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    高考数学命题热点名师解密专题:快速解决圆锥曲线的方程与性质问题(理)

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    高考数学命题热点名师解密专题:快速解决圆锥曲线的方程与性质问题(理)

    1、专题 27 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题一 【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义;2掌握焦点三角形的应用和几何意义;3.掌握圆锥曲线方程的求法;4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系;5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一 【知识点总结】1.椭圆定义:平面内与两个定点 12,F的距离的和等于常数(大于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 12,F叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ,焦点 ,其中 (2) ,焦点 ,其中3椭圆的几何性质以 为例(1)范围: (2)对称性:对称轴: x轴, y轴;对称中心: (0,)O(3)顶点:长轴端点: ,短轴端点: ;长轴

    2、长 12|Aa,短轴长12|Bb,焦距 12|Fc.(4)离心率 越大,椭圆越扁, e越小,椭圆越圆(5) ,abc的关系: 22ab.4双曲线的定义: 平面内与两个定点 12,F的距离的差的绝对值等于常数( 小于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点 12,叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ,焦点 ,其中 (2) ,焦点 ,其中6双曲线的几何性质以 为例(1)范围: (2)对称性:对称轴: x轴, y轴;对称中心: (0,)O(3)顶点:实轴端点: ,虚轴端点: ;实轴长 12|Aa,虚轴长12|Bb,焦距 12|Fc.(4)离心率 ,cea(5) 渐

    3、近线方程 yx.7抛物线的定义: 练习 3如图,双曲线 的左、右焦点分别是 , , 是双曲线右支上一点, 与圆相切于点 , 是 的中点,则 ( )A 1 B2 C D【答案】A【解析】因为 是 的中点, 是 的中点,所以 ;又 ,所以有 ,所以 ,所以,由双曲线的定义知: ,所以 .故选 A(三)抛物线的性质例 3已知 是抛物线 的焦点,过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点, 为线段 的中点,若 ,则直线 的斜率为( )A 3 B1 C2 D【答案】B【解析】由于 为 中点,根据抛物线的定义 ,解得 ,抛物线方程为 .设 ,则 ,两式相减并化简得,即直线 的斜率为 ,故选 B.练习 1如图点

    4、 是抛物线 的焦点,点 , 分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动,且 始终平行于 轴,则 的周长的取值范围是( ) A B C D【答案】C【解析】抛物线的准线 ,焦点 ,由抛物线定义可得 ,圆 的圆心为 ,半径为 4, 的周长 ,由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为 2, , ,故选 C.练习 2已知 P 为抛物线 y2 4x 上一 动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d,对于定点 A(4,5),则| PA| d 的最小值为( )A 4 B C 1 D 1【答案】D【解析】抛物线 的焦点 ,准线 如图所示,过点 作 交 轴于点 ,垂足为 ,则 , , ,故选 D练习 3如图,已知 , 分别为抛

    5、物线 的顶点和焦点,斜率为 的直线 经过点 与抛物线 交于 ,两点,连接 , 并延长分别交抛物线的准线于点 , ,则 ( )A B C D【答案】B【解析】由抛物线的几何性 质可知: ,设 , ,由 , ,知 ,联立直线 与抛物线的方程 消 有 ,由韦达定理知 ,所以 ,故选 B.(四)椭圆与双曲线例 4若椭圆 与双曲线 有公共的焦点 , ,点 是两条曲线的交点, ,椭圆的离心率为 ,双曲线的离心率为 ,且 ,则 ( )A B C D【答案】B【解析】不妨设 P 在第一象限,再设 PF1s,PF 2t ,由椭圆的定义可得 s+t2a 1,由双曲线的定义可得 st2 a2,解得 sa 1+a2,

    6、t a 1a 2,由F 1PF2 ,可得 ,由 e1e21,即 ,得: ,解得: (舍) ,或 ,即 故选:B练习 1如图,离心率为 2 的双曲线 与椭圆 有共同的焦点 , 分别是 ,在第一、三象限的交点,若四边形 是矩形,则椭圆 的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】设|PF 1|x,|PF 2|y,点 P 为椭圆 上的点,|PF 1|+|PF2|2a=x +y;又四边形 PF1QF2 为矩形, 即 x2+y2(2c)2=4 ,设双曲线 C1 的实轴长为 2m,焦距为 2c,且 =2 则 2m|PF 1|PF 2|x-y ,2+ 2 可得 x2+y22 =4 将 代入中 ,椭圆 C

    7、2 的离心率 e= ,故选:D练习 2已知 为椭圆 的左顶点,该椭圆与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点为 ,若直线 垂直于双曲线的另一条渐近线,则该双曲线的离心率为A B C D【答案】D练 习 3已知 是椭圆和双曲线的公共焦点,点 是它们的一个公共点,且 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为 ,则 的最大值为( )A B C D【答案】D【解析】设椭圆的长半轴为 ,双曲线的实半轴为 ,半焦距为 ,由题意,设点 P 是椭圆与双曲线的第一象限内的交点,且 ,则根据椭圆和双曲线的定义可得 ,则 ,又由 ,在 中,由正弦定理得 ,即 ,故选 D.(五)圆锥曲线与内切圆例 5已知椭圆: 的左右焦点分别为

    8、, 为椭圆上的一点 与椭圆交于 。若的内切圆与线段 在其中点处相切,与 切于 ,则椭圆的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】结合题意可知 结合内切圆的性质,可得 ,结合椭圆的性质,而 ,所以 ,结合内切圆的性质,可以得出 结合椭圆的性质,可得 ,由此可知 为等边三角形,进而得出 ,对三角形 运用余弦定理,得到 ,解得 ,故选 D.练习 1过双曲线 的右支上一点 ,分别向圆 : 和圆 : 作切线,切点分别为 , ,则 的最小值为( )A B C D【答案】D【解析】圆 C1:(x +4) 2+y24 的圆心为(4,0) ,半径为 r12;圆 C2:(x4 ) 2+y21 的圆心为(4,

    9、0) ,半径为 r21,设双曲线 x2 1 的左右焦点为 F1(4,0) ,F 2(4,0) ,连接 PF1,PF 2,F 1M,F 2N,可得|PM|2|PN| 2(|PF 1|2r 12)(|PF 2|2r 22)(|PF 1|24)(| PF2|21)|PF 1|2| PF2|23(|PF 1| |PF2|) (| PF1|+|PF2|)32a(|PF 1|+|PF2|32(|PF 1|+|PF2|)322c328313当且仅当 P 为右顶点时,取得等号,即最小值 13故选:D练习 2已知双曲线 的左右焦点分别为 , ,实轴长为 6,渐近线方程为,动点 在双曲线左支上,点 为圆 上一点,

    10、则 的最小值为A 8 B9 C10 D11【答案】B【解析】由题意可得 2a6,即 a3,渐近线方程为 y x,即有 ,即 b1,可得双曲线方程为 y21,焦点为 F1( ,0) ,F 2, ( ,0) ,由双曲线的定义可得|MF 2|2a+|MF 1|6+| MF1|,由圆 E:x 2+(y ) 21 可得 E(0, ) ,半径 r 1,|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF 1|,连接 EF1,交双曲线于 M,交圆于 N,可得|MN |+|MF1|取得最小值,且为 |EF1| 4,则则|MN |+|MF2|的最小值为 6+419故选:B(六)圆锥曲线与圆例 1已知抛物线 ,圆 ,过点 作

    11、直线 ,自上而下顺次与上述两曲线交于点(如图所示) ,则 的值正确的是 ( )A等于 B最小值是 C等于 D最大值是【答案】C【解析】当直线 斜率不存在时,直线方程为 ,代入抛物线方程和圆的方程,求得 的纵坐标分别为 ,故 .当直线 的斜率不存在时,设直线的方程为 ,代入抛物线方程并化简得 , .根据抛物线的定义以及圆的半径可知.故选 C. 练习 2已知椭圆 ,与双曲线 具有相同焦点 F1、F 2,且在第一象限交于点 P,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e 2,若F 1PF2 ,则 的最小值是A B2 C D【答案】A【解析】根据题意,可知 ,解得 ,根据余弦定理,可知 ,整理得 ,所以 ,

    12、故选 A.练习 3设椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,|PF 1|=|PF 2|, ,则椭圆离心率的取值范围为( )A B C D 【答案】B【解析】设 F1(-c ,0) ,F 2(c ,0) ,由椭圆的定义得|PF 1|+|PF2|=2a,可设|PF 2|=t,可得|PF 1|=t,即有(+1)t=2a由F 1PF2= ,可得|PF 1|2+|PF2|2=4c2,即为( 2+1)t 2=4c2,由 2,可得 e2= ,令 m=+1,可得 =m-1,即有= =2( ) 2+ ,由 ,可得 m3,即 ,则 m=2 时,取得最小值 ;m= 或 3 时,取得最大值 即有 e2

    13、 ,解得 e 故选:B 练习 4若存在直线 l 与曲线 C1和曲线 C2都相切,则称曲线 C1和曲线 C2为“相关曲线” ,有下列四个命题:有且只有两条直线 l 使得曲线 C1: 和曲线 C2: 为“相关曲线” ;曲线 C1: 和曲线 C2: 是“相关曲线” ;当 ba0 时,曲线 C1: 和曲线 C2: 一定不是“相关曲线” ;必存在正数 a 使得曲线 C1: 和曲线 C2: 为“相关曲线”.其中正确命题的个数为( )A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】对于,由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心,2 为半径的圆;曲线 C2 是以(2,1)为圆心,半径为 1的圆两圆的圆心距为 ,由于 ,故两圆相交,因此有两条外公切线,故正确对于,由题意得曲线 C1, C2 是共轭双曲线(它们各自在 x 轴上方的部分) ,具有相同的渐近线,因此两曲线没有公切线,故不正确对于,因为 ba0,在同一坐标系内画出两曲线,如下图中的图形由图可得圆在抛物线的内部,所以两曲线不会有公切线,故正确对于,当 a=1 时,曲线 C1: ,此时直线 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切,故正确综上可得有三个命题正确学_科网故选 C


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