1、专题 31 复数的解题策略一 【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用二知识点与方法总结1复数的有关概念(1)复数的概念形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部，若 b0，则 abi 为虚数，若a=0，则 abi 为纯虚数，i 为虚数单位(2)复数相等：复数 abi c di a =c ,b=d (a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭a =c ,b=-d (a，b，c，dR)(4)复数的模
2、向量 的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z| abi| OZ 2复数的四则运算设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)，则(1)加法：z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i；(2)减法：z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i；(3)乘法：z 1z2(abi)(c di)(acbd)( adbc )i；(4)除法： z1z2 a bic di （a bi）（c di）（c di）（c di） i(cdi0)（ac bd） （bc ad）ic2 d2 ac bdc2 d2 bc adc2 d23两条性质(1)i4n1
3、，i 4n 1i，i 4n2 1，i 4n3 i ，i ni n1 i n2 i n3 0(其中 nN *)；(2)(1i)22i， i， i.1 i1 i 1 i1 i4.方法规律总结（1）.设 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.三典例分析（一）复数的概念例 1若复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数 （ ）A B2 C D【答案】D【解析】复数在复平面内
4、对应的点在虚轴上，则 ，故选练习 1若复数 z（36i） （1+9i） ，则（ ）A复数 z 的实部为 21B复数 z 的虚部为 33C复数 z 的共轭复数为 5721iD在复平面内，复数 z 所对应的点位于第二象限【答案】 C练习 2若复数 （ 为虚数单位） ，则复数 在坐 标平面内对应点的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】 z ，则复数 z 在复平面内对应点的坐标是：（1，-1） 故选： B（二）复数的几何意义例 2已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】复数 在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0， 1） ， 1+ i， i 故选：
5、 D练习 1复数 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为 所以复数 z 在复平面所对应的点是（1,3）练习 2设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】由（1+i） 2z2+i，得 2iz2+i， ，复数 z 对应的点的坐标为（ ，1） ，位于第四象限故选：D练习 3已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）A 0 B1 C D【答案】C【解析】 ， 3,得 ，则 ，a= ，故选： C（三）复数的运算法则例 3计算 （i 为虚数单位） ，结果为（ ）A B C D【答
6、案】A【解析】 =(11+2i) =-20-15i故选：A.练习 1复数 (i 为虚数单位 )在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】复数 .在复平面内对应的点为(-1,2) 位于第二象限.故选 B.练习 2已知复数 是纯虚数，则 （ ）A B C D【答案】A【解析】依题意 ，由于 为纯虚数，故 ，解得 ，故选 A. 练习 3定义 ，若 展开式中 一次项的系数为 ，则 等于（ 为虚数单位） （ ）A B C1 D-1【答案】B（四）复数的模及几何意义例 4若复数 ， ，其中 是虚数单位，则 的最大值为( )A B C D【答案】C【解析】由
7、复数的几何意义可得，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为，所以，其中 ，故选 C练习 1已知复数 ，则 A B C1 D【答案】B【解析】 ，则 ，故选： B学 -科网练习 2已知复数 z1，z 2 在复平面内对应的点分别为 A( 2，1)，B(a，3)(1)若| z1 z2| ，求 a 的值；(2)复数 z z1z2对应的点在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值【答案】 （1）a3 或 a1。 （2）a1。【解析】(1)由复数的几何意义可知，z 12i，z 2a3i，|z 1z 2|a22i| ，a3 或 a1. (2)zz 1z2( 2i)(a3i) (2a3)( a6)i ，依题意可知
8、点(2a3，a 6)在直线 yx 上，a62a3，解得 a1.练习 3已知复数 z满足|z|= ,z2的虚部为-2,且 z在复平面内对应的点在第二象限 .(1)求复数 z;(2)若复数 满足|-1| ,求 在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.【答案】 （1） ；（2） 【解析】(1) 设 z=x+yi(x,y R),则 z2=x2-y2+2xyi,由|z|= ,z2的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限,得 解得z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i, = = = =- + i, = = ,复数 满足|-1| .由复数的几何意义,得 在复平面内对应的点的集合构成的图形是
9、以(1,0)为圆心 , 为半径的圆面,其面积为 = .（五）共轭复数例 5若复数 ，则 的共轭复数是（ ）A B C D【答案】C【解析】则 的共轭复数是-1+i,故选：C练习 1设复数 （ 是虚数单位） ，则 ( )A B C D【答案】B 【解析】 ，故选 B.练习 2下面是关于复数 的四个命题：； ； 的虚部为 2； 的共轭复数为 .其中真命题为（ ）A B C D【答案】A练习 3已知下列 4 个命题： （2）若复数 是方程 的一个根，求实数 ， 的值.【答案】 （1） ；（2）4，10练习 2已知 1i 是实系数方程 x2axb0 的一个根(1)求 a，b 的值；(2)试判断 1i
10、是否是方程的根【答案】 （1）a，b 的值分别为2，2；（2）1i 是方程的一个根【解析】(1)1i 是方程 x2ax b0 的根，(1i) 2a(1i)b0，即 (ab)( a2)i0， a，b 的值分别为2，2. (2)由(1)知，实系数方程为 x22x20，把 1i 代入方 程，左边(1i) 2 2(1i)2 2i22i20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根练习 3对于 n 个复数 z1，z 2，z n，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k 2，k n，使得k1z1k 2z2k nzn0，就称 z1，z 2，z n 线性相关若要说明复数 z112i，z 21i，z 32 线性相关，则可取k 1，k 2，k 3_ _( 只要写出满足条件的一组值即可)【答案】 (或2，4，3等)【解析】由 k1z1k 2z2k 3z30，得 k1(12i )k 2(1i)k 3(2)0，即(k 1 k22k 3)(2k 1k 2)i0， k 1k 2k 3 12 ，故答案为 或2，4， 3等
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