1、专题 07 导数有关的构造函数方法一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_；(x 2)_； _；(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_； (sin x) _；(cos x)_； (e x)_；(a x)_； (ln x)_； (log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _ _；(2)f(x)g(x)_；(3) _f（x）g（x）6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x)(2)
2、复合函数 yf(g( x)的导数和函数 yf (u)，ug(x) 的导数间的关 系为_，即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积二题型分析1.构造多项式函 数2.构造三角函数型3.构造 形式的函数xe4.构造成积的形式 5.与 有关的构造ln6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数 例 1已知函数 fxR满足 1fl，且 fx的导函数 12fx，则 12xf的解集为（ ）A. B.|x C. D. |1【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导
3、数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数 Fx，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx，对于任意的实数 x，都有 ，当(,0)x时， .若 ，则实数 m的取值范围是（ ）A 12 B 3,)2 C 1,) D 2,)【答案】A【解析】 ，设 ，则 ， ()gx为奇函数，又 ， ()gx在 ,0)上是减函数，从而在 R上是减函数，又等价于 ，即 ， 1m，解得 12考点：导数在函数单调性中的应用. 【思路点睛】因为 ，设 ，则 ，
4、可得()gx为奇函数，又 ，得 ()gx在 ,0)上是减函数，从而在 R上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得 ，由此即可求出结果.练习 2.设奇函数 在 上存在导数 ,且在 上 ,若 ,则实数 的取值范围为（ ）A BC D【答案】B【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.练习 3.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx，对任意 R，都有 ，且 (0
5、,)x时，()fx，若 ，则实数 a的取值范围是（ ）A 1, B ,1 C ,2 D 2,【答案】B【解析】令 ，则 ，则 ，得 ()gx为 R上的奇函数 0x时， ，故 ()gx在 0,)单调递增，再结合0及 ()为奇函数，知 ()g在 ,)为增函数，又则，即 ,1a故选 B考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于 a的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件 ()fx进行联想，构造出新函数，然后结合 来研究函数 g的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式 构造 ，最终得到关于 a的不等式，解得答案.（二
6、）构造三角函数型例 2已知函数 fx的定义域为 R, fx为函数 fx的导函数，当 0,x时，且 ， .则下列说法一定正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】令 ，则 .因为当 0,x时，即 ，所以 ，所以在 0,x上单调递增.又 xR， ，所以，所以 ，故为奇函数，所以 在 上单调递增，所以.即 ，故选 B.练习 1已知函数 )(xfy对任意的 满足 （其中 )(xf是函数)(xf的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）A BC D【答案】A【解析】构造 函数 ，则 ，即函数 g（x）在 单调递增，则 ， ，即 ，故 A 正确 ，即练习 2定义在 )2,0(上的函数 )(xf，
7、f是它的导函数，且恒有 成立，则（ ）A.B.C D.【答案】D【解析】在区间 0,2上，有 ，即 令，则 ，故 Fx在区间 0,2上单调递增 .令 ，则有 ，D 选项正确.【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到 tanx，往往转化为sincox来思考；第二个要点是构造函数法，题目中 ，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数 ，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造 形式的函数xe例 3已知函数 f的导数为 fx ，且 对 xR恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A. fx B. f C.e D. xe【答案】D【解析】设 ，
8、则 .对 Rx恒成立，且 0xe. 在 R上递增，故选 D.练习 1. 设函数 )(f是函数 的导函数， 1)0(f，且 ，则的解集为（ ）A. ),34ln( B. ),32ln( C. ,2 D. ,e【答案】B【 解析】依题意 ，构造函数 ，由 ，得 ， ln23x【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数 的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理学科网练习 2.已知
9、fx定义在 R上的函数， fx是 f的导函数，若 ，且 02f，则不等式 （其中 e为自然对数的底数）的解集是（ ）A B 1, C 0, D【答案】C【解析】设 ，则 ， ， ， xg， xgy在定义域上单调递增， 1xg，又 ， 0， x，不等式的解集为 0,故选：C.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题结合已知条件中的 以及所求结论 可知应构造函数 ，利用导数研究 xgy的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习 3定义在 R上的函数 fx的导函数为 f，若对任意实数
10、 ，有 ，且 1fx为奇函数，则不等式 的解集是（ ）A ,0 B 0, C 1,e D 1,e【答案】B【解析】设 由 ，得 ，故函数 gx在 R上单调递减由 1fx为奇函数 01f，所以 不等式等价于 xfe，即 ，结合函数 gx的单调性可得 0x，从而不等式的解集为 0,，故答案为 B.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为 0，即 得 ，当是形如 时构造 ；当是 时构造 ，在本题中令 ， （ Rx） ，从而求导 0xg，从而可判断 xgy单调递减，从而可得到不等式的解集练习 4.已
11、知定义在 上的可导函数 f的导函数 f，满足 ，且 2fx为偶函数，41f，则不等式 xfe的解集为（ ）A 2, B 4, C 1, D 0,【答案】D【解析】设 ，则函数 gx（ ） 是 R上的减函数，函数 2f是偶函数，函数函数关于 x对称， 原不等式等价为 1gx（ ） ， 不等式 fe等价 （ ） ， 即 gx（ ） 是 R上的减函数， 0 不等式 xfe式的解集为 0,选 D练习 5设函数 ()是函数 的导函数， 1)0(f，且 ，则的解集是（ ）A. ln4,3 B. ln2,3 C.3,2D. ,3e【答案】B【解析】设 ，则 ，所以（ c为常数） ，则 ，由， 2c，所以 ，
12、又由 ，所以即 ()3fx，即 321xe，解得 ln23x故选 B（四）构造成积的形式例 4已知定义在 R上的函数 yfx满足：函数 yfx的图象关于直线 1x对称，且当,0x时， （ f是函数 f的导函数）成立若 ， ，则 a， b， c的大小关系是（ ）A abc B bac C D 【答案】A【解析】易知 xf关于 y轴对称,设 ,当 0,x时, ,F在 0,上为递减函数,且 xF为奇函数, F在 R上是递减函数.,即cba,故选 A.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较 cba,的大小关系,需要构造新函数 ,通过已知函数 xf的奇偶性,对称性
13、和单调性,判断 xF的各种性质,可得xF在 R上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值 10作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数 ()fx是定义在 (,0)上的可导函数，其导函数为 ()fx，且有 ，则不等式 的解集为（ ）A B C (2018,) D (2016,)【答案】B考点：函数导数与不等式，构造函数【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数 ，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出 Fx的单调性，即函数 Fx为减函数.注意到原不等式可以看成
14、 ，利用函数的单调性就可以解出来.练习 2设函数 f是定义在 0,上的可导函数，其导函数为 fx，且有 ，则不等式 的解集为（ ）A 01, B ,21 C ,2016 D 2016,【答案】D【解析】试题分析：函数 fx是定义在 ,上的可导函数， ，函数 2yxf（ ） 在 0,上是增函数，不等式的解集为 2016,【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题解题时正确确定函数 2yxf（ ）在 ,上是增函数是解题的关键练习 3.函数 是定义在区间 0,上可导函数，其导函数为 fx，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）A BC D【答案】C（五）与 有关的构造lnx例
15、5.已知定义在实数集 R 的函数 ()fx满足 f（1）=4,且 ()fx导函数 ()3fx，则不等式的解集为（ ）A. (1,) B. (,)e C. (0,) D. (,)e【答案】D【解析】设 t=lnx,则不等式 化为 13)(tf，设 g(x)=f(x)-3x-1,则 。因为 ()3fx，所以 1 时，g(x)3x+1 的解为 x3t+1 的解集为t1.由 lnx1 得 0xe。选 D。练习 1.设 为自然对数的底数.若 ，则（ ）A BC D【答案】B【解析】由不等式 启发，可构造函数 ，则 ，又由 ，得 ，即 Fx在 0,上为单调递增函数，因为2e，所以 ，即 ，又 ，整理可得，
16、 .故正确答案选 B.【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识，属于中高档题.首先根据条件，构造函数 ，对函数 Fx求导，则有 ，可知Fx在 0,上为单调递增函数，又 2e，即 ，化简整理即得正确答案.（六）构造成商的形式例 6.已知 f在 ,上非负可导，且满足 ，对于任意正数 ,mn，若 ，则必有（ ）A BC D【答案】D【解析】构造函数 ,则由 可知函数 是单调递减函数,因为 nm,所以 ,即 ,也即 ,因此应选 D考点：导数的运算和灵活运用【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的难点是不清楚函数的解析
17、式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概括,先构造一个新的函数 ,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件 ,判断出函数 是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.练习 1.已知函数 yfx是 R上的可导函数，当 0x时，有 ，则函数的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】令 . ，即当0x时， ，为增函数，当 0x时， ，为减函数，函数 1yx在区间上为增函数，故在区间 ,上有一个交点.即 的零点个数是 .考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题 中的 的零点，可以转化为 ，也就是左
18、右两个函数图象的交点个数，函数 1yx在区间 上为增函数，通过已知条件分析 ,即当 0时，为增函数，当 0x时， ，为减函数，由此判断这两个函数在区间,0上有一个交点.练习 2.已知定义在 R上的函数 ()fx满足 ，当 时，下面选项中最大的一项是（ ）A ()nfmB C ()mfnD【答案】B【解析】令 ，则 ，又 ，所以最大的一项是 ，选 B.考点：利用导数研究函数单调性【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等练习 3.已知 fx是定义在 R上的减函数，而满足 ，
19、其中 fx为 f的导数，则（ ）A对任意的 B对任意的C当且仅当 D当且仅当【答案】B【解析】由题意 ()0fx恒成立，由 得 令 1x得 ()0f，又()fx为减函数，所以当 1时， ，而当 1x时，由 得 ()fx，从而0f，综上有当 xR时， ()0fx故选 B考点：导数与单调性【名师点睛】本题考查导数的应用，在解题时，关键是导导数与单调性的关系得出 ()0fx恒成立，然后对已知不等式 进行分析，首先可得 (1)0f，从而有得到部分 ()f的正负，即 1时，实际上这个结果就排除了 A，C 的正确性，也说明 D 是错误的，只有 B 是正确的这是利用了选择题的特征练习 4.若定义在 R 上的
20、函数 f（x）满足 f（0）=1，其导函数 f（x）满足 f（x）k1，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据导数的概念得出 k1，用 x= 代入可判断出 f（ ） ，即可判断答案解；f（x）=f（x）k1， k1，即 k1，当 x= 时，f（ ）+1 k= ，即 f（ ） 1=故 f（ ） ，所以 f（ ） ，一定出错，故选：C练习 5.已知奇函数 fx定义域为 为其导函数,且满足以下条件 0x时,； 12f； ,则不等式 24fx的解集为 .【答案】【解析】 0x时，令 ，又 fx为奇函数，所以 gx为偶函数，因为 ，所以 ， ，从而解集为考点：利用导数解不等式
21、【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等（七）对称问题例 7设函数 是 的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数都有对称中心 ，其中 满足 已知函数，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】 ，解得 ，所以函数 的对称中心为 ，设 是函数 的图象上关于 中心对称的两点，则 ，故选 D考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题【方法点睛】本题通过 “三次函数 都有对称中心 ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求， “照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决本题的解答就是根据新结论性质求出 的对称中心后再利用对称性和的练习 1.对于三次函数 ，给出定义：设 fx是函数 yfx的导数，fx是 f的导数，若方程 0fx有实数解 0x，则称点 0,为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请你根据这一发现，则函数 的对称中心为（ ）A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】A
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