解得 或 。【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定,属中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理。练习 4.如图,已知圆 和圆(1)求两圆所有公切线的斜率(2)设 为平面上一点,满足:若存在点 的无穷多条直线 与圆 和圆 相交,且直线 被圆 截得的弦长是直线 被圆 截得的弦长的 2 倍,试求所有满足条件的点 P 的坐标【答案】(1) 或 或 ,(2) 【解析】 (1)由题意得公切线斜率存在,设公切线方程为所以所以 或 , 或 ,解得 或 或 ,【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 ,然后利用条件建立 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关


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