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    2019年1月北京市石景山高三数学理科期末试卷及答案

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    2019年1月北京市石景山高三数学理科期末试卷及答案

    1、石景山区 20182019 学年第一学期高三期末试卷数 学(理)本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 已知集合 , ,则 |0PxR 1,02QPQA. 1,2B. ,2C. ,D. 0,122. 设 是虚数单位,复数 ,则 的共轭复数为i i1zzA. +B. iC. 1iD. i3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为nA. 3B. 4C. 5D. 6

    2、4. 下列函数中为偶函数的是A. ln(1)l()yxB. ln(1)l()yxC. cos D. cos是否 0,1Sna开始结束20S2a输出 n 出fdnjfnnn2a15. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为A. 43B. 8C. 43D. 86. 已知平面向量 ,则下列关系正确的是131(,)(,)22abA. ()bB. (abC. ()aD. )()7. 在 中, ,则 的面积为ABC 7,360cABCA. 1532B. 154C. 123D. 638.已知函数 则下列关于函数 的零点个数2,log0axf 1yfx的判断正确的是A. 当 时,有 4 个零点;当 时,有

    3、 1 个零点0aaB. 当 时,有 3 个零点;当 时,有 2 个零点0C. 无论 为何值,均有 2 个零点D. 无论 为何值,均有 4 个零点a第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9. 在 的展开式中, 的系数为_ (用数字作答)5(12)x3x10. 设 为等差数列 的前 项和, ,则其通项公式 _ nSna13,8aSna11. 若变量 满足约束条件 ,则 的最小值等于_,xy12xyx zxy12. 写出“ ”的一个充分不必要条件_1213. 已知双曲线中心在原点,一个焦点为 ,点 在双曲线上,且线段1(5,0)FP的中点坐标为 ,则双

    4、曲线的离心率为_1PF(0,2)14. 2018 年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于 2019 年全面施行不过,为了让老百姓尽早享受到减税红利,自 2018 年 10 月至 2018 年 12 月,先将工资所得税起征额由 3500 元/月提高至 5000 元/ 月,并按新的税率表(见附录)计算纳税按照税法规定,小王 2018 年 9 月和 10 月税款计算情况分别如下:月份 纳税所得额起征额应纳税额适用税率速算扣除数 税款税后工资9 6000 3500 2500 10% 105 145 585510 6000 5000 1000 3% 0 30 5970(相关计算公式为:应纳税额=纳税所得

    5、额起征额,税款=应纳税额 适用税率速算扣除数,税后工资=纳税所得额税款 )(1)某职工甲 2018 年 9 月应纳税额为 2000 元,那么他 9 月份的税款为_元;(2)某职工乙 2018 年 10 月税后工资为 14660 元,则他享受减税红利为_元附录:原税率表(执行至 2018 年 9 月) 新税率表(2018 年 10 月起执行)应纳税额 税率 速算扣除数 应纳税额 税率 速算扣除数不超过 1500 元 3% 0 元 不超过 3000 元 3% 0 元1500 元至 4500 元 10% 105 元 3000 元至 12000 元 10% 210 元4500 元至 9000 元 20

    6、% 555 元 12000 元至 25000 元 20% 1410 元9000 元至 35000 元 25% 1005 元 25000 元至 35000 元 25% 2660 元 三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15. (本小题 13 分)函数 的部分图象如图所示. ()sin()0,|)2fxAx()求 的最小正周期及解析式;()设 ,求函数 在区间 上的最小值.()cosgxfx()gx0,216. (本小题 13 分)年 月,某校高一年级新入学有 名学生,其中 名男生, 名女2018936020160生学校计划为家远的高一新生提供 间男生宿舍和

    7、间女生宿舍,每间宿舍可住 2 名54同学该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层抽样,其中共抽取 40 名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位:)如下:km5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.35 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.73.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.46.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6()根据以上样本数据推断,若男生甲家庭居住地与学校距离为 ,他是否能住8.kmOy x11433宿?说明理由;()通过计算得到男生样本数据平均值为 ,女生

    8、样本数据平均值为 ,5.1km4.875km求所有样本数据的平均值;()已知能够住宿的女生中有一对双胞胎,如果随机分配宿舍,求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率17. (本小题 14 分)如图,在 中, 可以通过 以直AOB 90,2,1AOBAOC AB线 为轴旋转得到,且 ,动点 在斜边 上CD()求证:平面 平面 ;D()当 为 的中点时,求二面角 的余弦值;ABB()求 与平面 所成的角中最大角的正弦值CO18. (本小题 14 分)已知抛物线 经过点 ,其焦点为 为抛物线上除了原点外2:Cypx(1,2)PFM的任一点,过 的直线 与 轴, 轴分别交于 Mly,AB()求抛物线 的方程以

    9、及焦点坐标;()若 与 的面积相等,求证:直线 是抛物线 的切线BF A lC19. (本小题 13 分)已知函数 ()lnfxaxDAOCB()当 时,求 在 处的切线方程;0a()fx1()当 时,若 有极小值,求实数 的取值范围f a20.(本小题 13 分)将 1 至 这 个自然数随机填入 方格的 个方格中,每个方格恰填一个数2nn2( )对于同行或同列的每一对数,都计算较大数与较小数的比值,在这*,N个比值中的最小值,称为这一填数法的“特征值 ”2()()若 ,请写出一种填数法,并计算此填数法的“特征值”;n()当 时,请写出一种填数法,使得此填数法的“特征值”为 ;31n()求证:

    10、对任意一个填数法,其“特征值”不大于 1n石景山区 2018-2019 学年第一学期高三期末数学(理)试卷答案及评分参考一、选择题:本大题共 8个小题,每小题 5分,共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C B B A C D A二、填空题:本大题共 6个小题,每小题 5分,共 30分 9 ; 10 ; 11 ; 803n412 ;(答案不唯一) 13. ; 14. , 2x 951三、解答题:本大题共 6个小题,共 80分解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤15 (本小题 13 分)解:()由图可得 1,A,所以 . 423T2,1T当 时, ,可得 , x)(xfs

    11、in()3|,.26. ()sin)fx()cosi()cosincsosinc66gfxxxx. 31sinin()2. 0,63xx 当 ,即 时, 有最小值为 . 6x0x)(xg2116.(本小题 13 分)解:()能住宿.因为 200 名男生中有 10 名男生能住宿,所以 40 名男生样本中有 2 名男生能住宿。 样本数据中距离为 8.4km 和 8km 的男生可以住宿,距离为 7.5km 以下的男生不可以住宿,由于 8.3 8,所以男生甲能住宿。 ()根据分层抽样的原则,抽取女生样本数为 32 人. 所有样本数据平均值为 . 405.1324875()解法一:记住宿的双胞胎为 ,其

    12、他住宿女生为 . 12,A123456,BB考虑 的室友,共有 七种情况,1A23456,B所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 17解法二:设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 ,A则 .26481()7CPA所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 1717.(本小题 14 分)()证明:在 中, ,AOC ,且 ,BB=OIzyxDAOCB 平面 , OCAB又 平面 ,D平面 平面 ()解:如图建立空间直角坐标系 , xyz 为 的中点,DAB , , , , ,(0)O, , (02), , (10)B, , ()C, ,1(0)2D, , , , ,(1)C=ur, , ur,

    13、 , ()=ur, ,02BD, ,设 为平面 的法向量,11()nxyzur, , OCD 即 10C=Dr, 102x+z, ,令 ,则 ,1z1y 是平面 的一个法向量, (0)nur, , BC设 为平面 的法向量,22xyz, , OD 即20nB=Dur, 2201xy+z=,令 ,则 , ,21z2xy 是平面 的一个法向量, ()nur, , OC ,12122220()15cos| nurr,二面角 的余弦值为 BCDO5()解法一: 平面 ,A 为 与平面 所成的角, ,1C点 到直线 的距离最小时, 的正弦值最大,OABCDO即当 时, 的正弦值最大,D此时 , ,253

    14、5 sinCO=解法二:设 ,所以 ADBur(0,2)(1,2)C=平面 的法向量 ,O(1,)nr所以 22| 1si 49585()Dur所以当 时, 与平面 所成的角最大, 45CAOB5sin318.(本小题 14 分)解:()因为抛物线 经过点 ,2:Cypx(1,2)P所以 , 2所以抛物线 的方程为 ,焦点 点坐标为 24yxF(1,0)()因为 与 的面积相等,BMF A所以 ,所以 为 的中点 设 ,则 00(,)xy0(,)Bx所以直线 的方程为 , l02y与抛物线 联立得:24yx,2082200646411xxy所以直线 是抛物线 的切线 lC19.(本小题 13

    15、分)解:()当 时, , . 0a()lnfx()ln1fx, (1),f所以 在 处的切线方程为 . xyx() 有极小值 函数 有左负右正的变号零点. ()f()fx1lnln1afx令 ,则()gf 2()xgx令 ,解得 .()0gxxa的变化情况如下表:, (0,)a(,)gx- 0 +(减 极小值 ln2增 若 ,即 ,则 ,所以 不存在变号零点,不ln20a 2ae ()0gx ()fx合题意. 若 ,即 时, , .l2e()ln2a(1)0ga所以 ,使得 ;0(,1)xa0gx且当 时, ,当 时, .,()0(,1)x()0gx所以当 时, 的变化情况如下表:(,1)xa

    16、,)xf0(ax0(,1)fx 0 +(减 极小值 增所以 . 20ae20.(本题 13 分)解:() 3 21 4此填数法的“特征值”为 .2或7 1 45 8 23 6 93 分()(前两问答案不唯一,请酌情给分)()不妨设 A 为任意一个填数法,记此填数法的 “特征值”为 ,()CA考虑含 n+1 个元素的集合 ,2221,Bnn, , ,易知其中必有至少两个数处于同一行,设为 2x也必有至少两个数处于同一列,设为 .1y若21max(,)yn则有 (因为 ).21(,)1nCA 3+1n若 ,即 ,21ax,yn2xy则 , 222mi(,)所以 .221()1()xynnCAn 即不论何种情况,总有 . 13 分()A【若有不同解法,请酌情给分】


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