1、专题 39 快速解选择题的解法大全一、题型特点近几年来，在新课标全国卷数学试题中选择题一直是 12 道题，填空题一直是 4 道题，所占分值为80 分，约占数学试题总分数的 53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力二、解题思路做选填题的步骤为：1首先，审题能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号
2、语言) 之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义2其次，要注意选填题的解题技巧小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间3最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案) ，不能有 把答案抄错的现象三、典例分析(一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果例 1(2015 课标全国)已知点 M(x0，y 0)是双曲线 C： y 2 1 上的一点，F 1，F 2 是 C 的两个焦点若x22 0 ，b0)的右支上的一点
3、，F 1，F 2 分别是左、右焦点，则PF 1F2 的内切圆圆x2a2 y2b2心的横坐标为( )Aa Bb C. Da ba2 b2 a2 b2【解析】如图，点 P 沿双曲线向右顶点无限接近时，PF 1F2 的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆” 应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为 a.故选 A【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案练习 1已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， ， 分别为 的内心、重心，当 轴时，椭
4、圆的离心率为( )A B C D【答案】A【解析】如图，令 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理） ，连接 ，显然 点在 上，连接 并延长交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ， 轴，过点 作 垂直于 轴于点 ，设点 ， ，则 ，因为 为 的重心，所以 ，因为 轴，所以 点横坐标也 为 ， ，因为 为 的角平分线，则有 ，又因为 ，所以可得 ，又由角平分线的性质可得， ，而所以得 ，所以 ， ，所以 ，即 ，因为即 ，解得 ，所以答案为 A.练习 2定义直线 l： 为椭圆 的右准线，研究发现椭圆上任意一点 M 到右焦点的距离与它到 l 的距离之比为定值，已知椭圆 ， 为椭圆内一点，点 M
5、为椭圆上的动点，当 取最小值时，M 点的坐标为 A B C D【答案】B(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、 “以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题例 4(2015 课标全国 )设函数 f(x)e x(2x1)axa ，其中 a 时，g(x)0，12所以当 x 时，g(x) min2e ，12 12作出大致图象如图所示，当 x0 时，g(0)1，g(1)e0，直线 yaxa 恒过(1，0)，斜 率为 a，故ag(0)1，且 g(1)3e 1 a a，解得 a0 时，xf(x)f(x)0 成立的
6、 x 的取值范围是( )A( ，1)(0，1) B(1，0)(1 ，)C(，1)( 1，0) D(0，1) (1，)【解析】选 A.构造函数 g(x) ，f（x）x则 g(x) ，xf（x） f（x）x2当 x0 时，总有 xf(x)f(x )0 时，g(x) 恒小于 0，当 x0 时，函数 g(x)为减函数，又g(x) g(x )，g(x)为定义域上的偶函数，又g(1) 0，f（ 1） 1g(x)的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式 f(x)0xg(x)0x0g（x）0)或 ， 0x1 或 x1.故选 A.x0g（x）0)练习 1定义在 上的函数 的导函数为 ，且对 都有 ，则 A BC
7、 D【答案】C【解析】由 f（x ）lnx f（x ）得，f（x）xlnx （1+lnx）f（x） ，即 f（x）xlnx（1+lnx）f （x）0，令 g（x） ，则 g（x） ，由 f（x）xlnx（1+lnx）f （x）0，x（0，1） ， （ 1，+）时，g（x）0，g （x）在区间（0.1）和（1，+）上单调递增，g（2）g（4）g（8） ，即 f（8）3f（4）12f（2） ，故选：C （六）排除法例 6.已知函数 ，则函数 的零点个数为A B C D【答案】B【解析】当 时， ，据此可得函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间
8、上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到 ，故方程 的解： ，则原问题转化为求方程 时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为 7 个.本题选择 B 选项.练习 1设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项之积为 ，并且满足条件： ， ，下列结论中正确的是( )A BC 是数列 中的最大值 D数列 无最小值【答案】D（七）代入法例 7.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若，则 的大小关系正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】构造函数 g（ x） ， g（ x） ， xf（ x） f（ x）0， g（ x）0，函数 g（ x）在（0，+）单调递减函数 f（ x
9、）为奇函数， g（ x） 是偶函数， c g（3） g（3） ， a g（ e） ， b g（ ln2） ， g（3） g（ e） g（ ln2） ， c a b，故选： D练习 1函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ；当 时，则 ( )A 671 B673 C1343 D1345【答案】D【解析】 ， ，函数 是周期为 3 的周期函数又当 时， ；当 时， ， ， 故选 D练习 2设函数 , ， ,若存在实数 ,使得集合 中恰好有 个元素,则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意，集合 AB 中恰好有 5 个元素，即椭圆内包括函数 f（x）图象的 5 个最值点；顶点（ ，
10、1）在椭圆上，而顶点（ ）必满足在椭圆内，把顶点的坐标代入，可得 ，解得： ，由 T ， ，解得： 故选：A（八）特殊位置法例 8过 内一点 任作一条直线，再分别过顶点 作 的垂线，垂足分别为 ，若恒成立，则点 是 的（ ）A垂心 B重心 C外心 D内心【答案】B【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过 内一点 任作一条直线，可将此直线特殊为过点 A，则 ，有 .如图：则有直线 AM 经过 BC 的中点，同理可得直线 BM 经过 AC 的中点，直线 CM 经过 AB 的中点，所以点 是 的重心， 故选 B.练习 1在 中，若 ，则 是 的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】D【解析】
11、 ； ； OB AC，同理由 ，得到 OA BC点 O 是 ABC 的三条高的交点故选： D练习 2在正方体 中，点 E 是棱 的中点，点 F 是线段 上的一个动点有以下三个命题：异面直线 与 所成的角是定值；三棱锥 的体积是定值；直线 与平面 所成的角是定值其中真命题的个数是( )A 3 B2 C1 D0【答案】B【解析】以 A 点为坐标原点， AB,AD, 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，可得 B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1),设 F(t，1，1-t)，（
12、0t1） ，可得 =(1,1,1), =(t-1，1，-t)，可得 =0，故异面直线 与 所的角是定值，故正确；三棱锥 的底面 为定值，且 ,点 F 是线段 上的一个动点，可得 F 点到底面 的距离为为定值，故三棱锥 的体积是定值，故正确；可得 =(t，1，-t)， =(0,1,-1), =(-1,1,0),可得平面 的一个法向量为 =（1，1，1） ，可得不为定值，故错误;故选 B.（九）归纳法例 9如图，第(1)个图案由 1 个点组成，第(2)个图案由 3 个点组成，第(3)个图案由 7 个点组成，第(4)个图案由 13 个点组成，第(5)个图案由 21 个点组成，依此类推，根据图案中点的
13、排列规律,第 50个图形由多少个点组成（ ）A 2450 B2451 C2452 D2453【答案】B【解析】设第 个图案的点的个数为 ，由题意可得 ，故 ，由此可推得 ，以上 个式子相加可得：,化简可得 ， 故 ，故 ，即第 个图形由 个点组成，故选 B .【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时
14、还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.（十）几何意义法例 10若实 数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值是 A 1 B C D【答案】B【解析】实数 x， y 满足不等式组 的可行域如图：目标函数 ； 的几何意义是可行域内的点与 连线的斜率，目标函数 的最大值转化为 的最小值，由图形可知最优解为 ，所以目标函数 的最大值是： 故选： B练习 1函数 在 上单调递增，则 的最小值为（ ）A 4 B16 C20 D18【答案】B【解析】因为函数 在 上单调递增，所以= 在 上恒成立。又 ，所以 在 上恒成立。记 ，则 ，整理得： ， A 8 B C16 D【答案】D【解析】因为球 O 的表面积是 ，所以 ，解得 如图，四棱锥 底面为矩形且矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，设矩形的长宽为 x，y ， 则 ，当且仅当 时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时 点 P 在球面上，当 底面 ABCD 时， ，即 ，则四棱锥 体积的最大值为 故选：D
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