1、2017-2018 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1如图，在 RtABC 中，ACB90，如果 AC3，AB5，那么 sinB 等于（ ）A B C D2点 A（1，y 1），B（3，y 2）是反比例函数 y 图象上的两点，那么 y1，y 2 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D不能确定3抛物线 y（ x4） 2 5 的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A（4，5），开口向上 B（4，5），开口向下C（ 4，5），开口向上 D（4， 5），开口向下4圆心角为 60，且半径为 12 的扇形的面积等于（ ）A48
2、B24 C4 D25如图，AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，如果ACD34，那么BAD 等于（ ）A34 B46 C56 D666如果函数 yx 2+4xm 的图象与 x 轴有公共点，那么 m 的取值范围是（ ）Am4 Bm4 Cm4 Dm47如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，如果添加一个条件后可以得到ABPACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）AABPC B APBABC CAB 2APAC D8如图，抛物线 yax 2+bx+3（a0）的对称轴为直线 x1，如果关于 x 的方程ax2+bx80（a0）的一个根为 4，那么该方程的另一个根为（ ）A4 B 2 C1 D3
3、二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9抛物线 y x2+3 与 y 轴的交点坐标为 10如图，在ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DEBC，如果 ，AC10，那么 EC 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P（x，y）与点 A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PCy 轴于点 C，PDx 轴于点 D，那么矩形 ODPC 的面积等于 12如图，直线 y1kx+ n（k0）与抛物线 y2ax 2+bx+c（a0）分别交于A（1，0），B（2，3）两点，那么当 y1y 2 时， x 的取值范围是 13如图，O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角
4、等于 120，那么圆心 O 到弦AB 的距离等于 142017 年 9 月热播的专题片辉煌中国圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图 1 所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列在图2 的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD 的中点为 E，最长的斜拉索 CE 长 577m，记 CE 与大桥主梁所夹的锐角CED 为 ，那么用 CE 的长和 的三角函数表示主跨 BD 长的表达式应为 BD （m ）15如图，抛物
5、线 yax 2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 B 的坐标为 B（4，0），抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，CEAB，并与抛物线的对称轴交于点 E现有下列结论：a0；b0；4a+2b+ c0；AD+ CE4 其中所有正确结论的序号是 16如图，O 的半径为 3，A，P 两点在O 上，点 B 在 O 内，tanAPB ，AB AP如果 OBOP，那么 OB 的长为 三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题每小题 5 分，第 21、22 题每小题 5 分，第23、24 题每小题 5 分，第 25、26 题每小题 5 分，第 27、28 题每小题
6、 5 分）17计算：2sin30+cos 245tan60 18如图，ABCD，AC 与 BD 的交点为 E，ABEACB（1）求证：ABEACB ；（2）如果 AB6，AE 4，求 AC，CD 的长19在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：y x 2+2x（1）补全表格：抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标yx 2+2x （1，1） （0，0）（2）将抛物线 C1 向上平移 3 个单位得到抛物线 C2，请画出抛物线 C1，C 2，并直接回答：抛物线 C2 与 x 轴的两交点之间的距离是抛物线 C1 与 x 轴的两交点之间距离的多少倍20在ABC 中，AB AC 2，
7、BAC45将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 度（0180）得到ADE，B，C 两点的对应点分别为点 D，E，BD，CE 所在直线交于点 F（1）当ABC 旋转到图 1 位置时，CAD （用 的代数式表示），BFC的度数为 ；（2）当 45 时，在图 2 中画出ADE ，并求此时点 A 到直线 BE 的距离21运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 h（m）与它的飞行时间 t（s）满足二次函数关系，t 与 h 的几组对应值如下表所示t（s） 0 0.5 1 1.5 2 h（m） 0 8.75 15 18.75 20 （1）求 h 与 t 之间的函数关系
8、式（不要求写 t 的取值范围）；（2）求小球飞行 3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到 22m？请说明理由22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y （k 0）与直线 y 的交点为A（a，1），B（2，b）两点，双曲线上一点 P 的横坐标为 1，直线 PA，PB 与 x轴的交点分别为点 M，N，连接 AN（1）直接写出 a，k 的值；（2）求证：PM PN ，PM PN 23如图，线段 BC 长为 13，以 C 为顶点，CB 为一边的 满足 cos 锐角ABC 的顶点 A 落在 的另一边 l 上，且满足 sinA 求ABC 的高 BD 及 AB 边的长，并结合你的计算过程画
9、出高 BD 及 AB 边（图中提供的单位长度供补全图形使用）24如图，AB 是半圆的直径，过圆心 O 作 AB 的垂线，与弦 AC 的延长线交于点 D，点 E 在 OD 上，DCE B（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若 CD10，tanB ，求半圆的半径25已知抛物线 G：y x 22ax+a1（a 为常数）（1）当 a3 时，用配方法求抛物线 G 的顶点坐标；（2）若记抛物线 G 的顶点坐标为 P（p，q）分别用含 a 的代数式表示 p，q；请在的基础上继续用含 p 的代数式表示 q；由可得，顶点 P 的位置会随着 a 的取值变化而变化，但点 P 总落在 的图象上A一次函数 B反比例函
10、数 C二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线 G 改为抛物线H：y x 22ax +N（a 为常数），其中 N 为含 a 的代数式，从而使这个新抛物线 H满足：无论 a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线 H 的函数表达式： （用含 a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式 ykx+b（k，b 为常数，k0）中，k ，b 26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：yax 2+bx+c（a0）经过 A（1，0），且顶点坐标为 B（0，1 ）（1）求抛物线 M 的函数表达式；（2）设
11、F（t，0）为 x 轴正半轴上一点，将抛物线 M 绕点 F 旋转 180得到抛物线M1抛物线 M1 的顶点 B1 的坐标为 ；当抛物线 M1 与线段 AB 有公共点时，结合函数的图象，求 t 的取值范围27（7 分）如图 1，在 RtAOB 中，AOB90，OAB 30，点 C 在线段 OB上，OC2BC，AO 边上的一点 D 满足OCD 30 将OCD 绕点 O 逆时针旋转 度（90180 ）得到OCD， C， D 两点的对应点分别为点C， D，连接 AC，BD，取 AC的中点 M，连接 OM（1）如图 2，当 CDAB 时， ，此时 OM 和 BD之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段 O
12、M 和 BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明28在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为 A（2，2），B（2，2）对于给定的线段 AB 及点 P，Q ，给出如下定义：若点 Q 关于 AB 所在直线的对称点 Q落在 ABP 的内部（不含边界），则称点 Q 是点 P 关于线段AB 的内称点（1）已知点 P（4，1）在 Q1（1， 1），Q 2（ 1，1）两点中，是点 P 关于线段 AB 的内称点的是 ；若点 M 在直线 yx1 上，且点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，求点 M 的横坐标 xM的取值范围；（2）已知点 C（3，3）， C 的半径为 r，点 D（4，0），
13、若点 E 是点 D 关于线段 AB的内称点，且满足直线 DE 与C 相切，求半径 r 的取值范围2017-2018 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1如图，在 RtABC 中，ACB90，如果 AC3，AB5，那么 sinB 等于（ ）A B C D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 sinB 的值【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC3，AB5，sinB 故选：A【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键2点 A（1，y 1），B（3，y 2）是反比例函数 y 图象上的两点，那么 y1，y
14、 2 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把 A 点和 B 点坐标代入反比例函数解析式可计算出 y1，y 2，从而可判断它们的大小【解答】解：A（1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数 y 图象上的两点，y 1 6，y 2 2，y 1y 2故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk ；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称3抛物线 y（ x4） 2 5 的顶点坐标和开
15、口方向分别是（ ）A（4，5），开口向上 B（4，5），开口向下C（ 4，5），开口向上 D（4， 5），开口向下【分析】根据 ya（x h ） 2+k，a0 时图象开口向上，a0 时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是 xh，可得答案【解答】解：由 y（x 4） 25，得开口方向向上，顶点坐标（4，5）故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，利用 ya（x h） 2+k，a0 时图象开口向上，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；a0 时图象开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，顶
16、点坐标是（h，k），对称轴是 xh，4圆心角为 60，且半径为 12 的扇形的面积等于（ ）A48 B24 C4 D2【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算【解答】解：根据扇形的面积公式，得S 24 （cm 2）故选：B【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键5如图，AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，如果ACD34，那么BAD 等于（ ）A34 B46 C56 D66【分析】由 AB 是 O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB90，又由ACD34，可求得ABD 的度数，再根据直角三角形的性质求出答案【解答】解：AB 是 O 的直径，ADB90
17、 ，ACD34，ABD34 BAD90 ABD56，故选：C 【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用6如果函数 yx 2+4xm 的图象与 x 轴有公共点，那么 m 的取值范围是（ ）Am4 Bm4 Cm4 Dm4【分析】根据已知得出方程 x2+4xm0 有两个的实数解，即0，求出不等式的解集即可【解答】解：函数 y x2+4xm 的图象与 x 轴有公共点，方程 x2+4xm0 有两个的实数解，即4 241（m）0，解得：m4，故选：C 【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于 m的不等式是解此题的关
18、键7如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，如果添加一个条件后可以得到ABPACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）AABPC B APBABC CAB 2APAC D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可【解答】解：A、当ABPC 时，又AA ，ABPACB，故此选项错误；B、当APBABC 时，又 AA，ABPACB，故此选项错误；C、当 AB2AP AC 即 时，又AA，ABP ACB，故此选项错误；D、无法得到ABPACB ，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键8如图，抛物线 yax 2+bx+3（a0）的对称轴为直线
19、x1，如果关于 x 的方程ax2+bx80（a0）的一个根为 4，那么该方程的另一个根为（ ）A4 B 2 C1 D3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点可得答案【解答】解关于 x 的方程 ax2+bx80，有一个根为 4，抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4，0），抛物线的对称轴为 x 1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 2，0），方程的另一个根为 x 2故选：B【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9抛物线 y x2+3 与 y 轴的交点坐标为 （0，3） 【分析】把 x0 代
20、入解析式求出 y，根据 y 轴上点的坐标特征解答即可【解答】解：当 x0 时， y3，则抛物线 y x2+3 与 y 轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握 y 轴上点的横坐标为 0 是解题的关键10如图，在ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DEBC，如果 ，AC10，那么 EC 4 【分析】由 DEBC，推出 ，可得 EC AC，由此即可解决问题【解答】解：DEBC， ，AC10，EC 104，故答案为 4【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例11如图，在平面直角坐标系 xO
21、y 中，第一象限内的点 P（x，y）与点 A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PCy 轴于点 C，PDx 轴于点 D，那么矩形 ODPC 的面积等于 4 【分析】根据点 A 的坐标可得出 k 的值，进而得出矩形 ODPC 的面积【解答】解：设点 A（2，2）在反比例函数 y 的图象上，可得： ，解得：k4，因为第一象限内的点 P（x，y ）与点 A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形 ODPC 的面积等于 4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数 k 的几何意义，关键是根据点 A 的坐标可得出 k 的值12如图，直线 y1kx+ n（k0）与抛物线 y2ax 2+bx+c（
22、a0）分别交于A（1，0），B（2，3）两点，那么当 y1y 2 时， x 的取值范围是 1x2 【分析】根据图象得出取值范围即可【解答】解：因为直线 y1kx+n（k0）与抛物线 y2ax 2+bx+c（a0）分别交于A（1，0），B（2，3）两点，所以当 y1y 2 时，1x2，故答案为：1x 2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围13如图，O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 120，那么圆心 O 到弦AB 的距离等于 2 【分析】由圆心角AOB120，可得AOB 是等腰三角形，又由 OCAB，再利用含 30角的直角三角形的性质，可求得 OC 的长【
23、解答】解：如图，圆心角AOB120，OAOB，OAB 是等腰三角形，OCAB ，ACO90，A30，OC 故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含 30角的直角三角形的性质注意根据题意作出图形是关键142017 年 9 月热播的专题片辉煌中国圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图 1 所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列在图2 的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD 的中点为 E，最长的斜拉索 CE
24、长 577m，记 CE 与大桥主梁所夹的锐角CED 为 ，那么用 CE 的长和 的三角函数表示主跨 BD 长的表达式应为 BD 1154cos （m）【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题【解答】解：由题意可得，BD2 CEcos2577 cos1154cos ，故答案为：1154cos【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答15如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 B 的坐标为 B（4，0），抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，CE AB，并与抛物线的对称轴交于点 E现有下列结
25、论：a0；b0；4a+2b+ c0；AD+ CE4 其中所有正确结论的序号是 【分析】根据图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可【解答】解：该函数图象的开口向下， a0，错误；a0， 0，b0，正确；把 x2 代入解析式可得 4a+2b+c0，错误；ADDB，CEOD， AD+ODDB+ ODOB4，可得：AD+CE4，正确故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系根据二次函数 yax 2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数16如图，O 的半径为 3，A，P 两点在O 上，点 B 在 O 内，t
26、anAPB ，ABAP如果 OBOP，那么 OB 的长为 1 【分析】如图，连接 OA，作 AMOB 交 OB 的延长线于 M，作 PNMA 交 MA 的延长线于 N则四边形 POMN 是矩形想办法求出 OM、BM 即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA，作 AMOB 交 OB 的延长线于 M，作 PNMA 交 MA的延长线于 N则四边形 POMN 是矩形POB PAB90 ，P、O 、B 、 A 四点共圆，AOB APB，tanAOMtanAPB ，设 AM4k，OM3k ，在 Rt OMA 中，（4k ） 2+（3k） 23 2，解得 k （负根已经舍弃），AM ，OM ，ANMNAM
27、MAB+ ABM90，MAB +PAN90，ABMPAN，AMB PNA90，AMBPNA， ， ，BM ，OB OM BM1故答案为 1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题每小题 5 分，第 21、22 题每小题 5 分，第23、24 题每小题 5 分，第 25、26 题每小题 5 分，第 27、28 题每小题 5 分）17计算：2sin30+cos 245tan60 【分析】根据特殊角的三角函数值
28、，即可解答【解答】解：原式2 +（ ） 21+ 【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题18如图，ABCD，AC 与 BD 的交点为 E，ABEACB（1）求证：ABEACB ；（2）如果 AB6，AE 4，求 AC，CD 的长【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可【解答】证明：（1）ABEACB，A A，ABE ACB；（2）ABEACB， ，AB 2ACAE，AB6，AE4，AC ，ABCD，CDEABE， ， 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明ABE ACB19在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
29、 C1：y x 2+2x（1）补全表格：抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标yx 2+2x （1，1） （0，0） （2，0） （0，0）（2）将抛物线 C1 向上平移 3 个单位得到抛物线 C2，请画出抛物线 C1，C 2，并直接回答：抛物线 C2 与 x 轴的两交点之间的距离是抛物线 C1 与 x 轴的两交点之间距离的多少倍【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y x2+2x 与 x 轴的交点为（ 0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线 C1，C 2 如图所示，抛物线 C2 与 x 轴的两交点
30、之间的距离是抛物线 C1 与 x轴的两交点之间距离的 2 倍【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20在ABC 中，AB AC 2，BAC45将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 度（0180）得到ADE，B，C 两点的对应点分别为点 D，E，BD，CE 所在直线交于点 F（1）当ABC 旋转到图 1 位置时，CAD 45 （用 的代数式表示），BFC 的度数为 45 ；（2）当 45 时，在图 2 中画出ADE ，并求此时点 A 到直线 BE 的距离【分析】（1）如图 1，利用旋转的性质得BADCAE ，AB AD，
31、AEAC，则CAD45；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到ABD ACE，所以BFCBAC45（2）如图 2，ADE 为所作， BE 与 AC 相交于 G，利用旋转的性质得点 D 与点 C 重合，CAE45，AE AB2，则ABE 为等腰直角三角形，所以 BE AB2，再证明 AGBE ，然后根据等腰直角三角形的性质求出 AG 的长即可【解答】解：（1）ABC 绕点 A 逆时针旋转 度（0180）得到ADE，如图1，BAD CAE，ABAD，AEAC，而BAC45，CAD45；ABAD，AE AC，ABD ADB （ 180BAD ） （180 ）90 ，ACE AEC （180 ）90
32、 ，ABD ACE，BFCBAC45故答案为 45；45 ；（2）如图 2，ADE 为所作， BE 与 AC 相交于 G，ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 度得到ADE，而 ABAC，BAC 45 ，点 D 与点 C 重合，CAE45，AEAB2，ABE 为等腰直角三角形，BE AB2 ，而 AG 平分BAE，AG BE，AG BE ，即此时点 A 到直线 BE 的距离为 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了
33、等腰直角三角形的性质和旋转的性质21运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 h（m）与它的飞行时间 t（s）满足二次函数关系，t 与 h 的几组对应值如下表所示t（s） 0 0.5 1 1.5 2 h（m） 0 8.75 15 18.75 20 （1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写 t 的取值范围）；（2）求小球飞行 3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到 22m？请说明理由【分析】（1）设 h 与 t 之间的函数关系式为 hat 2+bt（a0），然后再根据表格代入t1 时，h15；t2 时，h20 可得关于 a、b 的方程组
34、，再解即可得到 a、b 的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入 t3 可得 h 的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案【解答】解：（1）t0 时，h0，设 h 与 t 之间的函数关系式为 hat 2+bt（a0），t1 时，h15；t2 时，h20， ，解得 ，h 与 t 之间的函数关系式为 h5t 2+20t；（2）小球飞行 3 秒时，t3（s），此时 h53 2+20315（m）答：小球飞行 3s 时的高度为 15 米；（3）h5t 2+20t5（t2） 2+20，小球飞行的最大高度为 20m，2220，小球的飞行高度不能达到 22m【点
35、评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y （k 0）与直线 y 的交点为A（a，1），B（2，b）两点，双曲线上一点 P 的横坐标为 1，直线 PA，PB 与 x轴的交点分别为点 M，N，连接 AN（1）直接写出 a，k 的值；（2）求证：PM PN ，PM PN 【分析】（1）依据双曲线 y （k0）与直线 y 的交点为 A（a，1），B（2，b）两点，可得点 A 与点 B 关于原点对称，进而得到 a，k 的值；（2）根据双曲线 y 上一点 P 的横坐标为 1，可得点 P 的坐标为（1，2），
36、进而得到直线 PA，PB 的函数表达式分别为 yx+1， y x+3，求得直线 PA，PB 与 x 轴的交点坐标分别为 M（1，0），N（3，0），即可得到 PMPN，PMPN 【解答】解：（1）双曲线 y （k0）与直线 y 的交点为 A（a，1），B（2，b）两点，点 A 与点 B 关于原点对称，a2，b1，把 A（2，1）代入双曲线 y ，可得 k2；（2）证明：双曲线 y 上一点 P 的横坐标为 1，点 P 的坐标为（1，2），直线 PA，PB 的函数表达式分别为 yx+1，y x+3，直线 PA，PB 与 x 轴的交点坐标分别为 M（1，0），N（3，0），PM2 ，PN2 ，MN4
37、，PMPN，PM 2+PN2MN 2，MPN90，PMPN【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式23如图，线段 BC 长为 13，以 C 为顶点，CB 为一边的 满足 cos 锐角ABC 的顶点 A 落在 的另一边 l 上，且满足 sinA 求ABC 的高 BD 及 AB 边的长，并结合你的计算过程画出高 BD 及 AB 边（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出 BD，再用勾股定理求出 BD，再用锐角三角函数求出AB，AD
38、，即可得出结论【解答】解：如图，作 BDl 于点 D，在 Rt CBD 中，CDB90，BC13，cosCcos ，CDBC cosC13 5，BD 12，在 Rt ABD 中，BD12，sinA ，tanA ，AB 15，AD 9，作图，以点 D 为圆心，9 为半径作弧与射线 l 交于点 A，连接 AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出 AB 和 AD24如图，AB 是半圆的直径，过圆心 O 作 AB 的垂线，与弦 AC 的延长线交于点 D，点 E 在 OD 上，DCE B（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若 CD10，tanB
39、，求半圆的半径【分析】（1）利用同角的余角相等判断出BCOB，进而判断出BCO+ BCE 90，即可得出结论；（2）先求出 sinB，再利用同角的余角相等判断出 DB 即可得出结论【解答】解：（1）连接 OC，AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，ACB90，点 D 在弦 AC 的延长线上，DCB180ACB90，DCE+ BCE90，OCOB，BCOB，DCEB，BCO+ BCE90，即：OCE90，CEOC ，点 C 在半圆上，CE 是半圆的切线；（2）解：如图 1，在 Rt ABC 中，tanB ，设 AC2k，则 BC3k ，根据勾股定理得，AB k，sinB ，ODAB，D+ A90
40、，AB 是半圆的直径，ACB90，B+A90，DB ，sinDsin B ，在 Rt CDF 中，sin D ，cosB设 CF2m，DE m，根据勾股定理得，DF 2CF 2CD 2，13m 24m 2100，m （舍）或 m ，CF ，在 Rt BOF 中，BF k，BCBF+CF k+ 3k，k8，OB k4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出BCOB25已知抛物线 G：y x 22ax+a1（a 为常数）（1）当 a3 时，用配方法求抛物线 G 的顶点坐标；（2）若记抛物线 G 的顶点坐标为 P（p，q）分别用含 a 的代数式表示
41、p，q；请在的基础上继续用含 p 的代数式表示 q；由可得，顶点 P 的位置会随着 a 的取值变化而变化，但点 P 总落在 C 的图象上A一次函数 B反比例函数 C二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线 G 改为抛物线H：y x 22ax +N（a 为常数），其中 N 为含 a 的代数式，从而使这个新抛物线 H满足：无论 a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线 H 的函数表达式： y x 22ax +a2+a （用含 a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式 ykx+b（k，b为常数，
42、k 0）中，k 1 ，b 0 【分析】（1）将 a1 代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含 a 的代数式表示 p、q；根据中的结果可以解答本题；根据可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可【解答】解：（1）当 a3 时，yx 26x+31x 26x +2（x 3） 27，此时抛物线的顶点坐标为（3，7）；（2）yx 22ax+a1 （x a） 2a 2+a1，抛物线 G 的顶点坐标为 P（p，q），pa，qa 2+a1；由可得，qp 2+p 1；由可得，顶点 P 的位置会随着 a 的取值变化而变化，但点 P 总落在二次函数图象上，故答
43、案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线 H 的函数表达式： yx 22ax +a2+a，yx 22ax+ a2+a（xa） 2+a，顶点坐标为（a，a），它的顶点所在的一次函数图象的表达式 yx ，k1，b 0，故答案为：y x 22ax+ a2+a，1，0【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：yax 2+bx+c（a0）经过 A（1，0），且顶点坐标为 B（0，1 ）（1）求抛物线 M 的函数表达式；（2）设 F（t，0）为 x 轴正半轴上一点，将
44、抛物线 M 绕点 F 旋转 180得到抛物线M1抛物线 M1 的顶点 B1 的坐标为 （2t，1） ；当抛物线 M1 与线段 AB 有公共点时，结合函数的图象，求 t 的取值范围【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据旋转的性质，可得 B 与 B关于 F 点对称，根据中点公式，可得答案；根据图象过 A，B 点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案【解答】解：（1）由抛物线 M 的顶点坐标为 B（0，1），设抛物线的解析式为yax 2+1，将 A（1，2）代入解析式，得 a（1） 2+1 0，解得 a1，抛物线的解析式为 y x 2+1，（2）由旋转的性质，得B1（x，y）与 B（0，1）关于 F（t，0）对称，t， 0，解得 x2t，y 1，B1（2t，1）；故答案为：（2t，1）；如图 1 ，由题意，得顶点是 B1（2t，1），二次项系数为 1，抛物线 M1 的解析式为 y（x 2t） 21 （t 0），当抛物线
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