1、中考第一轮复习中考第一轮复习方程与不等式方程与不等式,考试要求层次考试内容A B C方程 知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法估计方程的解一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论)会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据具体问题列出二元一次方程（组）二元一次方程
2、组的解法知道代入消元法、加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决简单的实际问题分式方程及其解法 了解分式方程的概念会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） ；会对分式方程的解进行检验会运用分式方程解决简单的实际问题一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解
3、各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题不等式（组） 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）不等式的性质 理解不等式的基本性质 会利用不等式的性质比较两个实数的大小解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解能根据具体问题中的数量关系，用列出
4、一元一次不等式解决简单问题2一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解二、根的情况对于形如 的形式应判断 ， ， 的情况而定：20axbcabc当 且 方程有唯一解0当 且 ， 时，方程有无数解当 且 且 时，方程无解当 时，方程为一元二次方程当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；0当 时，方程无实数根三、特殊根对于关于 的方程x20abxc
5、a当方程有一根为 时，则 1当方程有一根为 时，则 当方程有一根为 时，则 0当方程两根互为相反数时，则 0b当方程有一根大于零一根小于零时，则 c当方程两根都大于零时，则 且 当方程两根都小于零时，则 且 当方程有一根 大于 ， 一根 小于 ，则 1x2x1120x四、整数根思路一： 有整数根必须具备的前提条件：20axbca有实数根： ；有有理数根： 是完全平方数；有整数根：2424bac是 的整数倍2思路二：能分解因式的用分离系数法【编写思路】 本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次.第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例 1 复习代数式变形中常用的几种方法；代
6、数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中 C 要求部分.常见方法如下：、加减消元；1、消元 、部分代入；、代入消元、整体代入；、直接开方；、配方：A 2 + B2 = 0；2、降次 、因式分解：AB = 0 或 AB = c（c 为常整数，且 A、B 均等于整数） ；、条件为一元二次方程 ：转化为20axbc，然后进行降次；2axbc、利用题设条件、条件为 ，转化为mn、 为 常 数，然后两边平方得 ，n22nam然后进行降次；3、换元 整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理） 。第二个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一
7、元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例 2、例 3）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例 4） ；三是公共根问题：设、代、解三步走（例 5） ；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例 6）：、 为整数；2xm1、用十字相乘法解含参一元二次方程、 为整数，先用分离常数法13转化为 ；52x、判别式为一次多项式时，可根据参数的取值范围直接求出参数的整数解，然后检验；2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数 、判别式为二次多项式时，如：、设 m2 +
8、4m 3 243m= n2；、转化为；、分解成27AB = 7，从而求出 m。 代数恒等变形方法整数解问题解题步骤4【例 1】 代数式变形.分解因式： 23ab已知 ，则 abc的值为 2 40cc 对任意实数 ，等式 恒成立，则 .k2ykxxy若 ，则 的值为_.0512852x 15已知 是方程 的根，则代数式 的值为 a3223a当整数 为 时，代数式 的值为整数.x21x已知 、 为整数，且 （ ） ，则 .mn280mn1nm已知 ， ， ，用 、 表示 为 .237y.34.5zxyz【解析】 .)(ba点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公
9、式. 22340cc22310bab2210c ， ，210 2ba 23b ， ，2c=20210= ， ，1b1a .4a 由 得 ，对于任意的 成立，故2ykxxkyk20xy故 ，故 .4y点评：此类题有两种解法，一种是变为 的形式，一种是对 进行赋值解方程0kk组. 对分母进行整体换元：令 ，原方程化为 ，去分母得 ，解得 ，251tx8150t2680t12t，故 或 .2402 把 代入得 ，a2310a.22 135a ，当 ，代数式 的值为整数.2xxx1x 由 得 ，280mn824824nm ，或 或 或1+421+n解得 （舍）或 或 （舍）或 .53n3n4.531m
10、 .1m9 .027zxy【例 2】 已知：关于 的一元二次方程 有实数根20xm 求 的取值范围； 若 ， 是此方程的两个根，且满足 ，求 的值ab 223141abm【解析】(1) 4+4m0，m-1 ；(2) 将 a，b 代入一元二次方程可得 ，02，02mb，a，.25-1023-214122舍 去或 ， ， ，mb【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.【例 3】 知关于 x 的方程 有两个相等的实数根；01)(2xn 用含 n 的代数式表示 ； 求证：关于 y 的方程 必有两个不相等的实数根；032nmy 若方程的一根的相反数恰好是方程的一
11、个根，求代数式 的值.nm126【解析】 证明： 方程有两个相等的实数根，nm10402()且 ，则 n1由方程，有22243m()1n(22)46m(=8312n)且 ，02m，831n()20方程必有两个不相等的实数根。 解法一：由 可得mn241()m42将 代入方程得2x210解得 xm12方程的一根的相反数是方程的一个根，由根的定义，得 mn2230()整理，得 mn230即 41()27nmn2412()()482解法二：由解法一得 是方程的一个根。设方程的另一根为 y0由根与系数的关系可得 ；m2； ；y0n23以下同解法一。解法三： 241()方程为 41230()nymn方程
12、的一根的相反数是方程的一个根，设方程的此根为 ，y1为方程的根。y1()nm102由方程变形，得 412430212()nymyn2312y又由解法一可知， ym1472n以下同解法一。【例 4】 已知关于 m 的一元二次方程 =0.21xm8 判定方程根的情况； 设 m 为整数，方程的两个根都大于 且小于 ，当方程的两个根均为有理数时，132求 m 的值【解析】 224(1)8. 0, 28.所以无论 m 取任何实数，方程 =0 都有两个不相等的实数根. 21xm 设 1yx 的两根都在 和 之间， 203 当 时， ，即： y210当 时， ，即： 32x9 1m 为整数， 210， ，
13、当 时，方程 ， 此时方程的根为无理4812x，数，不合题意当 时，方程 ， ，不符合题意0210当 时，方程 ，符合题意 1m121xx， ，综合 可知， 【例 5】 已知关于 x 的两个一元二次方程：方程: ; 方程: .01)2()1(xk 032)1(2kxx 若方程有两个相等的实数根，求解方程； 若方程和中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化简 ；241()k 若方程和有一个公共根 a, 求代数式 的值aka53)24(【解析】 方程有两个相等实数根, .0)21(4)(,021kk由 得 k + 2 0, 由 得 (k + 2) (k+4) =0. k +
14、20, k=-4. 当 k=-4 时, 方程 为: .0572x解得 9,9721x 由方程得 2= . )3(4)(kk法一 2 1 -(k + 2) (k+4) =3k26k+5 =3(k+1) 220.2 21. 方程 、只有一个有实数根， 20 1. 此时方程 没有实数根. 由 ,04)32(14,0)(21kk得 (k + 2) (k+4)0.4)32(1)3(2kkk因此无论 k 为何值时, 方程总有实数根. 方程 、只有一个方程有实数根， 此时方程 没有实数根. 下同解法一. 法一: a 是方程 和的公共根, 10 ; . 01)2()1(ak 032)1(2ka , . 2k2
15、22(4)35()(45)2(1.akaaak=2+3=5. 法二: a 是方程 和的公共根, ; . 01)2()1(ak 032)1(2ka（） 2 得 ()4.k由得 (1)3.ak将、 代入原式，得原式= 22435kaka= (1)43(1)695kak=5. 【例 6】 已知关于 的方程x2()20mx 求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根. 若关于 的二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐(3)2ymx标均为正整数，且 为整数，求抛物线的解析式.【解析】 证明：当 时，方程为 ，所以 ，方程有实数根. 020x1当 时, m(3)4(2)= 22918m= 2()0所以,方程有
16、实数根综所述，无论 取任何实数时，方程恒 有实数根m 令 ，则0y2(3)20mxx解关于 的一元二次方程 ，得 ， 12xm二次函数的图象与 轴两个交点的横坐标均为正整数，且 为整数，x所以 只能取 1，2 m所以抛物线的解析式为 或 254yx286yx【例题精讲】【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理【探究方法】思路 1：探究方程是否能直接求根？思路 2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？思路 3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？整系数一元二次方程有整数根，
17、则：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.一、直接求根法：【探究 1】已知关于 的方程 的根是整数，那么符合条件的整数 的值x2110axaa为 分析：当 时， 符合条件a当 时，易知 是方程一个整数根1 1x由根与系数关系知另一根为 21a因为 为整数，所以 ，x1，即 1023a， ， ，12所以 1023a， ， ， ，【探究 2】已知方程 有两个不相等的正整数根，求整数 的值.(1)80kxkxk分析： +163=12=, xk因为方程有两个正整数根，即 ，所以+1,236.k1=,k2k二、判别式法【探究 3】设 为
18、整数，且 ，又方程 有两个整数根.m4022()480xmx求 的值及方程的根. 分析：考察判别式4(2m 1)，因是关于 m 的一次式，由已知 4m40，可知92m181.为使判别式为完全平方数，只有 2m125 或 2m 149.当 2m125 时，m12，方程两根分别为 16，26；当 2m149 时，m24，方程两根分别为 38，52.注：当判别式是一次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围.【探究 4】已知 为自然数，关于 的方程 有两个整数根，求出这个方程的kx210xk正整数根和 .分析：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式原方程可化为 2100xk则 2144设 220k
19、m则 2140km所以 1k因为 ， 为整数2k而 401204158考虑到 ， 奇偶性相同kmk且 21故有 20104kk，6493m，分别代入方程可得正整数根为 或4x1所以当 时正整数根为 ，当 时正整数根为 16kk【探究 5】设 为整数， 有整数根，则 的值为 .m2(5)40xmxm分析：当 时，原方程可化为 不合题意；011x，当 时， 024令 10mn245x即 12100xnn，；3462， ， ， ， ， 1， ， ， ， ，且 ， 为整数，故 2104nm46m， ，14三、根与系数关系【探究 6】若关于 的二次方程 的两根都是整数，求整数 的值.x22130axxa
20、a分析：因为所给的方程是二次方程，所以 1由根与系数关系，得21 2axa因为 为整数，所以 必为整数12x，因为 为整数，所以a1023a， ， ，当 时，方程为 ， ， 两根均为整数12x1x2当 时，方程为 ， ， 两根均为整数0a303当 时，方程为 方程无实根226x当 时，方程为 方程无实根3a30所以当 时，方程为两根均为整数10，【探究 7】试确定一切有理数 ，使得关于 的方程 有根且只有整数根.rx210rxr分析：若 ，则方程为 ， 不合题意0r210x若 ，设方程的两个整数根为 ， 1x212x则 ，12rx12rx于是 1 3r，12247xx127x因为 ， 为整数，
21、且 ，1212所以 ，27x27x； 124x1230所以 1=,r解得 1=,3r注意：探究 5 和探究 7 为提高尖子班选讲内容，教师也可根据具体班级情况进行讲解.以上建议仅供教师参考.【总结】1：对含参的一元二次方程，要立刻对其因式分解，这是解决整数根问题的策略习惯.2：判别式的形式有很多形式，最容易的就是完全平方式，但这种不怎么常考；对于判别式有以下几种常考形式，对这几种形式进行总结：（1）判别式是一次式且参数已知，利用判别式为完全平方数求参数值；（探究 3）（2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（探究 4）（3）判别式是一次式但参数未知，可设其为平方数,并来表示值；（探
22、究 5 选讲）3：两个整数的和与积都是整数，充分利用整数运算的结构特征，把韦达定理和求解一元二次方程的整数解有机的结合起来，在思考过程中需要认真分析题干条件，整数解、正整数解都对代数式的讨论起着重要的作用。 （选讲）【例 7】 已知 是一元二次方程 的一个根，若正整数 ， ， 使得等式t210xabm成立，求 的值.()3ambab【解析】因为 是一元二次方程 的一个根，显然 是无理数，且 .t2 t21tt等式 即 ，()1ttm22()31ttm即 ，即 .21(3abtbt2(31)0abtam因为 ， ， 是正整数， 是无理数，所以 于是可得t 2)b， ，231abm，因此， ， 是
23、关于 的一元二次方程 的两个整数根，bx2 2(31)0xmx方程的判别式 .24(5)又因为 ， 是正整数，所以 ，从而可得 .ab310ab310m又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有 符合要求.6把 代入可得 .6m23150abm16综合训练 1训练 1. 已知实数 ， ， ， ， 满足 ， ，求证：关于 的一元二次abcmn20mcbnax方程 必有实数根20x【解析】 ， ， mcn2a24c24bac当 时，0c当 时，a 2224410mcnacmnacn关于 的一元二次方程 必有实数根x0xb训练 2. 已知 为整数，若关于 的一元二次方程 有有理根，求 的值kx2
24、310kxxk【解析】 方程有有理根判别式 为完全平方数234k设 （ 为正整数） ，即2km，2489025所以 1k 和 为整数，且k2kmk 或251m25k解得 ， 0k方程为一元二次方程 2k训练 3. 对于任意实数 ，方程 总有一个根为 k22140xakxkb1 求实数 ， ； 求另一根的范围.ab【解析】 先把一个根为 1 代入原方程，利用特殊值或者形式变换来求出 ， a 是原方程的解，代入得：1x，22 40kakb即 41b由于 取任何实数上式总成立，于是有：2410ab解得： .， 将 代入原方程得：1ab22 410kxkxk因为 ，1所以22k整理得： 2410xx当
25、 时， 符合题意21当 ， 为实数时，表示关于 的一元二次方程有实数根，kk于是 ，2640x即 ，21x23 另一根的范围为 x 【点评】 在中，由条件知 为任意实数，方程总有实根为 1，故可对 取特殊值当 时，k k0k；当 时， ，从而求得 ， 的值需要注意的是，这个题目所渗透的思1x1ab想在一次函数学习中也出现过在中使用判别式法求另一根的范围，有一定的技巧，要好好体会训练 4. 已知：关于 的一元二次方程 ，其中 x2(4)0xmx4m求此方程的两个实数根（用含 的代数式表示） ；设抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧） ，若点24yAB的坐标为 ，且 ，求抛物线的解析式；D0
26、，10ADB已知点 、 、 都在中的抛物线上，是否存在含有 、1Ea， 2Fay， 3Gay， 1y、 ，且与 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说2y3明理由【解析】 将原方程整理，得 ，2(4)0xmx2 224816(4)0bac m ()()mx 或 由知，抛物线 与 轴的交点分别为 、 ，24yxmx0， 4， 在 的左侧， AB0 ， m， 4，18则 ， 2224ADOm22240BDO ，10B 2 (4)解得 ，0m 1 ， 454抛物线的解析式为 . 254yx 答：存在含有 、 、 ，且与 无关的等式，123a如： （答案不唯一） 3()yy证明：
27、由题意可得 ， ，21542104ya23954a左边 = 23ya右边= 1()22(104)= 954a左边 =右边 成立 312()yy整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握 方0k法，等量关系表示主要掌握线性表示综合训练 2训练 1. 已知关于 的一元一次方程 的根为正实数，二次函xkx的图象与 轴一个交点的横坐标为 1.20yabkc若方程的根为正整数，求整数 的值；求代数式 的值；2()ab求证: 关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根.x20xbc【解析】 解：由 ，得 .k1k依题意 .10 . 2xk方程的根为正整数， 为整数 , k
28、 或 . 1 ， . 2k3 解：依题意，二次函数 的图象经过点 ，2yaxbkc10， ， . 0abckb2222()()k aba = 21.ab 证明：方程的判别式为 . 224bac由 ， ， 得 .0c0ac( i ) 若 ， 则 . 故 . 此时方程 有两个不相等的实数420根. ( ii ) 证法一: 若 , 由知 ， 故 .cbkcbakc2 2 22 2 24 44baka kac. 1k方程 的根为正实数，x 方程 的根为正实数 .2由 ， 得 . 0， 0k .41ack ， 2 . 此时方程有两个不相等的实数根. 410ack证法二: 若 ，抛物线 与 轴有交点，2y
29、xbx .140akckc.221b20由证法一知 ， 10k .224bacc . 此时方程 有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根.训练 2. 在正实数范围内，只有一个数是关于 的方程 的解，求实数 的取x231kxkk值范围【解析】 原方程可化为 ，230xk 当 时， ， 满足条件；081234x 若 是方程的根，得 ，解得 此时方程的另1130k4k一个根为 ，故原方程也只有一根 ；2 当方程有异号实根时， ，得 ，此时原方程也只有一个12xk正实数根； 当方程有一个根为 时， ，另一根为 ，此时原方程也只有一个正实03k32x根。综上所述，满足条件的 的取值范围是
30、 或 或 84k3训练 3. 对于任意实数 ，方程 恒有一个实根 k2210xakxb1求 、 的值ab求另一根的最大值与最小值【解析】 由于 恒为方程的根，所以对任意实数 有1k22 40kakb即 241b即 解得210aa 方程的另一根为224411kbkx去分母，整理得 220x由于 是任意实数，故必有 ，即k2641 214x即 ，即21x 23x 当 时， ；当 时， 21x412k23x4123k所以，当 时， 取到最小值 ；当 时， 取到最大值 x1x3训练 4. 已知：关于 的一元二次方程 ，其中 x2(4)0mx4m求此方程的两个实数根（用含 的代数式表示） ；设抛物线 与
31、 轴交于 、 两点（ 在 的左侧） ，若点24yxAB的坐标为 ，且 ，求抛物线的解析式；D0，10ADB已知点 、 、 都在中的抛物线上，是否存在含有 、1Ea， 2Fay， 3Gay， 1y、 ，且与 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说2y3明理由【解析】 将原方程整理，得 ，2(4)0xmx2 224816(4)0bac m ()()mx 或 由知，抛物线 与 轴的交点分别为 、 ，24yxmx0， 4， 在 的左侧， AB0 ， m， 4，则 ， 2224DO22240BDO ， 10 10AB 2(4)解得 ， m ， 5抛物线的解析式为 . 254yx 答
32、：存在含有 、 、 ，且与 无关的等式，123a如： （答案不唯一） 3()yy证明：由题意可得 ， ，21542104ya23954a左边 = 23ya右边= 1()22(104)= 954a左边 =右边 成立 312()yy22整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握 方0k法，等量关系表示主要掌握线性表示实战演练【演练 1】 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根x2210mx求 的取值范围；若 为整数，且 ， 是方程的一个根，求代数式 的3a221334a值【解析】 方程有两个不相等的实数根方程为一元二次方程 201mm 且 ，由 得240 的取值范围
33、为 且 由 且01又 ， 为整数3 2m原方程为 240x 是该方程的一个根a 21 ，321a原式 4【演练 2】 已知：关于 的一元二次方程 x23(1)230mxx()m为 实 数若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；求证：无论 为何值，方程总有一个固定的根；m若 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 的值.【解析】 22 243(1)4(3)()bac方程有两个不相等的实数根， 且 2()0 且 的取值范围是 且 m30m 证明：由求根公式 24(1)()2bacx 133mm21x无论 为何值，方程总有一个固定的根是 1. 为整数，且方程的两个根均为正整数24 必为整数132x
34、m 或 当 时 ， ；当 时， ；1x15x当 时， ；当 时， .33 或 .【演练 3】 已知关于 x 的一元二次方程 有两个整数根，且 ， 求 m22(1)0xmx5的整数值.【解析】 一元二次方程 有两个整数根2(1)0 2 2448bacm 1 5 可取的整数有 0，1，2，3，4. 由求根公式 4(1)84122bacmx一元二次方程 有两个整数根22()0mx 必须是完全平方数 21m ， .04【演练 4】 已知：关于 的一元二次方程x22(3)4180xmx 若 ，求证：方程有两个不相等的实数根；0 若 的整数，且方程有两个整数根，求 的值124m【解析】 证明： 22=(3
35、)4184（ ） = 0,80.方程有两个不相等的实数根 2()(23)1mxm方程有两个整数根，必须使 且 为整数为 整 数 m又 ，140 258. 9为奇数，m 17 24【演练 5】 已知：关于 的一元二次方程 x20kxk 若原方程有实数根，求 的取值范围； 设原方程的两个实数根分别为 ， 12当 取哪些整数时， ， 均为整数；k1x2利用图象，估算关于 的方程 的解k120xk【解析】 一元二次方程 有实数根，20kxk 20,4.k 2,1.k当 时，一元二次方程 有实数根 020kxk 由求根公式，得 1() （分离常数） ， 12kx21x要使 ， 均为整数， 必为整数，2k
36、所以，当 取 时， ， 均为整数k1、 1x2将 ， 代入方程1x2中，得 20kk设 ， ，并在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象1y21 12yk1由图象可得，关于 的方程 的解为 ， k120xk226实战演练 2【演练 1】 已知：关于 的一元二次方程 x23(1)30mxx()m为 实 数若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；求证：无论 为何值，方程总有一个固定的根；m若 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 的值.【解析】 22 243(1)4(3)()bac方程有两个不相等的实数根， 且 2()0 且 m 的取值范围是 且 30m 证明：由求根公式 24(1)()2bac
37、x 133mm21x无论 为何值，方程总有一个固定的根是 1. 为整数，且方程的两个根均为正整数 必为整数13xm 或 当 时 ， ；当 时， ；1x15x当 时， ；当 时， .33 或 .【演练 2】 已知关于 x 的一元二次方程 有两个整数根，且 ， 求 m22(1)0xmx5的整数值.【解析】 一元二次方程 有两个整数根22(1)0 2448bacm 1 5 可取的整数有 0，1，2，3，4. 由求根公式 4(1)84122bacmx一元二次方程 有两个整数根2()0mx 必须是完全平方数 21m ， .04【演练 3】 已知：关于 的一元二次方程x22(3)4180xmx 若 ，求证
38、：方程有两个不相等的实数根；0 若 的整数，且方程有两个整数根，求 的值124m【解析】 证明： 22=(3)4184（ ） = 0,80.方程有两个不相等的实数根 2()(23)1mxm方程有两个整数根，必须使 且 为整数为 整 数 m又 ，140 258. 9为奇数，m 17 24【演练 4】 已知：关于 的一元二次方程 x20kxk 若原方程有实数根，求 的取值范围； 设原方程的两个实数根分别为 ， 12当 取哪些整数时， ， 均为整数；k12利用图象，估算关于 的方程 的解k120xk【解析】 一元二次方程 有实数根，20kxk 20,4.k 2,1.k28当 时，一元二次方程 有实数
39、根 0k20kxk 由求根公式，得 1()x （分离常数） ， 12xk21x要使 ， 均为整数， 必为整数，2k所以，当 取 时， ， 均为整数、 1x2将 ， 代入方程1xk2中，得 20k设 ， ，并在同一平面直角坐标系中分别画出 与 的图1yk21 12yk1象由图象可得，关于 的方程 的解为 ， k120xk1k2【演练 5】 已知关于 的方程x23 若方程有两个有理数根，求整数 的值k 若 满足不等式 ，试讨论方程根的情况k160k【解析】 方程有两个有理数根，当 时，原方程为一元二次方程，根是有理数，所以根的判别式0为完全平方数243k不妨设 （ 为正整数） ，可变形为2km251km 51137又 25 或 或 或1k22k5k2753k解得 ， ， ， （舍） 03m85m0所以整数 的值为 ， ， k3 若 ，满足 ，此时方程只有一个实数根；0160若 时，k2241630kk此时方程有两个不相等的实数根.
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