1、2019 届高三第一次调研考试文科数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 复数 z 满足(1+i)z=i+2,则 z 的虚部为( )A. B. C.- D.- i2. 已知集合 P=xN|1x10,集合 Q=xR|x 2-x-6f(a)f(c) B.f(b)f(c)f(a) C.f(a)f(b)f(c) D.f(a)f(c)f(b)10.若 m 是 2 和 8 的等比中项 ,则圆锥曲线 x2+ =1 的离心率是( )A. B. C. D.11.已知球 O 是正三棱锥 A-BCD 的外接球,BC=3,A
2、B=2 ,点 E 在线段 BD 上,且 BD=3BE,过点 E 作球 O 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 ( )A.2,4 B. ,4 C. ,4 D. ,412.已知函数 f(x),若在其定义域内存在实数 x 满足 f(-x)=-f(x),则称函数 f(x)为“局部奇函数”,若函数 f(x)=4x-m2x-3 是定义在 R 上的“局部奇函数”, 则实数 m 的取值范围是( )A.- ) B.-2,+) C.(-,2 ) D.-2 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 设变量 x,y 满足约束条件 则 z=x-2y 的最大值为 . 14. 双曲线 =1(
3、a0,b0)的渐近线与圆(x- )2+y2=1 相切,则此双曲线的离心率为. 15. 不论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点,则实数 a 的取值范围是 .16. 抛物线 y2=8x 的焦点为 F,弦 AB 过点 F,原点为 O,抛物线准线与 x 轴交于点 C,OFA= ,则tanACB= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)若 f(x)在区间 上的最大值为 ,求
4、 m 的最小值.18. （本题满分 12 分）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,BAD= 60,PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且PM=2MC,N 为 AD 的中点.(1)求证:AD 平面 PNB;(2)若平面 PAD平面 ABCD,求三棱锥 P-NBM 的体积.19. （本题满分 12 分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:售出水量 x(单位:箱 ) 7 6 6 5 6收入 y(单位:元) 165 142 148 125 150学校计划将
5、捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前 20 名,获一等奖学金 500 元;综合考核 2150 名,获二等奖学金 300 元; 综合考核 50 名以后的不获得奖学金.(1)若 x 与 y 成线性相关,则某天售出 9 箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同 ,求三人获得奖学金之和不超过 1 000 元的概率.附:回归方程 x+ ,其中 .20. （本题满分 12 分）已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F(2,0),以原点 O 为圆心,OF 为半径的圆与椭圆在 y 轴右侧交于 A,B 两点,且 AOB 为正三角形
6、.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点 M(m,0)(ma),作倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,若点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围 .21. （本题满分 12 分）已知函数 f(x)=ln x+ x2+ax(aR),g(x) =ex+ x2.(1)讨论函数 f(x)极值点的个数;(2)若对x 0,不等式 f(x)g(x)成立,求实数 a 的取值范围.请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本题满分 10 分）已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数), 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
7、圆 C 的极坐标方程为 =4cos ,直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点.(1)求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长;(2)动点 P 在圆 C 上( 不与 A,B 重合),试求ABP 的面积的最大值 .23. （本题满分 10 分）已知函数 f(x)=|2x-a|-|x+3|,aR.(1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值;(2)当 x0,3时 ,f(x)4 恒成立,求 a 的取值范围.2019 届高三第一次调研考试数学（文）答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.1.C 解析 (1+i)z=i+2, (1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i), 2z=3-i, z
8、= i.则 z 的虚部为- ,故选 C.3212 122.B 解析 P=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,Q=(-2,3), PQ=1,2.故选 B.3.D 解析 由题意 f(x)= ,由函数 f(x)在 x=1 处的倾斜角为 ,1+2f(1)=-1, 1+ =-1,a=-1. 故选 D.24.D 解析 数列a n为等差数列,a 10=10,其前 10 项和 S10=60, 解得 故选 D.1=2,=89. 5.D 解析 当 i=1 时,S= =-1;当 i=2 时,S= ;当 i=3 时,S= ;当 i=422-4 22+1=23 22-23=32时,S= =4;故循环的周期为 4.
9、故当 i=8 时,S=4; 当 i=9 时,输出的 S=4.22-326.A 解析 |a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120,ab=|a|b|cos 120=32 - =-3.12(a+mb)a, (a+m b)a=a2+mab=32-3m=0,解得 m=3.故选 A.7.B 解析 正实数对(x,y), 且 所在区域面积为 1,能够成钝角三角形的条01,其区域面积为 ,根据概率公式得 p= 得 = ,故选 B.47158.D 解析 几何体是半个圆柱和一个四棱锥的组合体 ,如图所示,所以选 D.9.A 解析 f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(x+2e)=-f(x),f(x+2e)
10、=f(-x).f(x)的图象关于直线 x=e 对称 .f(x)在区间 e,2e上是减函数,f(x)在区间 0,e上是增函数.令 y= ,则 y= ,y= 在(0,e) 上递增, 1-2 在(e,+)上递减 .a= =c0,22 55a-b= 0,0f(a)f(c).10.D 解析 因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m2=28=16,所以m=4.当 m=4 时,圆锥曲线 +x2=1 是椭圆,其离心率 e= ;24 =32当 m=-4 时,圆锥曲线 x2- =1 是双曲线,其离心率 e= .24 =51=5综上知,选项 D 正确.11.A 解析 如下图,设BDC 的中心为 O1,球 O
11、的半径为 R,连接O1D,OD,O1E,OE,则 O1D=3sin 60 ,AO1= =3,23=3 2-21在 RtOO1D 中 ,R2=3+(3-R)2,解得 R=2,BD=3BE,DE=2.在DEO 1 中, O1E= =1,OE= .12+21=2过点 E 作圆 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面的面积最小 ,此时截面圆的半径为 ,最小面积为 2.22-( 2)2=2当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为 4.故选 A.12.B 解析 根据“ 局部奇函数”的定义可知,方程 f(-x)=-f(x)有解即可,即 4-x-m2-x-3=-(4x-m2x-3),4 -x+4x-m(2-
12、x+2x)-6=0,化为(2 -x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0 有解,令 2-x+2x=t(t2),则有 t2-mt-8=0 在2,+)上有解,设 g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为 t= ,2若 m4,则 =m2+320,满足方程有解;若 m0,则 a-2.注意到直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有 02+12-2a0+a2-2a-40,即 a2-2a-30,解得- 1a3.综上,-1a3.16.4 解析 抛物线 y2=8x,3p=4,焦点 F(2,0),准线 l 的方程为 x=-2,C 点坐标为(-2,0),OFA=
13、 , 直线 AB 的斜率为 ,3弦 AB 过 F, 直线 AB 的方程为 y= (x-2).3点 A 与点 B 在抛物线上, 两方程联立 =3(-2),2=8, 得到 3x2-20x+12=0, 解得 A(6,4 ),B ,- ,323433 = ,- , =(8,4 ). cosACB= = = ,83433 3 17sinACB= , tanACB=4 .487 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解 (1)因为 f(x)= sin 2x= sin 2x- cos 2x+ =sin 2x- + ,所以 f(x)的最小正周期为1-22 +32 32 12 12 12T
14、= =.(2)由(1)知 f(x)=sin .因为 x ,所以 2x- .(2-蟺 6)+12 -蟺 3,要使 f(x)在 上的最大值为 ,即 sin 上的最大值为 1.-蟺 3, 32所以 2m- ,即 m . 所以 m 的最小值为 .18.解 (1)PA=PD,N 为 AD 的中点,PNAD,底面 ABCD 是菱形,BAD=60, ABD 为等边三角形,BNAD.PNBN=N,AD平面 PNB.(2)PA=PD=AD=2, PN=NB= ,3平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PNAD,PN平面 ABCD,PNNB,S PNB= ,AD平面 PNB,ADBC,
15、BC 平面 PNB,又 PM=2MC,设 M,C 到平面 PNB 的距离分别为 h,H,则 ,h= H.= 23V P-NBM=VM-PNB= VC-PNB= 2= .23 2319.解 (1) =6, =146, =7+6+6+5+65 =165+142+148+125+1505= =20, =146-206=26,19+0+0+21+01+0+0+1+0 = =20 +26,当 x=9 时, =209+26=206,即某天售出 9 箱水的预计收益是 206 元. (2)设甲获一等奖为事件 A1,甲获二等奖为事件 A2,乙获一等奖为事件 B1,乙获二等奖为事件 B2,丙获一等奖为事件 C1,
16、丙获二等奖为事件 C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8 种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过 1 000 的事件有(A 2,B2,C2)1 种情况,则求三人获得奖学金之和不超过 1 000 元的概率 P= .1820. 解 (1)AOB 为正三角形 ,且 A,B 关于 x 轴对称,OF=2,OA=OF=2,y A=1,xA= ,即点 A( ,1). =1,又 c=2,解得 a2=6,b2=2.故椭圆方程为 =1.3 332+12 26+22
17、(2)易知直线 l:y=- (x-m)(m ),联立33 6 26+22=1,=- 33(-),消去 y 得 2x2-2mx+m2-6=0,由 0,得 4m2-8(m2-6)0,即-2 , 0),令 f(x)=0,即 x2+ax+1=0,=a2-4.1 2+1当 a2-40 时,即-2a2 时,x 2+ax+10 恒成立,即 f(x)0,此时 f(x)在(0,+)单调递增,无极值点.当 a2-40 时,即 a2,若 a0,x20,此时 x(0,x 1),f(x)0,f(x)单调递增,1+2=-0,12=10, x(x 1,x2),f(x)0,f(x)单调递增 ,故 x1,x2 分别为 f(x)
18、的极大值点和极小值点 ,因此 a2,设方程 x2+ax+1=0 的两根为 x1,x2,且 x10, 综上:当 a0,即 h(x)0,h(x)单调递增.因此 x=1 为 h(x)的极小值点, 即 h(x)h(1)=e+1,故 ae+1.请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一22.解 (1)由 =4cos 得 2=4cos ,所以 x2+y2-4x=0,所以圆 C 的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4.将直线 l 的参数方程代入圆 C:(x-2)2+y2=4,并整理得 t2+2 t=0,2解得 t1=0,t2=-2 ,2所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为|t 1-t
19、2|=2 .2(2)直线 l 的普通方程为 x-y-4=0.圆 C 的参数方程为 ( 为参数),可设圆 C 上的动点 P(2+2cos ,2sin ),则点 P 到直线 l 的距离 d= =|2cos + - |.2当 cos + =-1 时,d 取最大值,且 d 的最大值为 2+ ,2所以 SABP 2 (2+ )=2+2 ,即ABP 的面积的最大值为 2+2 .12 2 2 2 223.解 (1)当 a=1 时,函数 f(x)=|2x-1|-|x+3|,当 x-3 时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时 f(x)min=f(-3)=7,当-3f =-3 -2=- ,12 12 72当 x 时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,12此时 f(x)min=f = -4=- ,12 12 72综上,f(x) 的最小值为 - .72(2)当 x0,3时,f(x)4 恒成立,可化为|2x-a|x+7,即-x-72x-ax+7 恒成立,得 x-7a3x+7 恒成立,由 x0,3,得 3x+77,x-7-4,-4a7, 即 a 的取值范围为-4,7.欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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