1、2019 届高三年级第一次模拟考试数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 设集合 Ax|x0 ，B x|20) 与函数 y|cos x|的图象恰有四个公共点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，其中 x1b0)的离心率为 ，且过点x2a2 y2b2 32( ， )，点 P 在第四象限， A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点312D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求PCD 面积的最大值19. (本小题满分 16 分)已知函
2、数 f(x) ex x2ax(a0)a2(1) 当 a1 时，求证：对于任意 x0，都有 f(x)0 成立；(2) 若 yf(x)恰好在 xx 1 和 xx 2 两处取得极值，求证： 0，q1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3a 4，数列b n的前 n项和 Tn 满足 2Tnn(b n1)， nN *，b 21.(1) 求数列a n，b n的通项公式；(2) 是否存在常数 t，使得 Sn 为等比数列？请说明理由；12t(3) 设 cn ，对于任意给定的正整数 k(k2)，是否存在正整数 l，m( k0) 到点 F(2，0)的距离减去点M 到直线 x1 的距离等于 1.(1) 求曲线 C
3、的方程；(2) 若直线 yk(x2)与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补24. (本小题满分 10 分)已知数列a n满足 a1 ， (n2) 23 1an 1 2 an 1an 1 1(1) 求数列a n的通项公式；(2) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，用数学归纳法证明：S n0，所以 4k2l1 1 或 2k1 或(2k1) 2.(14 分)若 4k2l1 1，则 l2k ， m4k 23k，此时 ml4k 2k0，满足 klm；若 4k2l1 2k1，则 kl ，矛盾( 舍去)；若 4k2l1 (2k1) 2，则 l2k 2，此时 mk 0(
4、 舍去)综上，任意给定的正整数 k(k2)，存在正整数 l2k，m4k 23k，使得 ck，c l，c m成等差数列(16 分)21. 因为 A ，0 11 0所以 ，ab120 11 0 34cd解得 (6 分)b 3， a 4，2 c， 1 d，)即 a4，b3，c2，d1，(8 分)所以 adbc( 4)(1) 232.(10 分)22. 以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设 P(，)，M(，)，因为 OMOP12，所以 12.因为 cos 3 ，所以 cos 3，即 4cos ，(3 分)12化为直角坐标方程为 x2y 24x0，即(x2) 2y 2
5、4.(5 分)由 (t 为参数)，得点 Q 所在曲线的普通方程为 xy30，(7 分)x 1 22t，y 2 22t )所以 PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即 PQmin 2 2.(10 分)|2 0 3|2 5 2223. (1) 由题意得 |x 1|1，(2 分)（x 2）2 y2即 |x1| 1.（x 2）2 y2因为 x0，所以 x10，所以 x2，（x 2）2 y2两边平方，整理得，曲线 C 的方程为 y28x.(4 分)(2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立 消去 y 并整理得 k2x2(4k 28)x4k 20，y2 8x，y k（x 2），)所
6、以 x1x24.(6 分)由 kFA kFB y1x1 2 y2x2 2 k（x1 2）x1 2 k（x2 2）x2 2k（x1 2）（x2 2） k（x1 2）（x2 2）（x1 2）（x2 2） ，(8 分)2k（x1x2 4）（x1 2）（x2 2）将 x1x24 代入，得 kFAk FB0，所以直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补(10 分)24. (1) 因为 n2，由 ，1an 1 2 an 1an 1 1得 ，1an 1 1 an 1an 1 1 1an 1 1所以 1，(1 分)1an 1 1an 1 1所以 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，1an 1所以 n2，1an
7、 1所以 an .(3 分)n 1n 2(2) 下面用数学归纳法证明：S nnln( ) .n 32 12当 n1 时，左边S 1a 1 ，右边 ln 2，23 32因为 e316，所以 3ln e4ln 2，所以 ln 2 ，34所以 ln 2 ，32 32 34 34 23所以命题成立；假设当 nk(k1，kN *)时成立，即 Skkln( ) ，k 32 12则当 nk1 时，S k1 S ka k1 kln( ) ，k 32 12 k 2k 3要证 Sk 1(k1)ln( ) ，k 1 32 12只要证 kln( ) (k1)k 32 12 k 2k 3ln( ) ，k 1 32 12只要证 ln( ) ，k 4k 3 1k 3即证 ln(1 ) ，(8 分)1k 3 1k 3考查函数 F(x)ln(1x)x (x0) 因为 x0，所以 F(x) 1 0，11 x x1 x所以函数 F(x)在区间(0，)上为减函数，所以 F(x)F (0)0，即 ln(1x) x，所以 ln(1 ) ，1k 3 1k 3所以当 nk1 时命题也成立综上所述，S nnln( ) .(10 分)n 32 12
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